Диссертация (1145314), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда любой вектор cu с c ∈ [0, 1] должен лежать сразу и в Õ1 , и в Õ2 ,а значит, и в C̃. Следовательно, первое условие выполнено тоже, и exp p C̃ — выпукло. Остается только проверить, что exp p C̃ = C. Включение exp p C̃ ⊂ C очевидно (будучишаром, exp p C̃, конечно, связно). Но и включение C ⊂ exp p C̃ тоже очевидно, поскольку exp p C̃ — это вообще вся O1 ∩ O2 (а не только одна её связная компонента, каковойявляется C).Заметим, что, вообще говоря, пересечение выпуклых множеств не обязано быть связным (в этом легко убедиться рассмотрев пару выпуклых подмножеств цилиндра).
Это,однако, будет гарантировано, если и объемлющее пространство выпукло.12. Следствие. Если O1 просто, а его подмножества O2 , O3 выпуклы, то каждое из множествO2 ,O3 ,O2 ∩ O3просто.Доказательство. Простота O2,3 очевидна. Теперь, пусть x, y ∈ (O2 ∩ O3 ). Так как O2,3выпуклы, должны существовать геодезические отрезки γ2,3 ⊂ O2,3 , соединяющие x иy. С другой стороны, из выпуклости O следует, что только одна геодезическая можетсоединять их не покидая O. Значит γ2 = γ3 и, как следствие, лежит в O2 ∩O3 .
Последнее,таким образом, связно, а следовательно, согласно предложению 11, и просто.Из теоремы Уайтхеда, см. [18], следует существование простой окрестности улюбой точки любого пространства-времени. А поскольку окрестность точки сама посебе есть пространство-время (и поскольку любое её простое подмножество есть вто же время простое подмножество объемлющего пространства-времени), то простыеокрестности образуют базу топологии любого пространства-времени. Топологию они,однако не образуют, потому, в частности, что объединение двух простых (выпуклых,нормальных) окрестностей может не быть само простым (выпуклым, нормальным).— 23 —§3Причинная структураn◦ 1Прошлое и будущееВсё обсуждавшееся в предыдущих параграфах равно применимо и к римановым,и к псевдоримановым многообразиям.
Но в действительности последние обладают гораздо более богатой структурой, так как векторы, касательные к ним, неравноправны.13. Определение. Ненулевой вектор v, касательный к M, называется времениподобным [светоподобным, (не)пространственноподобным], если 1(v, v) отрицательно [соответственно, равно нулю, (не)положительно]В каждом касательном к M пространстве (так как это, в сущности, пространство Минковского) непространственноподобные векторы образуют два конуса, границы которых порождены светоподобными векторами.
Конусы пересекаются только в общейвершине. Один из них называется будущим, другой — прошлым. Про образующие ихвекторы говорят, что они направлены в будущее и прошлое, соответственно. Деление(непространственноподобных) векторов на эти два класса можно произвести гладкимобразом (в определении пространства-времени соответствующее требование заложенов словах ориентированное во времени).14. Договорённость. Везде, где это важно, под словом «изометрия» мы будем понимать«изометрию, сохраняющую ориентацию во времени», то есть отображающую вектор,направленный в будущее, в такой же.Рассмотрим какое-нибудь риманово многообразие (M, 1R ). Пусть v — гладкое векторноеполе на M, не имеющее нулей (оно, конечно, существует не на всяком M).
Тогда мыможем построить пространство-время, задав на M псевдориманову метрику1(a, b) ⇋ 1R (a, b) − 21R (a, v)1R (v, b),1R (v, v)то есть gab ⇋ gRab − 23a 3bRgcd 3c 3d(11а)(заметим, что векторы v в этой псевдоримановой метрике стали времениподобными).И, наоборот, метрика1̃(a, b) ⇋ 10 (a, b) − 210 (a, v 0 )10 (v 0 , b),10 (v 0 , v 0 )(11б)определённая c помощью псевдоримановой метрики 10 и времениподобного векторногополя v 0 , будет римановой, то есть положительно определённой.Доказательство. Действительно, выберем в каждой точке ортонормированный базис,диагонализующий 10 .
Очевидно, времениподобен ровно один вектор этого базиса. Преобразование Лоренца, переводящее его в v 0 , одновременно переводит матрицу g̃ab вединичную.— 24 —Метрика 1̃ равна 1R , когда 10 = 1 и v 0 = v (это легко проверяется в вышеописанномбазисе, см. также раздел 2.6 в [27]).Оказывается, любое пространство-время может быть построено таким образом.15.
Предложение. [136, Лемма 5.32]. В любом пространстве-времени существует гладкое направленное в будущее поле времениподобных векторов.Это предложение весьма важно. Во-первых, оно накладывает ограничения на возможную топологию пространства-времени. Во-вторых, как мы увидим на практике,введение вспомогательного времениподобного векторного поля часто бывает удобнымтехническим приёмом.
Наконец, превращая пространство-время в риманово многообразие (с гладким векторным полем v), мы получаем возможность использовать всюмощь такой чрезвычайно развитой теории, как риманова геометрия. К сожалению,полностью свести к ней лоренцев случай невозможно, потому, в частности, что нетканонического способа выбрать v.Названия «прошлое» и «будущее» условны — в ОТО нет внутренней «стрелывремени». Это порождает симметрию: любому определению или утверждению можносопоставить «дуальное», полученное последовательной заменой слов «прошлое» ←→«будущее». Ниже мы, как правило, будем формулировать только одно определение(утверждение) из пары, дуальное всегда подразумевается.16. Определение. Кусочно-гладкая кривая λ(ξ) называется (направленной в будущее)времениподобной, непространственноподобной или светоподобной, если таковымиявляются все касательные к ней векторы ∂ξ .17.
Договоренность. «Постоянные» кривые, состоящие из единственной точки, считаются непространственноподобными, но не времениподобными.Времениподобную кривую можно параметризовать натуральным параметром ξ, который определяется условием 1(∂ξ , ∂ξ ) = −1. В общем случае, однако, для непространственноподобной кривой нет какого-то выделенного параметра и поэтому нет аналогаполноты. С другой стороны, понятие продолжимости можно обобщить на непространственноподобные негеодезические кривые.18.
Определение. Если кривая λ(ξ) : (a, b) → M является сужением на интервал (a, b)большей непрерывной кривой λ̃ : (A, B) → M, где A < a < b < B, то точки p1 = λ̃(a) иp2 = λ̃(b) называются конечными точками кривой λ. Если λ направлена в будущее, тоp1 и p2 называют будущей и прошлой конечными точками, соответственно, а саму λпродолжимой в будущем (прошлом).Конечно, осмысленным это определение делает лишь тот факт, что от конкретноговыбора λ̃ ничто не зависит, конечные точки — это просто пределы всех последовательностей λ(ξm ) с ξm → a, b.— 25 —Теперь, когда определены непространственноподобные и времениподобные кривые, используем это для выделения некоторых важных множеств, связанных с каждойточкой.19.
Определения и обозначения. Пусть U — окрестность некоторой точки p ∈ M. Множество всех точек U, которые можно достичь из p по направленным в будущее времениподобным кривым, лежащим целиком в U, называется хронологическим будущимp в U и обозначается IU+ (p). Когда U = M, значок M обычно опускают и пишут простоSI + (p). Для произвольного множества P ⊂ M через IU+ (P) обозначают p∈P IU+ (p). Заменой в данном выше определении слова «времениподобным» на «непространственноподобным» получают определение причинного будущего p, которое обозначается JU+ (p).Определения хронологического и причинного прошлого точки p и множества P дуальны.
Отношения q ∈ I + (p) и r ∈ J + (s) часто записывают, как, соответственно, p ≺ qи s 4 r (или, эквивалентно, q p и r < s ). Оба отношения очевидно транзитивны, апоследнее в силу договоренности 17 ещё и рефлективно. Если p 4 q и p 6= q, то точкиp и q называют4) причинно связанными.Через любую точку p можно провести времениподобную геодезическую, а значит(второе равенство есть просто договоренность 17)p ∈ Bd I ± (p),p ∈ J ± (p).(12)20. Предложения. Мы не станем доказывать следующие основополагающие факты(являющиеся комбинацией леммы 5.33 и предложения 10.46 книги [136] или предложений 4.5.1 и 4.5.10 книги [27]) и ограничимся краткими комментариями.(а) Множества IO± (P) всегда открыты.(б) Если O выпукла, то точки, которые можно соединить кусочно-гладкой времениподобной кривой, можно соединить и времениподобной геодезической.Это утверждение не очевидно.
В принципе, можно было бы представить себе, чтонекоторую точку, которая лежит вне конуса, можно всё же достичь по времениподобной кривой, хотя и не геодезической.(в) Если O выпукла, то BdO IO± (p) есть множество всех точек достижимых из p по направленным в будущее (соответственно, прошлое) светоподобным геодезическим,лежащим в O; в частности,ClO (IO± (p)) = JO± (p),∀p ∈ O.Отсюда JO± (p) замкнуто.4)Основания для этого подробнейшим образом обсуждаются в 2. § 2.(13)— 26 —Условие нормальности O здесь существенно.
Например, для точки p = (−1, −1) вплоскости Минковского отношение (13) справедливо, а в плоскости Минковскогос выколотым началом координат — нет.(г) Если непространственноподобная кривая λ от p до q не является светоподобной геодезической, то в её произвольной окрестности найдётся времениподобнаякривая от p до q.Подчеркнём, что p и q не предполагаются лежащими в одной выпуклой окрестности. Одним из следствий этого утверждения является импликация(p ≺ q 4 r) или(p 4 q ≺ r)⇒p ≺ r.(14)Предложения 20(г) и 20(а) позволяют нам уже на этой стадии сформулировать некий(примитивный) вариант утверждения о максимальности скорости света. Рассмотримвремениподобную кривую µ, проходящую через точку q и интерпретируем её, какмировую линию наблюдателя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
