Диссертация (1145314), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Действительно, представляется совершенно естественным считать, что события p и q причинно несвязаны между собой, еслиq ⥊̸ p,p ⥊̸ q,то есть если происходящее в p (а именно, значение f и его производных) не влияет наситуацию в q (пока эти значения остаются неизменными в каком-нибудь множестве,определяющем q) и наоборот.Однако эта характеристика ещё слишком груба.

Она не проводит никакого различия между причиной и следствием. В действительности, из того, что q ⥊ p, никакнельзя заключить, является ли q причиной p или следствием. И это вполне оправдано. Выбирая разные функции fA (сужение f на множество A 3 q, определяющее p), мыобнаружим, что соответственно меняется и f (p), независимо от того, какие — допустимые — значения принимает f вне A. Это наводит на мысль, что p следует пониматькак следствие.

Однако можно точно так же выбирать разные f (p) и констатировать,что это каждый раз соответствует новой fA (независимо, опять же, от того, какие допустимые f выбраны в остальных точках M − p − A). И тогда столь же естественнойкажется интерпретация p как причины, а q как следствия.Для преодоления такой неоднозначности мы прибегнем к двум всё ещё не использованным свойствам, присущим отношению причина–следствие, как оно понимаетсяинтуитивно. А именно, событие не должно быть причиной своей причины, и причинапричины есть причина.13. Определение.

P («является причиной», или «может воздействовать на») есть антисимметричное транзитивное отношение8) , получающееся из ⥊ не более чем «переориентацией» соответствующих рёбер, то есть(q P pилиp P q)⇔(q ⥊ pилиp ⥊ q)14. Замечание. Так определённое P не единственно. Например, можно определить ещёодно отношение Q («является следствием»), просто обратив P:pQq⇔q P p,и оно будет удовлетворять требованиям, предъявляемым определением 13 к P.

Одиниз способов фиксировать этот произвол — увязать разницу между причиной и следствием с разницей между прошлым и будущим, наложив, например, дополнительно8)То есть, отношение частичного порядка.— 61 —требованиеpPq⇒p∈/ J + (q)(причина не должна лежать в будущем своего следствия). Иногда именно это требование и называют принципом причинности. Мы сохраним этот термин за болееосмысленным9) условием.Итак, мы формализовали понятия причины и следствия таким образом, что ихможно связать с любой конкретной теорией материального поля. Под последней приэтом понимается не просто набор динамических уравнений, но ещё, возможно, и некоторые не сводящиеся к ним требования, налагаемые на решения. Заметим, что таквведённые причинные связи характеризуют не какое-то конкретное решение, а всютеорию в целом. Они определяются, грубо говоря, тем, что́ мы принимаем в теории,как свободно задаваемое, а что — как подлежащее нахождению по этим, заданным,условиям.

В качестве следующего шага сделаем рассмотрение «более локальным», длячего введём понятие сигнала.15. Определение. Сигналом из α(0) в α(1) назовём кривую α(ξ) : [0, 1] → M, такую чтоα(ξ1 ) P α(ξ2 ),∀ξ1 < ξ2Вектор, касательный к α, естественно назвать скоростью сигнала. Следует, однако, осторожно подходить к идентификации этой скорости со скоростью какого-либо«материального носителя» (что подтверждается и безуспешностью попыток связатьскорость сигнала с групповой скоростью, скоростью переноса энергии и т.

п.).16. Пример. Допустим, некто O живёт в 4 км от лаборатории, в который экспериментатор E каждый полдень бросает монетку, это событие мы будем обозначать p. Есливыпадает орёл, E остаётся в лаборатории, но если монетка падает решкой, он идёт кO и рассказывает ему об этом. Причём в будни он идёт из лаборатории по некоторой,заранее оговорённой, кривой γ (имеется в виду кривая в пространстве-времени), а повыходным — случайным образом.

В любом случае, прибыть к O он обязан ровно в часдня, его прибытие будет обозначаться q.Выберем какой-нибудь конкретный день и рассмотрим причинные отношения междувовлечёнными событиями При этом в духе развитой выше теории мы будем считать pпричиной какой-либо точки e, если наблюдения в последней (то есть выяснение того,появился ли в ней E ) позволяют узнать, как выпала монета. Через β будет обозначатьсямировая линия E между полуднем и часом дня (в будни при выпадении решки β = γ).9)Хотя в дорелятивистские времена разница могла показаться несущественной.— 62 —Предположим для начала, что в рассматриваемый день выпала решка, и, соответственно, E отправился к O. Тогда наблюдатель в любой точке β знает (просто изсамого факта, что встретил в ней E , который, следовательно, вышел из лаборатории),как выпала монетка.

Таким образом, β — это сигнал, и, в частности, p P q. Скоростьсигнала совпадает со скоростью E и всё выглядит вполне тривиально.Рассмотрим, однако, случай, когда в будний день выпадает орёл. На сей раз O неполучает доклада об исходе эксперименте. Тем не менее, в час дня он узнаёт его(обнаружив, что E не пришёл).

Так что опять p P q. Те же рассуждения применимык любой точке γ, и мы заключаем, что γ — сигнал; скорость его, очевидно, составляет4 км/ч. Результат получился довольно неожиданный: ничто материальное, будь точастица, волна или солнечный зайчик, не перемещается, и тем не менее имеетсясигнал, «распространяющийся» с определённой скоростью вдоль определённой кривой.Предположим, наконец, что орёл выпадает в выходной. Для O это роли не играет, и p,по-прежнему, влияет на q. Однако не зная на сей раз β наблюдатель ни в какой точке,кроме q, не может сделать выводов из того факта, что не видит E .

Так мы приходимк ещё одному контринтуитивному выводу: хотя p и является причиной q, никакойсигнал из p в q не поступает.n◦ 3Принцип причинностиИтак, мы ввели понятия «причины» и «сигнала», как атрибутов, почеркнём ещёраз, не геометрии Вселенной или динамических уравнений заполняющей её материи,но их совокупности. Располагая этими понятиями, мы можем увязывать причинноследственную структуру теории и чисто геометрическую структуру пространствавремени.

В частности, можно потребовать, чтобы отношения P и 4 совпадали.17. Условие. «Принцип причинности». Событие p может влиять на q, если и толькоесли найдётся направленная в будущее непространственноподобная кривая от p до q:pPq⇐⇒p 4 q.(7)Это условие можно сделать и «более локальным», хотя и ценой некоторого ослабления:18.

Условие. «Световой барьер». Скорость сигнала не должна превышать световую.19. Замечание. Можно потребовать существования открытого покрытия M, такого чтов каждом его элементе (рассматриваемом как пространство-время) выполняется условие 17. Если условия B локальны (например, от решений требуется только гладкость),а M достаточно регулярно (например, сильно причинно), то такое требование10) будет,10)Это, по существу, то, что в [27] названо локальной причинностью.— 63 —по-видимому, эквивалентно принципу 17. В общем случае это, однако, не так. И принцип причинности, и ограниченность скорости сигнала могут нарушаться несмотря налокальную причинность.

Так, в частности, происходит в примере 11(б). То же вернои для поля из примера 11(а), если опустить требование интегрируемости и в качествеM взять не L2 , а цилиндр CM из примера 1.38.Как мы видели, поле (6) с условиями B = Bа удовлетворяет принципу причинности. Это же верно для электродинамики, да и для любого другого поля, управляемоголинейными гиперболическими дифференциальными уравнениями с непространственноподобными характеристиками.

На самом деле, вся повседневная физика, (включаямеханику, квантовую теорию поля, и т. д., постольку поскольку они рассматриваются в глобально гиперболических пространствах) допускает выбор 4 в качестве P и,значит, может быть подчинена принципам 17 и 18.Именно универсальность принципа причинности делает его столь важным и объясняет, почему непространственноподобные векторы и кривые называют причинными, а множества J ± — причинными прошлым и будущим. Вообще, всю структуру,порождённую отношением 4 часто называют причинной (так же за пределами этогопараграфа будем поступать и мы).В то же время вообразимы разные ситуации, когда принцип причинности нарушается.

Наиболее интересным для нас будет случай «непричинных» пространстввремён, см. определение 1.30. В таких пространствах принцип причинности не можетсоблюдаться уже потому, что отношение 4 там не антисимметрично вопреки требованиям, налагаемым на P. Мы не станем здесь обсуждать «парадоксы», возникающиеиз-за отсутствия глобального отношения причина–следствие, а обратимся к «более локальным» нарушениям причинности. Простым примером было бы поле на плоскостиМинковского, подчиняющееся уравнению (∂t2 − 2∂2x )φ = 0, но интересно убедиться, чтоаналогичные ситуации возможны и при геометрических (см.

Характеристики

Список файлов диссертации