Диссертация (1154389), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для целыхфункций с отрицательными нулями получены точные оценки индикатрисыроста.Отдельный § 3.5 посвящен экстремальным задачам для нижнего типа целой функции конечного порядка с нулями, имеющими заданные усредненныеплотности. Именно, в пунктах 3.5.1–3.5.3 найден точный диапазон для величины нижнего типа в важных случаях расположения нулей на одном луче ипроизвольно в комплексной плоскости.Подчеркнем, что построение экстремальных примеров целых функций взадачах третьей главы потребовало нетривиальных усилий и существенноопирается на результаты первой части диссертации.
Кроме того, поскольку найденные экстремальные величины имеют неэлементарный вид, то дляних найдены двусторонние оценки через известные функции и исследованоасимптотическое поведение.В завершение (см. § 3.6) рассмотрены непосредственные приложения результатов главы к теоремам единственности для целых функций.Автор выражает искреннюю благодарность А. М. Седлецкому, А. Ю. Попову и В. Б.
Шерстюкову за проявленный интерес к работе и плодотворныенаучные контакты. Отдельная признательность Д. Г. Цветкович за техническую помощь.11ГЛАВА 1НОВЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНОК ВЫПУКЛЫХФУНКЦИЙ1.1 О поведении отношений двух функцийи их производныхВ параграфе исследуется рост функций f (x) и их производных f ′ (x) относительно „эталонных“ функций g(x) и их производных g ′ (x) . Считаем, чтовсе эти функции определены на промежутке (a, b), где −∞ 6 a < b 6 +∞.В математической литературе теоремами абелева типа называются утверждения, в которых по асимптотическому поведению отношения производныхдвух функций делается вывод об асимптотическом поведении отношения самих функций.
Примером утверждения такого типа является классическаятеорема, известная как правило Лопиталя (исторически точнее — правилоБернулли–Лопиталя).Теоремами тауберова типа называются утверждения противоположногохарактера, когда из асимптотики отношения функций получают асимптотикуотношения их производных.Мы будем понимать под теоремами абелева типа более общие утверждения, в которых по точным асимптотическим границам относительного ростапроизводных двух функций определяются точные асимптотические границыотносительного роста самих функций.
Под теоремами же тауберового типапонимаем результаты противоположного характера, в которых по асимптотическим границам относительного роста двух функций находятся асимптотические границы относительного роста производных этих функций. В ситуации, когда границы смыкаются, получаем теоремы абелева и таубероватипов в привычном классическом смысле.Асимптотические границы роста функции f (x) относительно эталона g(x)определяем равенствамиf (x),x→ b− g(x)f (x),x→ b− g(x)T = limτ = limа ее производной относительно g ′ (x) — равенствамиf ′(x),x→ b− g ′ (x)f ′ (x).′ (x)gx→ b−∆ = limδ = lim12Эти величины могут быть как конечными, так и бесконечными.Общеизвестна следующая теорема Бернулли–Лопиталя.Теорема A.
Пусть функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы на (конечном или бесконечном) интервале (a, b) и удовлетворяютследующим условиям1) g ′ (x) 6= 0 на (a, b) ,2) lim g(x) = ∞ или lim f (x) = lim g(x) = 0 .x→ b−x→ b−x→ b−f ′ (x), то сущеx→ b− g ′ (x)Если существует (конечный или бесконечный) предел limf (x), причем эти пределы равны, т. е.x→ b− g(x)ствует предел limf (x)f ′(x)lim= lim ′ .x→ b− g(x)x→ b− g (x)(1.1)В случае, когда пределы отношений функций или их производных не обязательно существуют, справедлива следующая обобщенная теорема Бернулли–Лопиталя, содержащая теорему А.Теорема B.
Пусть функции f (x) и g(x) определены, дифференцируемына интервале (a, b) и удовлетворяют условиям1) g ′ (x) 6= 0 на (a, b) ,2) lim g(x) = ∞ или lim f (x) = lim g(x) = 0.x→ b−x→ b−Тогда выполняются неравенстваx→ b−f (x)f ′(x)6 lim ′ ,x→ b− g(x)x→ b− g (x)f ′ (x)f (x)6lim,′x→ b− g (x)x→ b− g(x)limlimили, в краткой записи,δ 6 τ,T 6 ∆.(1.2)Оценки (1.2) точны в классе выпуклых функций (см. ниже теорему 1.4).Замечание 1.1.
Теоремы А и В справедливы и при меньших ограничениях. Например, для выпуклой функции f (x) в них можно заменить производные на односторонние производные f+′ (x) или f−′ (x) .Сформулированные утверждения относятся к теоремам абелева типа. Насинтересуют обращения этих результатов, т. е. теоремы тауберова типа, когдаиз характера поведения отношения функций делаются заключения о характере поведения отношения их производных. Доказательства таких утверждений приведут нас к неравенствам противоположного (1.2) смысла. Кроме того, будут найдены условия, при которых в (1.2) реализуются знаки равенств.13Систематическое исследование вопроса об обращении правила Лопиталя вотечественной литературе началось, по-видимому, с работ А.
В. Братищева[35], [36]. Приведем в удобной для нас форме сводный результат, полученныйсочетанием предложений 2.2–2.5 из диссертации [36].Теорема C. Пусть функция g(x) непрерывно дифференцируема на (конечном или бесконечном) интервале (a, b) , g̃(x) — её наибольшая выпуклаяминоранта, и g ′ (x) > 0 . Зафиксируем число K ∈ (0, +∞) .1) Для того чтобы для любой выпуклой на (a, b) функции f (x) из неравенстваf (x)lim< ∞ (6 K)x→ b− g(x)следовало неравенствоf ′ (x)< ∞ (6 K),x→ b− g ′ (x)limнеобходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условияg̃ ′ (x)< ∞ (6 1),x→ b− g ′ (x)lim1g(t)inf< ∞ (6 1).x→ b− g ′ (x) t>x t − xβg := lim(1.3)(1.4)2) Пусть b = +∞ .
Для того чтобы для любой выпуклой на (a, +∞) функции f (x) из неравенстваf (x)> 0 (> K)x→+∞ g(x)limследовало неравенствоf ′(x)> 0 (> K),′x→+∞ g (x)limнеобходимо, а в случае, если g(x) выпукла, то и достаточно, чтобы выполнялось условиеxg ′ (x)αg := lim< ∞ (6 1).(1.5)x→+∞ g(x)Приведем также адаптированную версию обращения классического правила Лопиталя (см. [36, теорема 2.1]).14Теорема D.
Пусть выполнены условия теоремы C. Для того чтобы длялюбой выпуклой на (a, b) функции f (x) из равенстваf (x)=Kx→ b− g(x)limследовало равенствоf ′ (x)= K,x→ b− g ′ (x)необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условияlimгде обозначеноg̃ ′ (x)= 1,limx→ b− g ′ (x)(1.6)ϕg (ξ) < 1 при всех ξ ∈ (0, 1),(1.7)g(x′ ) + g ′ (x′)(x − x′ ),x→ b−g(x)(1.8)ϕg (ξ) := limξ ∈ (0, 1),и x′ = x′ (ξ, x) := max {t : g ′ (t) 6 ξ g ′ (x)} .Менее известна непредельная „монотонная“ версия правила Лопиталя,в которой устанавливается связь между монотонностью отношения функций и монотонностью отношения их производных (см., например, [93], [101],[126], [136]).Теорема E.
Пусть функции f (x) и g(x) определены, дифференцируемына (конечном или бесконечном) интервале (a, b) и удовлетворяют условиям1) g ′ (x) 6= 0 на (a, b) ,2) g(b−) = f (b−) = 0 или g(a+) = f (a+) = 0 .f ′(x)f (x)Тогда, если ′монотонна на (a, b) , то имонотонна в том жеg (x)g(x)смысле на (a, b) .Отметим, что монотонность фигурирующих в теореме E отношений функций и их производных позволяет определить точные границы изменения таких отношений. Без предположения монотонности вопрос существенно усложняется.
В более общей постановке он обсуждается в следующем параграфе.1.2 Равномерные оценки относительного роста функций и их производныхВ этом параграфе устанавливаются двусторонние оценки относительногороста производных двух функций, исходя из двусторонних оценок относи15тельного роста самих функций (см. [29]). Всюду речь идет о сравнении функций f (x) и g(x) , сохраняющих постоянные и при этом совпадающие знакина рассматриваемых множествах.Начнем со случая возрастающих бесконечно больших функций. Всюдудалее под f ′(x) понимаем правую производную функции f в точке x .Теорема 1.1. Пусть функция f (x) выпукла на некотором интервале (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞ , функция g(x) дифференцируема на этоминтервале, причем g ′ (x) > 0, и, кроме того, g(a+) = 0, g(b−) = +∞ .Пусть, далее, с неотрицательными константами m, M, m 6 M, выполнено условиеf (x)m 66 M,x ∈ (a, b).(1.9)g(x)Тогда справедлива двусторонняя оценкаf ′(x)6 M c2 (θ),M c1 (θ) 6 ′g (x)где θ =x ∈ (a, b),(1.10)m, а величины c1 (θ), c2 (θ) определяются правиламиMg(t) − θg(x)1sup,t−xx∈(a, b) g ′ (x) a<t<x1g(t) − θg(x)c2 (θ) = sup ′inf.t−xx∈(a, b) g (x) b>t>xc1 (θ) = inf(1.11)Доказательство.
Поскольку f (x) — выпуклая функция, то для произвольного x ∈ (a, b) можем записатьMg(t) − mg(x)g(t) − θg(x)f (t) − f (x)6 inf= M inf.b>t>xb>t>xb>t>xt−xt−xt−xf ′ (x) = infТаким образом,g(t) − θg(x).b>t>xt−xРазделив обе части на g ′ (x) , для всех x ∈ (a, b) получаемf ′(x) 6 M inf(1.12)g(t) − θg(x)1f ′ (x)6Minf6 M c2 (θ).g ′ (x)g ′ (x) b>t>xt−xОценка сверху в (1.10) доказана. Доказательство оценки снизу опирается нате же соображения. Именно, для x ∈ (a, b) запишемf (t) − f (x)>t−xa<t<xf ′ (x) > f−′ (x) = sup16Mg(t) − mg(x)g(t) − θg(x)= M sup,t−xt−xa<t<xa<t<x> supилиg(t) − θg(x).t−xa<t<xРазделив обе части на g ′ (x) , для всех x ∈ (a, b) получаемf ′ (x) > M sup(1.13)f ′(x)1g(t) − θg(x)>Msup> M c1 (θ).g ′ (x)g ′ (x) a<t<xt−xТеорема доказана.Отметим, что условия g(a+) = 0, g(b−) = +∞ в теореме 1.1 отброситьнельзя. При нарушении этих условий формулы (1.11), определяющие величины c1 (θ), c2 (θ) , дают c1 (θ) = −∞, c2 (θ) = +∞ .
В этом нетрудно убедиться игеометрически, рассмотрев, например, в случае конечности точек a, b функцию f (x) , график которой касается граничных прямых x = a, x = b .В условиях теоремы 1.1 величины c1 (θ), c2 (θ) удовлетворяют неравенствам0 6 c1 (θ) 6 θ,1 6 c2 (θ) 6 βg′ := sup1inf′x∈(a,b) g (x) t>xg(t).t−x(1.14)Действительно, неотрицательность c1 (θ) для θ ∈ [0, 1] следует из того, чтопри любом x > a в силу условия g(a+) = 0 множество {t < x : g(t) < θg(x)}не пусто.
Справедливость остальных свойств (1.14) вытекает из очевидныхнеравенствθ(g(t) − g(x)) 6 g(t) − g(x) 6 g(t) − θg(x) 6 g(t),Покажем, что если g(x) — выпуклая на (a, b) функция, то оценка (1.10)точна. Построим функцию f (x) , подчиненную условию (1.9), для которойравенства в обеих частях (1.10) достигаются в некоторых точках промежутка J = (a, b) . Для удобства считаем, что 0 < θ = m < M = 1 . Пустьположительная дифференцируемая функция g(x) выпукла и возрастает напромежутке J , и θ ∈ (0, 1) — фиксированное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
