Диссертация (1145314), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Скорость его движения7) равна va в7)Импульсы ещё и деформируются по мере движения. Но поскольку, очевидно, этот эффект к делуне относится, мы пренебрегаем им.— 56 —первом случае и некоторому vб — во втором.Естественно спросить, чем так сильно отличаются между собой эти импульсы, что некоторое фундаментальное ограничение справедливо только для одного изних? Ведь очевидно, что уравнения Максвелла (не теория относительности) потребуют vб 6 1, но не видно причин, по которым va не могла бы быть сколь угодно большой(некоторые разновидности подобных сверхсветовых электромагнитных волн можнонайти в [148, 45]). Дело, по-видимому, в том, что в случае 9(а) импульс не является«настоящим». В действительности это (в первом приближении) совокупность «горбов» или «вздутий», каждое возникает в своём месте, где в дальнейшем и остаётся.

Входе эволюции оно меняет свою форму (сначала растёт в размерах, потом уменьшается и, наконец, исчезает) но не местонахождение, так что его скорость равна нулю.То, что результат эволюции всей совокупности горбов напоминает распространениеимпульса — не более, чем иллюзия.

С другой стороны, иллюзия эта весьма устойчива, и хотелось бы иметь формальный способ отличать «настоящие» импульсы от«иллюзорных», распадающихся на независимые вздутия. Как представляется, такойметод должен был бы основываться на различии между событиями независимыми ипричинно связанными. Именно это различие и есть основной предмет обсуждения вданном параграфе: мы хотим наметить способ введения в столь строгую и формализованную науку, как ОТО, столь расплывчатых и, по-видимому, посторонних понятий,как причина и следствие.10. Замечание.

На самом деле, проведение упомянутого различия — проблема оченьдревняя. Рассмотрим, например, то, что представляется стрелой с мировой линиейα(t). Следует ли нам говорить о стреле, движущейся со скоростью α̇, или о совокупности неподвижных стрел, каждая из которых существует в течение одного мгновения вопределённой точке кривой α? Этот вопрос, традиционно воспринимай, как философский, становится (до некоторой степени) физическим при обсуждении причинности.Связь отношения причина–следствие со «световым барьером» хорошо видна на примере точечных сверхсветовых частиц, тахионов. Запрещает ли теория относительностиих существование? Одно время считалось очевидным, что ответ положителен, и вдоказательство приводился следующий мысленный эксперимент, восходящий ещё кТолману [157].

Пусть наблюдатель A излучает в точке a тахион τ1 , см. рисунок 2а.Тахион принимается в точке b наблюдателем B и затем переизлучается последним вточке c, см. рисунок 2б. После чего переизлучённый тахион, на рисунке он обозначенτ2 , поглощается A в d. Поскольку мировые линии тахионов пространственноподобны,параметры эксперимента (скорость B, задержка между получением им τ1 и излучением τ2 и т. д.) могут быть подобраны так чтобы d предшествовало a на мировой линии— 57 —tttxcaddτ2cτ1bbτ2xx(а)(б)Рис. 2: Мысленные эксперименты с тахионами приводят к (кажущимся?) проблемамс причинностью.

Их источником является тот факт, что dc выглядит направленным вбудущее для наблюдателя A , но направленным в прошлое для B.A . Другими словами, A в этом опыте умудряется послать (из a) сигнал в собственноепрошлое. А это предположительно ведёт ко всевозможным парадоксам.Позже, однако, возобладала точка зрения, согласно которой никаких сигналов впрошлое наблюдатель послать не сможет, а вся проблема чисто интерпретационная [4].Действительно, b происходит позже, чем a, а c — позже чем d всего лишь в том смысле,чтоt(a) < t(b),t 0 (c) < t 0 (d),(5)где t и t 0 — временны́е координаты в собственных системах отсчёта наблюдателей A иB, соответственно.

(Эти соотношения напоминают соотношения a 4 b, c 4 d, но — какраз в случае пространственноподобного разделения — с ними не совпадают). Интерпретация событий a и c, как излучения, а b и d, как поглощения тахионов (или, чтото же самое, a, как причины b, а c, как причины d) основывается исключительно нанеравенствах (5). Но такое обоснование (post hoc, ergo propter hoc) известно как разсвоей несостоятельностью. И действительно, сравнение второго из этих неравенств с— тоже верным — соотношением t(d) < t(c) указывает на непригодность (5) для установления причинно-следственных отношений. А с другой стороны, отказавшись отэтой интерпретации и объявив события c и d причинно несвязанными («принцип реинтерпретации» [4]), мы немедленно избавляемся от проблем с «парадоксами»: тахионτ2 больше не является сигналом (A в точке d не узнаёт ничего о B) и т.

д.— 58 —Однако преодолев одну проблему, такое решение немедленно порождает другую,см., в частности, [28]. Ведь если никакие точки на кривой (в данном случае на отрезкеcd) причинно не связанны, то чем можно оправдать представление о ней, как о мировой линии некоторой частицы? Очевидно, последовательно применённый, принципреинтерпретации превращает тахион из точечной частицы в некое подобие солнечного зайчика или совокупность «горбов», см. начало данного пункта.

И в этом смысле,действительно, можно сказать, что теория относительности запрещает сверхсветовыечастицы в той степени, в какой мы считаем невозможной посылку сигнала в прошлое.n◦ 2Причинно-следственные связиИтак, наша задача — как-то формализовать понятия причины и следствия в рамках ОТО. В этом пункте мы ограничимся рассмотрением материальных полей в фиксированном, независящем от них, пространстве-времени. Исследование более тонкогои более важного для нас вопроса (какова «скорость гравитации») отложим до n◦ 4.Рассмотрим какую-нибудь теорию классического материального поля f . Такаятеория состоит из пространства-времени M и указания, какие именно функции f мысчитаем «физическими», то есть приемлемыми, описывающими реальный мир. В типичном случае это указание состоит из уравнения, описывающего динамику поля,(«уравнения движения») и некоторого набора B ограничений на допустимые решения.Например, в электродинамике f — это вектор-потенциал Aµ , его уравнение движениясуть уравнения Максвелла, а B включает, во-первых, требования к поведению на бесконечности (обычно, требуется достаточно быстрое убывание) и, во-вторых, законы,хотя бы некоторые, движения источников (это тоже определённого рода граничныеусловия), ср.

пример 11(в).11. Пример. Пусть M — это плоскость Минковского, а f — это скалярное поле φ, подчиняющееся уравнению(∂t2 − ∂2x )φ = 0.(6)В качестве B можно выбрать разные наборы условий:(а) Пусть Bа — это требование чтобы φ была гладкой и чтобы при каждом t её производные были интегрируемы с квадратом на оси x.Тогда с физической точки зрениявыбор B = Bа означает, что мы признаём возможными любые поля с конечнымиэнергией и плотностью энергии.(б) Представим, что φ(t0 , x0 ) = φ0 неизменно влечёт за собой φ(t0 , x0 + 1) = φ0 или, иначеговоря, в природе существуют только периодические по x (с периодом равным1) решения.

Такое свойство кажется весьма экзотичным, но нам важно только,что оно не противоречит (6). И если бы оно было экспериментально обнаружено,— 59 —для его описания пришлось бы выбирать B = Bб , где Bб включает в себя условиепериодичности.(в) Пусть M для простоты будет пространством Минковского, а через Bв обозначимтребование, чтобы i) φ как классическая функция существовала на M − λ, где λ —некоторая кривая, заданная зависимостью r c (t) радиус-вектора от времени (имеется в виду радиус-вектор в трёхмерном пространстве t = const), и ii) φ, уже какобобщённая функция, удовлетворяла при каждом t уравнению φ = δ r − r c (t) .Очевидно, положив B = Bв , мы включаем в рассмотрение точечный источник поля.

Для него не формулируются динамические уравнения [иначе их надо былобы учитывать точно на том же уровне, как (6)], но можно накладывать «руками» какие-нибудь условия на его мировую линию λ, в частности, на допустимуюскорость v = dr c /dt.Заметим, что, во-первых, условия, входящие в B, могут быть и нелокальны (например, условие интегрируемости в первом примере) и, во-вторых, условия, которые водной теории входят в B, могут в другой (более широкой) теории оказаться уравнениями движения.

Так, например, случится с упомянутыми ограничениями на движенияисточников, если перейти (в случае электродинамики) от теории свободного электромагнитного поля к магнитной гидродинамике.12. Определение. Зададимся событием (точкой) p ∈ M и допустим, что некоторое замкнутое акаузальное множество A ⊂ M, не содержащее p, обладает тем свойством, чтоf (p) однозначно определяется значениями f и его производных в точках A.

Допустимдалее, что этим свойством не обладает никакое замкнутое собственное подмножествоA. Будем в этом случае говорить, что A определяет p. Введём также обозначениеq ⥊ p для «q принадлежит множеству, определяющему p».Отношение ⥊ будет ниже использовано для введения причинно-следственных связей. Важно поэтому отметить, что оно сильно зависит от выбора B, а это последнее,подчеркнём ещё раз, является независимым элементом теории, ни в коем случае несводящимся к уравнению движения. Рассмотрим, например, два отрезкаΣ1 :{t = 1, x ∈ [−1, 1]}иΣ2 :{t = 1, x ∈ [0, 1]}.Задав на Σ1 начальные условия для уравнения (6), мы, конечно, однозначно узнаем φ(o),где o — начало координат.

С другой стороны, ни Σ2 , ни какое-либо другое замкнутоеподмножество Σ1 для этого, при B = Bа , не годятся. Таким образом, Σ1 в примере 11(а)определяет o, а Σ2 — нет. В примере же 11(б) благодаря периодичности φ значение φ(o)однозначно устанавливается по данным, фиксированным на Σ2 (но не его подмножестве). И, значит, теперь, наоборот, Σ2 определяет o, а Σ1 — нет. Аналогично рассуждая,— 60 —нетрудно убедиться, что, например, p ⥊̸ o в первом случае, и p ⥊ o — во втором, гдечерез p обозначена точка {t = 1, x = 2}. Наконец, в случае B = Bв отношение между p иo зависит от условий на λ, если таковые наложены. Так, условие |v| < 1 означает, чтоp ⥊̸ o.Отношение ⥊ уже очень близко к отношению причина–следствие.

Характеристики

Список файлов диссертации