Диссертация (1145314), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

ЕслиCлокально, то верны импликации(а) V ⊂ W , W ∈ C(б) O1 , O2 ∈ C⇒⇒V ∈ C;(O1 ∪ O2 ), (O1 ∩ O2 ) ∈ C;(в) N 0 локально изометрично N, N ∈ C2)⇒N 0 ∈ C.Ср. с «особенно интересными» условиями, налагаемыеми на свойства в Приложении Б [8].— 51 —4. Примеры. Требование «удовлетворять уравнениям Эйнштейна»Gab = 8πTab(1)локально, когда тензор энергии-импульса Tab определяется в каждой точке величиной полей (и их производных) в ней. Свойства «быть геодезически полным» или«быть b-полным», см.

A. § 3, очевидно, не удовлетворяют ⇒ части эквивалентности.Таким образом, эти свойства нелокальны (именно это и делает изучение сингулярностей столь сложным). Расширяемость и причинность тоже нелокальны: обе нарушают ⇐ часть. По той же причине статичность — тоже нелокальное свойство, какдемонстрирует пространство Мизнера, см. 4. § 2 n◦ 1. В то же время «локальная статичность», то есть, свойство иметь единственное (с точностью до постоянного множителя)поверхностно-ортогональное времениподобное поле Киллинга в каждой односвязнойобласти [72, 161], является, как явствует и из названия, локальным.Определение 2 сформулировано в чисто топологических терминах, поэтому прижелании можно было бы заменить слово «пространство-время» на «многообразие» илидаже «топологическое пространство»; мы бы обнаружили тогда, что, например, свойство «быть гладким» локально, а «быть связным» — нет.

Нам, однако, такая общностьне понадобится. Для характеристики же законов движения материальных полей определение 2 адекватно: мы будем называть локальным такой закон, который при любомвыборе открытого покрытия M = ∪αVα выполняется во всём пространстве-времени M,когда и только когда он выполняется в каждом элементе Vα .Замечание.

Определение локальности следует давать очень осторожно. Так, на первыйвзгляд кажется, что можно было бы без особого ущерба заменить определение 2 натакое: C локально, если верно, чтоM∈C⇔U ∈C∀U :U открыто и U ( M.Однако, на самом деле, это привело бы другому понятию. Свойств, удовлетворяющихэтому новому определению больше, чем локальных. Например, в римановом случаеему удовлетворяет — нелокальное согласно определению 2 — свойство «иметь диаметр,не превосходящий единицы». К интуитивному понятию локальности ближе определение 2: не хотелось бы, в частности, называть локальным условие, не обладающеесвойством 3(б).

Различие между двумя рассматриваемыми определениями весьма существенно и в данной работе. Понятие локальности входит в формулировку теоремы 5.2, и если используется обсуждаемое «модифицированное» определение, как было(ошибочно) заявлено в [106], то теорема становится неверной или, во всяком случае,недоказанной [127, 123].— 52 —По мере развития ОТО нередко возникает соблазн3) подчинить пространствавремена некоторым дополнительным условиям, не входящим в определение. От такихусловий обычно требуется локальность, поэтому следует иметь в виду, что1. хотя локальные условия и кажутся более «естественными», нет (насколько мнеизвестно) никаких аргументов в пользу такого требования;2. некоторые из стандартных условий (в частности, хаусдорфовость и нерасширяемость) локальными не являются;3.

наложение дополнительного локального условия C может потребовать пересмотра понятия нерасширяемости. Так случится, если окажется, что C-пространстворасширяемо, но ни одно его расширение уже не удовлетворяет C. Пример такойситуации сейчас будет приведён.5. Определение. M 0 называется C-расширением C-пространства M, если оно являетсярасширением M и C-пространством. M C-расширяемо, если у него есть C-расширениеи C-максимально в противном случае.Разница между расширяемостью и C-расширяемостью видна на примере области IV(это одна из областей с r > 2m) пространства Шварцшильда, см. 8.

§ 2 n◦ 1. Если C — этосвойство быть локально статическим, то упомянутая область — C-пространство. И онарасширяема (например, до пространства Крускала). При этом в любом расширенииполе Киллинга на границе области станет светоподобным, и значит, это расширениене обладает свойством C.

Следовательно, область C-максимальна. Таким образом требование, чтобы пространство-время удовлетворяло какому-нибудь дополнительному(пусть даже локальному) требованию, вполне может войти в противоречие с требованием, чтобы оно было нерасширяемо.n◦ 2Слабое энергетическое условие (СЭУ)Важным классом локальных условий являются те, что налагаются на тензорЭйнштейна Gab или, постольку поскольку мы принимаем уравнения Эйнштейна (1), натензор энергии-импульса Tab . К таковым, в частности, относится слабое энергетическоеусловиеTab 3a 3b > 0∀ причинный 3.(2)(другие локальные энергетические условия можно найти в [27]). Значение СЭУ состоит в том, что оно связывает довольно распространённое свойство материи, заполняющей пространство-время, с достаточно наглядной геометрической характеристикойпоследнего.3)Одна из причин — недостаток предсказательной силы теории.

Мы будем это обсуждать в § 3.— 53 —С точки зрения свойств материального источника СЭУ — это требование, чтобы плотность энергии была неотрицательной в собственной системе отсчёта любогонаблюдателя. Существуют экспериментальные доказательства того, что СЭУ выполняется не всегда (так, был экспериментально зафиксирован [151, 116] эффект Казимира [9, 5]). Более того, материя, нарушающая СЭУ составляет, возможно, основнуючасть всей материи во Вселенной. Тем не менее широко распространено мнение, согласно которому нарушения СЭУ имеют квантовую природу (см. 7.7), в то время какклассически оно справедливо всегда4) .Чтобы понять геометрический смысл СЭУ, рассмотрим двумерную ориентируемую пространственноподобную поверхность Ξ и точку p на ней.

Из каждой точки Ξ,лежащей внутри некоторой малой окрестности p, выпустим по светоподобной геодезической в направлении нормальном к Ξ (строго говоря, в каждой точке на Ξ есть дватаких направления; мы выберем какое-то из них, имея в виду, что от точки к точкеэто направление меняется непрерывно5) ). Эти геодезические образуют пучок («конгруэнцию», 3-поверхность) H. Обозначим через γ p ту геодезическую из конгруэнции,которая начинается в p, через ζ — аффинный параметр на γ p (фиксированный, с точностью до множителя, условием ζ(p) = 0), а через A(ζ) — площадь поперечного сеченияпучка в γ p (ζ). Теперь H можно охарактеризовать расхождением θ(p) — величиной впределе бесконечно узкого пучка пропорциональной A−1 dζd A .

Очевидно, θ положиζ=0тельна, если пучок расходится, и отрицательна в обратном случае. Но θ подчиняетсяещё и неравенствуdθ 6 − 21 θ2 − (∂ζ )a Rab (∂ζ )b ,dζ(3)см., например, гл. 4 в [27]. Это неравенство — чисто геометрический факт, следствиеуравнения геодезических, и верен для любой так построенной конгруэнции (то естьне зависит от выбора Ξ). Как мы видим,dθ 6 − 21 θ2dζпри выполнении СЭУ.(4)Таким образом, кривизна, порождённая обычной (подчиняющей СЭУ) материей, может фокусировать световые лучи («гравитационное линзирование»), но не рассеиватьих: изначально сходящийся тонкий пучок остаётся сходящимся, пока не сфокусируется в точку. Причём происходит эта фокусировка на «конечном расстоянии». Действительно, (4) легко интегрируется:−1θ(ζ) = ζ/2 + 1/θ(0) + f ,где f — неубывающая функция, обращающаяся в 0 в ζ = 0. Это доказывает следующуюверсию предложения [27, 4.4.6].4)5)Альтернативную точку зрения можно найти в [163, 35].Именно для того, чтобы такой выбор был возможен, нам понадобилась ориентируемость Ξ.— 54 —6.

Предложение. Если θ(0) < 0, а пространство-время подчиняется слабому энергетическому условию, то найдётся число ζ∗ , такое что θ(ζ∗ ) = −∞, при условии что γ pпродолжима до точки p∗ ⇋ γ p (ζ∗ ).В p∗ , если эта точка существует, площадь сечения пучка обращается в ноль, то естьγ p пересекается (или «почти пересекается», см. пример [136, 10.31]) в этой точке ссоседними образующими H.

Важность p∗ — такие точки называют сопряжёнными Ξвдоль γ p — состоит в том, что любая точка γ p , лежащая за p∗ может быть достигнута из Ξ по времениподобной кривой (см. предложение [27, 4.5.14] ; в случае, когда некоторые образующие действительно пересекаются в p∗ , это простое следствиепредложения 1.20(г)).Предложение 6 важно для нас уже тем, что устанавливает некоторую связь между максимальностью скорости света и положительностью энергии, ибо обосновываетследующее важное7. Утверждение.

Если в геодезически полном пространстве-времени удовлетворяетсяслабое энергетическое условие, то светоподобная геодезическая, стартовавшая из точки p, достигает достаточно удалённой цели позже, чем некоторые другие причинныекривые, начинающиеся на той же двумерной ориентируемой пространственноподобнойповерхности Ξ, если последняя выбрана так, что θ(p) < 0.В дальнейшем нам также пригодится и ещё одно вытекающее из предложения 6 всочетании с предложением [27, 4.5.14]8. Следствие.

Если образующие H полны в будущем (или прошлом), и в некоторойточке p ∈ H выполняется неравенство θ(p) < 0 [соответственно, θ(p) > 0], то H не ахронально.§2Предельная скорость и причинностьОбщеизвестно, что согласно теории относительности ничто не может двигаться”быстрее света“ Д̇ля нас весьма важно, что это простое, сильное и лапидарное утверждение неверно. Так, например, солнечный зайчик или тень6) вполне могут перемещаться быстрее света, не вступая при этом ни в малейшее противоречие с теориейотносительности. Но значительна ли допущенная ошибка? Нельзя ли спасти процитированный запрет просто слегка переформулировав его? Оказывается, нет. Опытпоказывает, что простые уточнения (запрет на превышение скорости света толькоскоростью «материального объекта», или групповой скоростью, или «скоростью передачи энергии» и т.

п.) проблему не решают. Это и делает необходимым данный6)Множество такого рода контр-примеров можно найти в хороших книгах по СТО, см., например,[21].— 55 —параграф. Наша задача — выяснить:1) какое именно ограничение скорости устанавливает теория относительности?2) как она это делает? Ведь если речь идёт о свойствах частиц и материальных полей,то они определяются уравнениями движения этих частиц и полей, теория относительности тут ни при чём. А если это свойство пространства-времени, то где оно«запрятано» в его определении?3) как связан обсуждаемый запрет с локальностью и причинностью, часто упоминаемыми в этом контексте?n◦ 1Скорость, подпадающая под ограниченияРассмотрим в пространстве Минковского точечную частицу ненулевой массы mс мировой линией xi (t), где t ⇋ x0 и xi , i = 1, 2, 3,— стандартные декартовы координаты,см.

пример 1.66. Определим 3-скорость v этой частицы формулойs23 v ⇋ ∑ dxi /dti=1и предположим, что частица является досветовой, то есть, что v < 1. Тогда энергия ча√стицы, измеренная в координатном базисе, есть m/ 1 − v2 . И поскольку это выражениерасходится при v → 1, мы заключаем, что массивная изначально досветовая частицане может быть ускорена до (сверх)световой скорости. Или, иначе говоря, что мироваялиния такой частицы времениподобна.Именно этот ясный и важный факт и хотелось бы обобщить на более сложныетеории, те, например, которые описывают поля или протяженные источники и т.

п.Но на этом пути как раз и возникает нетривиальная проблема с определением того,скорость чего именно следует ограничивать.9. Пример. Представим себе ряд электрических диполей, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга вдоль оси x. Каждый из них присоединён к устройству,способному перевернуть его в назначенный момент времени. Рассмотрим теперь дваслучая:(а) каждый диполь с координатой x переворачивается в момент t(x) = x/va , где va —некоторая константа.(б) переворачивается только диполь x = 0 и только в момент t = 0;Измерим в каждом из этих случаев y-компоненту напряжённости электрического поля. Очевидно, в обоих случаях Ey (x,t) представляет собой при положительных x импульс, бегущий в положительном направлении.

Характеристики

Список файлов диссертации