Диссертация (1145314), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогдамножество называется сильно причинным, если сильная причинность выполняется в— 31 —каждой его точке. На самом деле, это определение эквивалентно данному выше. Действительно, если p имеет сколь угодно малые причинно выпуклые окрестности, тотаковую можно найти и в U. Такая окрестность будет очевидно удовлетворять требованиям, определяющим V . И наоборот, предположим, что в p выполняется сильнаяпричинность в смысле О’Нила. Выберем тогда произвольное множество U и для соотSветствующего ему V построим множество W = r,q∈V <r, q>.

Очевидно W — окрестностьp, и по построению причинно выпукла. Но каждое <r, q> по предположению лежитцеликом в U, и, значит, W ⊂ U. Следовательно, у p есть сколь угодно малые причинновыпуклые окрестности.37. Замечание. Следует подчеркнуть, что сильная причинность — это характеристикане только пространства-времени N, но и тройки (M, N, φ), где φ — вложение N в M(формально это следует из того, что в определение входит понятие причинной выпуклости, а значит, множества <p, q>M , а не <p, q>N , см.

определение 32). Если M1 и M2— два разных расширения N, то может оказаться, что N является сильно причиннымподмножеством M1 , но не M2 . Поэтому выражение «сильно причинное пространствовремя N» строго говоря бессмысленно, ср. замечание 3, и используется только, когда Mочевидно, в основном, когда N = M (в каковом случае речь идёт о внутренней сильнойпричинности, см. определение 42). Это же относится и к причинной выпуклости.38. Пример. Пусть N — ромб |x0 ± x1 | < 1 с метрикойη:ds2 = −dx02 + dx12 .Легко проверить, что N — сильно причинное подмножество плоскости МинковскогоL2 , то есть пространства-времени (R2 , η).

В то же время, N может быть продолжено доцилиндра (CM , η)x0,1 ∈ R1 ,CM :x0 = x0 + 3.Тогда через каждую точку N будет проходить замкнутая непространственноподобнаякривая x1 = const, и, значит, N не является сильно причинным подмножеством CM .Разовьём немного концепцию «почти замкнутых» непространственноподобныхкривых.39. Определение. Про непродолжимую в будущем направленную в будущее кривуюλ : I → M говорят, что она полностью захвачена в направлении будущего множествомK, если для некоторого ξ0 ∈ Iλ(ξ) ∈ K,∀ ξ > ξ0 .Если выполняется более слабое условиеλξ>ξ0∩ K 6= ∅,∀ ξ0 ∈ I,— 32 —то говорят, что λ(x) частично захвачена в направлении будущего множеством K.

Захват в направлении прошлого определяется дуально.В сильно причинном пространстве-времени исключены обе эти возможности, ср. предложения 6.4.7 и 14.13 в [27] и [136], соответственно.40. Предложение. Непродолжимая в будущее (прошлое) непространственноподобнаякривая покидает навсегда любое компактное сильно причинное множество N.§4Глобальная гиперболичностьНесмотря на свои замечательные свойства сильно причинные пространства-времена, в общем случае, всё ещё «недостаточно хороши» и могут обладать различныминежелательными патологиями (если, например, вырезать из такого пространства-времени замкнутое множество, оно останется сильно причинным).

Поэтому гораздо болееважной в ОТО оказывается некая их специальная разновидность.41. Определение. Сильно причинное множество N ⊂ M называется глобально гиперболическим подмножеством M, если 6p, q>M для любых p, q ∈ N компактно и лежит вN.Простым примером служат две полуплоскости: x0 < 0 и x1 < 0 — в L2 .

Только перваяявляется глобально гиперболическим подмножеством, хотя обе сильно причинны.Прежде чем обсуждать исключительную простоту и другие достоинства глобально гиперболических пространств, мы вынуждены решить одну, уже упоминавшуюся,терминологическую трудность. Дело в том, что глобальная гиперболичность (точнотак же, как сильная причинность) — свойство тройки (M, N, φ), см. замечание 37, ане только самого N. Однако формально правильное выражение «глобально гиперболическое подмножество такого-то пространства-времени» слишком неуклюже и егово многих случаях сокращают (мы тоже будем так поступать). В частности, при обсуждении N его часто называют просто «глобально гиперболическим», что приводитк неопределённости.

Во избежание связанной с этим путаницы, введём уточняющийтермин [103].42. Определение. Пространство-время, которое является глобально гиперболическим(сильно причинным) подмножеством себя самого, называется внутренне глобальногиперболическим (соответственно, внутренне сильно причинным).Глобально гиперболическое подмножество N пространства-времени M очевидновсегда внутренне глобально гиперболично.

Обратное, однако, верно не всегда, см. пример 38, где ромб N будучи внутренне глобально гиперболическим, оказывается не глобально гиперболическим подмножеством цилиндра CM . Но если N причинно выпукло,ситуация меняется.— 33 —43. Предложение. Внутренне глобально гиперболическое пространство глобально гиперболично, если и только если оно причинно выпукло.Доказательство. Пусть N причинно выпукло. Тогда из компактности 6p, q>N , гдеp, q ∈ N, следует компактность 6p, q>M (это попросту одно и то же множество), а извнутренней сильной причинности N следует его сильная причинность как подмножества M.

Это доказывает часть «если» предложения. Далее, если N не причинновыпукло, то некоторая непространственноподобная кривая, начинающаяся в p ∈ N ипокидающая N, возвращается затем в него и кончается в некоторой q ∈ N. Это означает, что 6p, q>M ∈/ N, и, таким образом, N не является глобально гиперболическимподмножеством M.44. Предложение.

[27, 6.6.1] Если K — компактное подмножество (например, точка)открытой глобально гиперболической области N, то оба множества J ± (K) ∩ N замкнутыв N (такое свойство называется «причинной простотой»).45. Следствие. [136, Лемма 14.22] Пусть M — глобально гиперболическое пространство-время, и пусть pi , qi ∈ M — последовательности сходящиеся, соответственно, к p иq. Тогда из ∀i pi 4 qi следует p 4 q.Важность внутренне глобально гиперболических пространств вытекает, в основном,из того, что физика в таких пространствах может изучаться в привычных терминахзадач типа Коши.46. Предложение. Пространство-время внутренне глобально гиперболично, когда итолько когда оно содержит подмножество — называемое поверхностью Коши — которое пересекается, ровно в одной точке, с любой непродолжимой времениподобнойкривой.Часть «когда» этого фундаментального предложения содержится в следствии 14.39[136].

А часть «только когда» составляет половину теоремы Геароуча о расщеплении(см. предложение 6.6.8 в [27]).Предостережение. Наши определения поверхности Коши и (ниже) области Коши совпадают с принятыми О’Нилом в [136]. Поэтому первое отличается от принятого Хокингом и Эллисом в [27] или Геароучем в [79] (мы не требуем пространственноподобности), а второе — от принятого в [79]. Последнее отличается от нашего заменой слова«непространственноподобная» в определении 49 на «времениподобная».

Как следствие,область Коши по Геароучу есть замыкание нашей (ср. предложение [27, 6.5.1]).Оказывается, геометрические свойства пространства довольно жёстко ограничиваются предположением, что оно глобально гиперболично.— 34 —47. Предложение. Если S — поверхность Коши пространства-времени M, то(а) S есть связная замкнутая ахрональная топологическая (то есть C0 ) гиперповерхность;(б) S гомеоморфна любой другой поверхности Коши в M;(в) M = R1 × S, причём {t} × S для каждого t является поверхностью Коши.Связность S доказана в [136, 14.31], ахрональность следует прямо из определения,а остаток 47(а) есть простое следствие предложения 28. Предложение 47(б) — этоследствие [136, 14.32], а 47(в) — это вторая половина теоремы Геароуча о расщеплении.Хотя топологически все поверхности Коши эквивалентны, они могут различаться геометрически.

Существование среди них достаточно регулярных гарантируетсяследующим предложением [38]:48. Предложение. В любом глобально гиперболическом пространстве-времени M найдется гладкая пространственноподобная акаузальная поверхность Коши S, такая чтоM диффеоморфно R1 × S.[акаузальность (в предположении ахрональности) доказывается в лемме [136, 14.42]].Как следует из двух последних предложений, в глобально гиперболических пространствах топология в некотором, хорошо определённом смысле, не меняется со временем: (грубо говоря, если глобально гиперболическое пространство-время родилосьодносвязным, то никакая ручка в нём и не появится).Предложения 46 и 43 дают простой способ построения глобально гиперболических подмножеств: выберем в каком-нибудь пространстве-времени M некоторое множество S и удалим из M все непродолжимые времениподобные кривые, которые непересекают S или пересекают его более чем в одной точке.

Оставшееся множествоN (если оно непусто и открыто) будет глобально гиперболическим подмножеством M.Действительно, по построению S — поверхность Коши в N, так что последнее внутренне глобально гиперболично. В то же время N причинно выпукло в M, потому чтоиначе существовала бы непространственноподобная кривая λ такая что пересечениеλ ∪ N имело бы более одной связной компоненты. Но каждая из этих компонент должнапересечь S (которая, вспомним, является поверхностью Коши в N), что противоречитахрональности последней.

Сформулируем эту мысль строго.49. Определение. Область Коши множества U, она обозначается D(U), есть множество всех точек p, обладающих тем свойством, что каждая непродолжимая непространственноподобная кривая, проходящая через p, пересекает U.D(U) всегда непусто, потому что содержит хотя бы U. Может, однако, оказаться (дажепри ахрональном U), что оно не содержит ничего больше: D(U) = U. Это равенство— 35 —tS(а)(б)Рис. 2: (а). Полоска S пространственноподобна, но не ахрональна: на её верхнем инижнем концах есть причинно связанные точки.

Характеристики

Список файлов диссертации