Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1154389), страница 5

Файл №1154389 Диссертация (Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций) 5 страницаДиссертация (1154389) страница 52019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(1.16)).ξσВ самом деле, перепишем исходные неравенства в видеln Mf (et )6 σ,σ0 6eρtt = ln r ∈ R.Учитывая выпуклость на R функции ln Mf (et ) , из теоремы 1.1 получаем′et Mf′ (et )(ln Mf (et ))=6 ξ2 σ.ξ1 σ 6Mf (et )ρ eρt(eρt )′Возврат к первоначальному аргументу приводит к требуемому результату.Отсюда, в частности, заключаем, что если целая функция f (z) с неотрицательными тейлоровскими коэффициентами и f (0) = 1 удовлетворяет принекотором σ > 0 неравенствуf (x) 6 eσx ,x > 0,то ее производная подчинена оценкеf ′ (x) 6 σef (x),x > 0.Действительно, при σ0 = 0 корнями уравнения (1.16), а именно, уравненияξ lne σ0== 0,ξσслужат числа ξ1 = 0, ξ2 = e .Уместно сравнить полученный факт с широко известной теоремой Бернштейна, утверждающей, что для целой функции экспоненциального типа σ ,ограниченной на вещественной оси, т.

е. удовлетворяющей условию|f (x)| 6 M,24x ∈ R,справедлива оценка|f ′ (x)| 6 σM,x ∈ R.f ′ (x) 6 σef (x),x > 0.В то же время, замена ограниченности функции на вещественной оси условием |f (x)| 6 eσx на полуоси вкупе с требованием положительности тейлоровских коэффициентов приводит, как показано выше, к оценкеАналогичные оценки можно дать и для целых функций нулевого порядка. Рассмотрим, например, целые функции логарифмического роста. Пусть0 6 σ0 < σ < ∞, и γ > 1 .

Пусть, далее, целая функция удовлетворяетусловиямγγeσ0 (ln r) 6 Mf (r) 6 eσ(ln r) ,r > 0.Тогдаξ1 σγ (ln r)γ−1 Mf (r) 6 r Mf′ (r) 6 ξ2 σγ (ln r)γ−1 Mf (r),r > 0,где ξ1 , ξ2 — корни уравненияγ(1 − γ) ξ γ−1 + γ ξ =σ0σвида (1.15) c параметрами p = γ и θ = σ0 /σ .Действительно, как и прежде, можем записатьln Mf (et )6 σ,t = ln r ∈ R.tγВ этом случае теорема 1.1 гарантирует оценкуσ0 6′et Mf′ (et )(ln Mf (et ))ξ1 σ 6=6 ξ2 σ,(tγ )′Mf (et ) γ tγ−1которая при t = ln r дает требуемый результат.1.3 Асимптотические оценки относительногороста функций и их производных1.3.1 Теоремы тауберова типаВернемся к теоремам, обратным к правилу Лопиталя.

Начнем с простыхf (x)функций f (x)утверждений, опирающихся на монотонность отношенияg(x)f ′(x)и g(x) в отличие от монотонности отношения ′производных этих функg (x)ций, используемой в теореме Е.25Теорема 1.3. Пусть функции f (x) , g(x) определены и дифференцируемы на интервале (a, b), b 6 ∞ , причем выполняются условия1) g(x)g ′(x) > 0 на (a, b) ,2) lim g(x) = ∞ .x→b−Тогда справедливы следующие утверждения.f (x)I. Если функциявозрастает на (a, b) , тоg(x)f ′ (x)f (x)=lim.′x→b− g(x)x→b− g (x)limII. Если функцияf (x)убывает на (a, b) , тоg(x)f (x)f ′ (x)=lim.x→b− g(x)x→b− g ′ (x)limТеорема 1.4.

Пусть функции f (x) и g(x) определены, дифференцируемы на интервале (a, b), b 6 ∞ , и удовлетворяют условиям1) g(x)g ′(x) < 0 на (a, b) ,2) lim f (x) = lim g(x) = 0 .x→b−x→b−Тогда справедливы следующие утверждения.f (x)I. Если функциявозрастает на (a, b) , тоg(x)f (x)f ′ (x)= lim.lim ′x→b− g(x)x→b− g (x)II. Если функцияf (x)убывает на (a, b) , тоg(x)f ′ (x)f (x)= lim.lim ′x→b− g(x)x→b− g (x)Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы 1.3, остальные утверждения теорем 1.3, 1.4 доказываются аналогично. Из условия теоремы следует, что′f ′ (x)g(x) − f (x)g ′(x)g ′ (x) f ′ (x)f (x)f (x)==−> 0, x ∈ (a, b).g(x)g 2 (x)g(x) g ′ (x)g(x)f (x)f ′(x)>.

Переход к нижним пределамОтсюда при тех же x получаем ′g (x)g(x)дает соотношениеf (x)f ′ (x)lim ′> lim,x→b− g(x)x→b− g (x)26которое вместе с неравенством (1.2) завершает доказательство.Замечание 1.3. Пусть g −1(t) — обратная функция к g(x) . В теоремах 1.3 и 1.4 верхниеи нижние пределы заменяются на обычные, если−1функция f g (t) выпуклавверх или вниз.

В этом случае производная−1′′f g (t)f (x)f ′ g −1(t) = ′ −1= ′монотонна, что гарантирует существоg (g (t))g (x)f ′ (x)вание предела lim ′ .x→b− g (x)Придадим „числовую“ окраску теореме D. В дальнейшем под f ′(x) понимаем правую производную.Теорема 1.5. I. Пусть функция f (x) выпукла, а функции g(x) и g ′ (x)положительны на интервале (a, b), b 6 ∞ . Тогда выполняется неравенствоf ′(x)f (x)lim ′6 βg lim,x→b− g (x)x→b− g(x)или, в краткой записи,∆ 6 T βg .(1.19)II. Пусть b = +∞ , функция f (x) выпукла, а производная g ′ (x) положительна на интервале (a, +∞) , причем g(+∞) = +∞ .

Тогда справедливонеравенствоf (x)f ′(x)lim6 αg lim ′,x→+∞ g(x)x→+∞ g (x)или, в краткой записи,τ 6 αg δ.(1.20)Доказательство. I. Если T = +∞ , то доказывать нечего. Если же T конечно, то для любого T ′ > T и x , достаточно близких к b , имеем f (x) 6 T ′ g(x) .В силу выпуклости и положительности функции f (x) имеемf (t)g(t)f (t) − f (x)6 inf6 T ′ inf.b>t>x t − xb>t>x t − xb>t>xt−xf ′(x) = infПоделив на g ′ (x) и перейдя к верхним пределам, получимf ′(x)1g(t)∆ = lim ′6 T ′ lim ′inf6 T ′ βg .x→b− g (x)x→b− g (x) b>t>x t − xПроизвольная близость T ′ к T влечет выполнение неравенства (1.19).27II.

Используя выпуклость f (x) , при x1 > a можем записатьf (x)f (x1) + f ′ (x)(x − x1)6 lim=g(x)x→+∞ g(x)x→+∞f ′(x) (x − x1)g ′ (x)f ′(x) xg ′(x)f (x1)+ ′6 lim o(1) + ′6= limg(x)g (x)g(x)g (x) g(x)x→+∞x→+∞τ = limxg ′(x)f ′(x)lim= δ αg ,′x→+∞ g (x) x→+∞ g(x)6 limчто приводит неравенству (1.20).Заметим, что для выпуклых неограниченно возрастающих на (a, +∞)функций g(x) выполняются неравенства αg > 1, βg > 1 .

Действительно,g(x) − g(x1)6 g ′ (x). Поэтомудля всех x > x1 имеемx − x1xg ′ (x)1 − g(x1)/g(x)> lim= 1.αg = limx→+∞ g(x)x→+∞1 − x1/xg(t)g(t) − g(x)6 inf, то и βg > 1 .t>x t − xt>xt−xЕсли αg = βg = 1 , то оценки (1.19) и (1.20) вместе с оценками (1.2)теоремы B приводят к следующему обращению правила Бернулли–Лопиталя(см. [35], [36]).Далее, поскольку g ′ (x) = infТеорема 1.6. Пусть функции f (x) и g(x) выпуклы на некотором интервале (a, +∞) , g ′ (x) > 0 для x ∈ (a, +∞) , и lim g(x) = ∞ . Тогда приx→ +∞выполнении условияxg ′ (x)lim=1(1.21)x→+∞ g(x)будут справедливы равенстваf ′ (x)f (x)lim ′= lim,x→+∞ g (x)x→+∞ g(x)f (x)f ′ (x)lim= lim ′ .x→+∞ g(x)x→+∞ g (x)(1.22)Доказательство. Первое равенство в (1.22) непосредственно следует из левого неравенства (1.2) теоремы B и неравенства (1.20).

Чтобы доказать второеравенство в (1.22), покажем, что условие (1.21) влечет равенство βg = 1. Действительно, из условия (1.21), как известно [86], для всякого c > 0 следуетg(cx) ∼ cg(x),28x → +∞.Но теперь при c > 1 имеем11g(x) cg(t)g(cx)climliminf666.x→+∞ g ′ (x) t>x t − xx→+∞ g ′ (x) x(c − 1)x→+∞ xg ′ (x) c − 1c−1βg = limcвеличину c > 1 к +∞ , приходимc−1к равенству βg = 1 . Применив теперь (1.19) и правое неравенство в (1.2),получим вторую формулу в (1.22).

Теорема доказана.Устремляя в неравенстве 1 6 βg 6Заметим, что общий вид дифференцируемых функций, удовлетворяющихусловию (1.21), дается формулой(1.23)g(x) = xl(x),где l(x) — медленно меняющаяся дифференцируемая функция, т. е. такая,xl′(x)= 0 (см. [86], [100]). Предписанный вид (1.23)для которой αl = limx→+∞ l(x)имеют, например, функцииg(x) = x lnp x,g(x) = x ln x lnp (ln x) , p ∈ R,pg(x) = x eln x , p ∈ (0, 1).Рассмотрим теперь обращение правила Бернулли–Лопиталя для функций g(x) , растущих более быстро, чем в (1.23).Перейдем к изучению асимптотического поведения относительного ростаположительных бесконечно больших функций при x → b, b 6 ∞ . В этомслучае характер поведения функций вблизи левого конца промежутка (a, b)не играет никакой роли. Поэтому без потери общности можно предполагать,что функции f (x), g(x) и их производные f ′ (x), g ′ (x) обращаются в нуль вточке x = a .

Иначе рассматриваем пару новых функцийg1 (x) = g(x) − g(a) − g ′ (a)(x − a) ∼ g(x),g1′ (x) ∼ g ′ (x),f1 (x) = f (x) − f (a) − f ′(a)(x − a) ∼ f (x),f1′ (x) ∼ f ′ (x),где x → b .Для выпуклых на интервале (a, +∞) функций всегда существует конечf (x)ный или бесконечный предел lim. Ситуация, когда этот предел конеx→+∞ xчен, не представляет интереса. Будем в дальнейшем считать, что выполняется условиеf (x)= +∞.(1.24)limx→ b− x29Кроме того, удобно рассматривать функции, заданные на промежутке [0, b) .Для таких функций всюду используем прежние обозначения из § 1.1, именно,f (x),x→ b− g(x)τ = limf ′(x),x→ b− g ′ (x)δ = limf (x),x→ b− g(x)T = limf ′ (x).′x→ b− g (x)∆ = limНапомним, что для выпуклой функции g(x) по правилу (1.8) для ξ ∈ (0, 1)определена функция ϕg (ξ) , введенная А.

В. Братищевым в [36]. Распространяя это определение на все неотрицательные значения аргумента, положимg(x′ ) + g ′ (x′)(x − x′)ϕg (a) = lim,x→ b−g(x)a > 0,(1.25)где x′ = x′ (a, x) = max {t : g ′ (t) 6 a g ′ (x)} .Справедлива следующая теорема (см. [20], [21]).Теорема 1.7. Пусть f (x) и g(x) – выпуклые на [0, b) функции, удовлетворяющие условию (1.24), и T ∈ (0, ∞).

Характеристики

Список файлов диссертации

Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее