Диссертация (1145314), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Область Коши этой полоски в M 0внутренне глобально гиперболична, но она не является глобально гиперболическимподмножеством M. (б). H+ — горизонт Коши будущего для множества U (это область,закрашенная серым). M — плоскость Минковского, из которой удалена точка p. Еслиудалить также q1 и q2 , то мы попадём в условия предложения 52. b1 и b2 — точки, вкоторых встречаются по две образующих.имеет место, например, когда U — светоподобная геодезическая в пространстве Минковского.
Следующее предложение получается комбинацией лемм 14.42 и 14.43 из[136] и предложения [27, 6.6.3].50. Предложение. Если S есть пространственноподобная ахрональная гиперповерхность в пространстве-времени M, то D(S) — открытое глобально гиперболическое подмножество M. Если же S — замкнутое ахрональное множество, то глобально гиперболическим является Int D(S).Заметим, что если S — поверхность Коши некоторого глобально гиперболическогоN ⊂ M, то D(S) может и не совпадать с N, хотя включение N ⊂ D(S) всегда, конечно,гарантировано.
Таким образом, D(S) есть максимальное глобально гиперболическоеподмножество M, имеющее S своей поверхностью Коши.51. Пример [103]. Пусть S — это полоска, рассмотренная в примере 27, T — плоскостьt = 0, а ϒ — такой сектор ϕ ∈ (−c, c) этой плоскости, что через него не проходят никакиенепространственноподобные кривые, имеющие оба конца в S:ϒ ∩ J − (S) ∩ J + (S) = ∅.Обозначим через N (очевидно непустую) область Коши множества S в пространствевремениM 0 ⇋ M − (T − ϒ).— 36 —(M 0 отличается от M тем, что S в нём ахрональна).
Поскольку S пространственноподобна и ахрональна в M 0 , то N является глобально гиперболическим подмножеством M 0 .Следовательно, N внутренне глобально гиперболична. В то же время как подмножество M оно не глобально гиперболично (так как даже не причинно выпукло).С каждой глобально гиперболической областью U ⊂ M можно связать множество,называемое будущим горизонтом Коши и обозначаемое H+ :H+ (U) ⇋ Bd D(S) − I − (D(S)),где S есть поверхность Коши U.(17)Определённый дуально горизонт Коши в прошлом, естественно, обозначается H− , аH есть их объединение H = H+ ∪ H− . Эти определения внешне отличаются от стандартных (которыми мы не пользуемся, чтобы не вводить D+ ), см.
14.49 в [136], но, насамом деле, эквивалентны им. Заметим, что и S, и U являются объектами в некоторомсмысле вспомогательными при определении H+ . В качестве S можно взять любуюповерхность Коши U, а вместо U — любое другое глобально гиперболическое подмножество M с той же поверхностью Коши, и H+ от этого не изменится.52. Предложение.
Пусть S, входящая в определение (17), замкнута. Тогда H+ естьзамкнутая ахрональная топологическая гиперповерхность, и через каждую её точкупроходит непродолжимая в прошлое светоподобная геодезическая, которая содержится в H+ целиком (эта геодезическая, если она не является частью большей такой же,называется образующей).Это утверждение есть комбинация предложения [140, 3.22] и пункта 3) предложения[136, 14.53]. Иллюстрацию см.
на рисунке 2б.53. Следствие. Если две точки H+ причинно связаны, то они лежат на одной образующей. В частности, точка общая для двух образующих является будущей конечнойточкой для обеих.Доказательство. Действительно, если p, q ∈ H+ суть прошлая и будущая конечныеточки причинной кривой γ, не являющейся образующей горизонта, то по предложению 20(г) ломанную, составленную из γ и отрезка образующей от p до некоторойr 4 p (существование r гарантировано предложением 52), можно продеформировать вовремениподобную кривую от q до r.
А это противоречит ахрональности H+ .Если образующие α1 и α2 встречаются в точке b и какую-нибудь из них — допустим, α2 — можно продолжить до c ∈ H+ , то любая точка a ∈ α1 соединяется с cпричинной кривой (а именно, отрезком α1 от a до b, продолженным отрезком α2 отb до c), не являющейся образующей горизонта, что, как мы только что выяснили,невозможно.— 37 —§5Совершенно простые множестваТеперь мы хотим связать геодезическую и причинную структуры. Связь эта вконечном счете основана на предложении 20(б).
Первый результат такого рода это54. Предложение. [140, 4.10]. Выпуклое пространство-время внутренне сильно причинно.При использовании предложения 54 на практике возникает некоторая проблема.Дело в том, что сильно причинные множества, как обсуждалось выше, могут быть всёже достаточно патологическими.
В частности они вовсе не обязаны быть выпуклыми.Таким образом, теорема Уайтхеда гарантирует существование сколь угодно малых(в смысле комментария 35) выпуклых окрестностей произвольной точки. Предложение 54 в свою очередь гарантирует, что каждая из них содержит сильно причиннуюподокрестность. Но неизвестно найдётся ли у выбранной точки окрестность одновременно сильно причинная и выпуклая. Наша задача — доказать, см. теорему 59, чтотакая (а на самом деле, даже «лучшая») окрестность, действительно, всегда существует [106].55.
Определение. Назовём пространство-время V совершенно простым если всякоемножество A ∈ R(V ) (см. стр. 28) выпукло, внутренне глобально гиперболично, и слюбыми двумя точками p, q содержит также и пару точек r, s таких, что p, q ∈ <r, s>A .56.
Замечания. (а). Совершенная простота, в отличие от простоты, — внутреннее свойство; оно не зависит от того вложено ли (и как именно) V в большее пространствовремя. (б). Из (16) следует, что если V совершенно просто, то и любое множествоA ∈ R(V ) тоже. (в). Для любого компакта K ⊂ V тоже найдутся точки r, s такие, чтоK ⊂ <r, s>V .57. Лемма. У каждой точки s любого пространства-времени есть такая сколь угодномалая простая окрестность O, что для всякой p ∈ O множество IO± (p) тоже просто.Пусть O0 — некоторая простая окрестность s, а e(i) , i = 0 . . . 3 — поле тетрад в O0 , то естьнабор из 4-х гладких векторных полей сe(m) a e(k) a = δmk − 2δm0 δk0(благодаря нормальности O0 такой набор обязательно существует [136]). Для любойточки p ∈ O0 это поле определяет базис {e(n) (p)} в Tp и значит нормальную координатную систему, см. n◦ 2.
Координаты точки r в этой системе будем обозначать X a (p; r).Функции X a (p; r) зависят гладко и от r, и от p и обращаются в ноль при r = p. Поэтому— 38 —для любого положительного числа δ найдётся простая подокрестность Oδ 3 s такая, чтокоординаты всех её точек ограничены δ:Oδ ⊂ O0 ,и|X a (p; r)| < δ ∀ p, r ∈ Oδ ,a = 0 . . . 3.(18)Таким образом, лемма будет доказана, если мы продемонстрируем, что при некоторой δ независимо от выбора p верно, чтогеодезический отрезок соединяющий две точки IO+δ (p), целиком лежит в этом множестве(19)(такой отрезок существует и единствен в O0 в силу её нормальности).
Действительно,это докажет, что IO+δ (p) (для определенности мы обсуждаем дальше IO+δ (p); свойстваIO−δ (p) будут, очевидно, точно такими же) выпукло и даже (будучи подмножествомпростого Oδ ) просто. Значит, Oδ обладает свойствами искомого O.Доказательство леммы. Зададимся каким-нибудь δ и соответствующей ему Oδ . Построим в Oδ нормальные координаты с началом в p ∈ Oδ и определим на ней формулой(9) функцию σ : Oδ → R.Предположим (19) неверно. Тогда найдется геодезический отрезок µ(ξ), ξ ∈ [0, T ]такой, чтоµ(0), µ(T ) ∈ Oδ ,µ 6⊂ Oδ ,см.
рисунок 3. Сравнивая это со следствием 21, мы можем заключить, что σ < 0 вконечных точках µ, но где-то между ними σ > 0. Понятно, что это невозможно, когда µ«достаточно коротка», и наша стратегия будет состоять в том, чтобы показать: пока µпомещается в Oδ с достаточно малым δ, такая возможность и не появится. Для этого мырассмотрим гомотопию с одним фиксированным концом, связывающую «достаточнокороткую» µ с обсуждаемой, и исследуем точку r0 , в которой σ впервые перестаёт бытьотрицательной.
В r0 пространственноподобная геодезическая должна изнутри касатьсяконуса Bd IO−δ (p), но последний имеет «слишком выпуклую форму» для этого.Итак, соединим µ(0) и µ(T ) кривой λ(z), z ∈ [0, 1], лежащей — в отличие от µ —целиком в IO+δ (p), см. рисунок 3, С её помощью определим поверхность h(ξ, z) ⊂ Oδ требованием, чтобы выполнялись равенстваh(ξ, 0) = µ(0),h(1, z) = λ(z),а кривая h(ξ) при любом (постоянном) z 6= 0 была аффинно параметризованной геодезической. Рассмотрим максимальное значение σ на каждой из таких геодезических.
Поскольку σ гладка, функция σm (z) ⇋ maxξ σ[h(ξ, z)] должна быть непрерывна. Но σm (0) < 0и σm (1) > 0, так что σm (z0 ) = 0 в некотором z0 . Итак, мы видим, что невыполнение (19)повлекло бы за собой существование геодезического отрезка γ(ξ) ⇋ h(ξ, z0 ) такого, что— 39 —Рис. 3: Ситуация, которая, как мы доказываем, невозможна при достаточно малых δ.Пунктирная линия — граница области Oδ . Оба конца µ лежат в будущем p, но междусобой причинно не связаны.функция σ̄(ξ) ⇋ σ ◦ γ отрицательна на границе своей области определения, но имеетмаксимум σ̄(ξ0 ) = 0.Для доказательства леммы теперь достаточно показать, что при достаточно малойδ такой отрезок существовать не может, что мы и сделаем, доказав импликациюσ̄(ξ0 ) = 0, σ̄0 (ξ0 ) = 0=⇒σ̄00 (ξ0 ) > 0(20)(то есть геодезическая в Oδ может касаться светового конуса только снаружи). Приэтом мы без ограничения общности можем считать γ(ξ) пространственноподобной,4a 4a = 1,w ⇋ ∂ξ ,(21)потому что для времениподобных геодезических (19) и, в частности, (20) следуют прямо из определения IO+δ (p), а для светоподобных — из того же определения в сочетаниис предложением 20(г).Используя в первой цепочке равенств (10), а во второй тот факт, что γ — геодезическая, запишем в удобном нам виде производные σ, входящие в (20)σ̄0 = σ,a 4a = 2xa 4a ,σ̄00 = (2xb 4b ),a 4a = 2xb;a 4b 4a .(22)Рассмотрим теперь точку r0 ⇋ γ(ξ0 ), в которой γ касается светового конуса, то естьв которой верна левая сторона (20).
Обозначим через T⊥ подпространство Tr0 ортогональное к радиус-вектору6) x0 ⇋ x(r0 ). Из σ̄(ξ0 ) = 0 по определению σ следует, что x0Говоря о радиус-векторе, функции σ (выше) и символах Кристоффеля (ниже), мы подразумеваем,что пользуемся нормальными координатами с началом в p.6)— 40 —светоподобен, то есть x0 ∈ T⊥ . Используем это для введения базиса {x0 , d(1) , d(2) } в T⊥ ,определенного (не единственным образом, конечно) следующими соотношениями:d(1,2) ∈ T⊥ ,d(i) a d( j) a = δi j ,d(i) a e(0) a = 0i, j = 1, 2.(23)[то есть мы выбрали в дополнение к x0 пару взаимно перпендикулярных пространственноподобных единичных векторов ортогональных как x0 , так и e(0) (r0 )].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
