Диссертация (1154389), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(1.16)).ξσВ самом деле, перепишем исходные неравенства в видеln Mf (et )6 σ,σ0 6eρtt = ln r ∈ R.Учитывая выпуклость на R функции ln Mf (et ) , из теоремы 1.1 получаем′et Mf′ (et )(ln Mf (et ))=6 ξ2 σ.ξ1 σ 6Mf (et )ρ eρt(eρt )′Возврат к первоначальному аргументу приводит к требуемому результату.Отсюда, в частности, заключаем, что если целая функция f (z) с неотрицательными тейлоровскими коэффициентами и f (0) = 1 удовлетворяет принекотором σ > 0 неравенствуf (x) 6 eσx ,x > 0,то ее производная подчинена оценкеf ′ (x) 6 σef (x),x > 0.Действительно, при σ0 = 0 корнями уравнения (1.16), а именно, уравненияξ lne σ0== 0,ξσслужат числа ξ1 = 0, ξ2 = e .Уместно сравнить полученный факт с широко известной теоремой Бернштейна, утверждающей, что для целой функции экспоненциального типа σ ,ограниченной на вещественной оси, т.
е. удовлетворяющей условию|f (x)| 6 M,24x ∈ R,справедлива оценка|f ′ (x)| 6 σM,x ∈ R.f ′ (x) 6 σef (x),x > 0.В то же время, замена ограниченности функции на вещественной оси условием |f (x)| 6 eσx на полуоси вкупе с требованием положительности тейлоровских коэффициентов приводит, как показано выше, к оценкеАналогичные оценки можно дать и для целых функций нулевого порядка. Рассмотрим, например, целые функции логарифмического роста. Пусть0 6 σ0 < σ < ∞, и γ > 1 .
Пусть, далее, целая функция удовлетворяетусловиямγγeσ0 (ln r) 6 Mf (r) 6 eσ(ln r) ,r > 0.Тогдаξ1 σγ (ln r)γ−1 Mf (r) 6 r Mf′ (r) 6 ξ2 σγ (ln r)γ−1 Mf (r),r > 0,где ξ1 , ξ2 — корни уравненияγ(1 − γ) ξ γ−1 + γ ξ =σ0σвида (1.15) c параметрами p = γ и θ = σ0 /σ .Действительно, как и прежде, можем записатьln Mf (et )6 σ,t = ln r ∈ R.tγВ этом случае теорема 1.1 гарантирует оценкуσ0 6′et Mf′ (et )(ln Mf (et ))ξ1 σ 6=6 ξ2 σ,(tγ )′Mf (et ) γ tγ−1которая при t = ln r дает требуемый результат.1.3 Асимптотические оценки относительногороста функций и их производных1.3.1 Теоремы тауберова типаВернемся к теоремам, обратным к правилу Лопиталя.
Начнем с простыхf (x)функций f (x)утверждений, опирающихся на монотонность отношенияg(x)f ′(x)и g(x) в отличие от монотонности отношения ′производных этих функg (x)ций, используемой в теореме Е.25Теорема 1.3. Пусть функции f (x) , g(x) определены и дифференцируемы на интервале (a, b), b 6 ∞ , причем выполняются условия1) g(x)g ′(x) > 0 на (a, b) ,2) lim g(x) = ∞ .x→b−Тогда справедливы следующие утверждения.f (x)I. Если функциявозрастает на (a, b) , тоg(x)f ′ (x)f (x)=lim.′x→b− g(x)x→b− g (x)limII. Если функцияf (x)убывает на (a, b) , тоg(x)f (x)f ′ (x)=lim.x→b− g(x)x→b− g ′ (x)limТеорема 1.4.
Пусть функции f (x) и g(x) определены, дифференцируемы на интервале (a, b), b 6 ∞ , и удовлетворяют условиям1) g(x)g ′(x) < 0 на (a, b) ,2) lim f (x) = lim g(x) = 0 .x→b−x→b−Тогда справедливы следующие утверждения.f (x)I. Если функциявозрастает на (a, b) , тоg(x)f (x)f ′ (x)= lim.lim ′x→b− g(x)x→b− g (x)II. Если функцияf (x)убывает на (a, b) , тоg(x)f ′ (x)f (x)= lim.lim ′x→b− g(x)x→b− g (x)Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы 1.3, остальные утверждения теорем 1.3, 1.4 доказываются аналогично. Из условия теоремы следует, что′f ′ (x)g(x) − f (x)g ′(x)g ′ (x) f ′ (x)f (x)f (x)==−> 0, x ∈ (a, b).g(x)g 2 (x)g(x) g ′ (x)g(x)f (x)f ′(x)>.
Переход к нижним пределамОтсюда при тех же x получаем ′g (x)g(x)дает соотношениеf (x)f ′ (x)lim ′> lim,x→b− g(x)x→b− g (x)26которое вместе с неравенством (1.2) завершает доказательство.Замечание 1.3. Пусть g −1(t) — обратная функция к g(x) . В теоремах 1.3 и 1.4 верхниеи нижние пределы заменяются на обычные, если−1функция f g (t) выпуклавверх или вниз.
В этом случае производная−1′′f g (t)f (x)f ′ g −1(t) = ′ −1= ′монотонна, что гарантирует существоg (g (t))g (x)f ′ (x)вание предела lim ′ .x→b− g (x)Придадим „числовую“ окраску теореме D. В дальнейшем под f ′(x) понимаем правую производную.Теорема 1.5. I. Пусть функция f (x) выпукла, а функции g(x) и g ′ (x)положительны на интервале (a, b), b 6 ∞ . Тогда выполняется неравенствоf ′(x)f (x)lim ′6 βg lim,x→b− g (x)x→b− g(x)или, в краткой записи,∆ 6 T βg .(1.19)II. Пусть b = +∞ , функция f (x) выпукла, а производная g ′ (x) положительна на интервале (a, +∞) , причем g(+∞) = +∞ .
Тогда справедливонеравенствоf (x)f ′(x)lim6 αg lim ′,x→+∞ g(x)x→+∞ g (x)или, в краткой записи,τ 6 αg δ.(1.20)Доказательство. I. Если T = +∞ , то доказывать нечего. Если же T конечно, то для любого T ′ > T и x , достаточно близких к b , имеем f (x) 6 T ′ g(x) .В силу выпуклости и положительности функции f (x) имеемf (t)g(t)f (t) − f (x)6 inf6 T ′ inf.b>t>x t − xb>t>x t − xb>t>xt−xf ′(x) = infПоделив на g ′ (x) и перейдя к верхним пределам, получимf ′(x)1g(t)∆ = lim ′6 T ′ lim ′inf6 T ′ βg .x→b− g (x)x→b− g (x) b>t>x t − xПроизвольная близость T ′ к T влечет выполнение неравенства (1.19).27II.
Используя выпуклость f (x) , при x1 > a можем записатьf (x)f (x1) + f ′ (x)(x − x1)6 lim=g(x)x→+∞ g(x)x→+∞f ′(x) (x − x1)g ′ (x)f ′(x) xg ′(x)f (x1)+ ′6 lim o(1) + ′6= limg(x)g (x)g(x)g (x) g(x)x→+∞x→+∞τ = limxg ′(x)f ′(x)lim= δ αg ,′x→+∞ g (x) x→+∞ g(x)6 limчто приводит неравенству (1.20).Заметим, что для выпуклых неограниченно возрастающих на (a, +∞)функций g(x) выполняются неравенства αg > 1, βg > 1 .
Действительно,g(x) − g(x1)6 g ′ (x). Поэтомудля всех x > x1 имеемx − x1xg ′ (x)1 − g(x1)/g(x)> lim= 1.αg = limx→+∞ g(x)x→+∞1 − x1/xg(t)g(t) − g(x)6 inf, то и βg > 1 .t>x t − xt>xt−xЕсли αg = βg = 1 , то оценки (1.19) и (1.20) вместе с оценками (1.2)теоремы B приводят к следующему обращению правила Бернулли–Лопиталя(см. [35], [36]).Далее, поскольку g ′ (x) = infТеорема 1.6. Пусть функции f (x) и g(x) выпуклы на некотором интервале (a, +∞) , g ′ (x) > 0 для x ∈ (a, +∞) , и lim g(x) = ∞ . Тогда приx→ +∞выполнении условияxg ′ (x)lim=1(1.21)x→+∞ g(x)будут справедливы равенстваf ′ (x)f (x)lim ′= lim,x→+∞ g (x)x→+∞ g(x)f (x)f ′ (x)lim= lim ′ .x→+∞ g(x)x→+∞ g (x)(1.22)Доказательство. Первое равенство в (1.22) непосредственно следует из левого неравенства (1.2) теоремы B и неравенства (1.20).
Чтобы доказать второеравенство в (1.22), покажем, что условие (1.21) влечет равенство βg = 1. Действительно, из условия (1.21), как известно [86], для всякого c > 0 следуетg(cx) ∼ cg(x),28x → +∞.Но теперь при c > 1 имеем11g(x) cg(t)g(cx)climliminf666.x→+∞ g ′ (x) t>x t − xx→+∞ g ′ (x) x(c − 1)x→+∞ xg ′ (x) c − 1c−1βg = limcвеличину c > 1 к +∞ , приходимc−1к равенству βg = 1 . Применив теперь (1.19) и правое неравенство в (1.2),получим вторую формулу в (1.22).
Теорема доказана.Устремляя в неравенстве 1 6 βg 6Заметим, что общий вид дифференцируемых функций, удовлетворяющихусловию (1.21), дается формулой(1.23)g(x) = xl(x),где l(x) — медленно меняющаяся дифференцируемая функция, т. е. такая,xl′(x)= 0 (см. [86], [100]). Предписанный вид (1.23)для которой αl = limx→+∞ l(x)имеют, например, функцииg(x) = x lnp x,g(x) = x ln x lnp (ln x) , p ∈ R,pg(x) = x eln x , p ∈ (0, 1).Рассмотрим теперь обращение правила Бернулли–Лопиталя для функций g(x) , растущих более быстро, чем в (1.23).Перейдем к изучению асимптотического поведения относительного ростаположительных бесконечно больших функций при x → b, b 6 ∞ . В этомслучае характер поведения функций вблизи левого конца промежутка (a, b)не играет никакой роли. Поэтому без потери общности можно предполагать,что функции f (x), g(x) и их производные f ′ (x), g ′ (x) обращаются в нуль вточке x = a .
Иначе рассматриваем пару новых функцийg1 (x) = g(x) − g(a) − g ′ (a)(x − a) ∼ g(x),g1′ (x) ∼ g ′ (x),f1 (x) = f (x) − f (a) − f ′(a)(x − a) ∼ f (x),f1′ (x) ∼ f ′ (x),где x → b .Для выпуклых на интервале (a, +∞) функций всегда существует конечf (x)ный или бесконечный предел lim. Ситуация, когда этот предел конеx→+∞ xчен, не представляет интереса. Будем в дальнейшем считать, что выполняется условиеf (x)= +∞.(1.24)limx→ b− x29Кроме того, удобно рассматривать функции, заданные на промежутке [0, b) .Для таких функций всюду используем прежние обозначения из § 1.1, именно,f (x),x→ b− g(x)τ = limf ′(x),x→ b− g ′ (x)δ = limf (x),x→ b− g(x)T = limf ′ (x).′x→ b− g (x)∆ = limНапомним, что для выпуклой функции g(x) по правилу (1.8) для ξ ∈ (0, 1)определена функция ϕg (ξ) , введенная А.
В. Братищевым в [36]. Распространяя это определение на все неотрицательные значения аргумента, положимg(x′ ) + g ′ (x′)(x − x′)ϕg (a) = lim,x→ b−g(x)a > 0,(1.25)где x′ = x′ (a, x) = max {t : g ′ (t) 6 a g ′ (x)} .Справедлива следующая теорема (см. [20], [21]).Теорема 1.7. Пусть f (x) и g(x) – выпуклые на [0, b) функции, удовлетворяющие условию (1.24), и T ∈ (0, ∞).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
