Диссертация (1145314), страница 4
Текст из файла (страница 4)
f )— то его ковариантная производная ∇T — это гладкое тензорное поле типа (q, s + 1) скомпонентами, которые определяется (в координатном базисе) формулойi...eia...eT a...e b... f ;c ⇋ T a...e b... f ,c + Γaci Tb...i... f − . . . ,f + · · · − Γbc TгдеΓabc ⇋ 21 gai (gib,c + gic,b − gbc,i )— так называемые символы Кристоффеля. Ковариантную же производную вдолькакой-нибудь кривой λ(ζ) определяют, как проекцию ∇T на ν ⇋ ∂ζ , то есть тензор2)T a...e b... f ;c vc .Ковариантная производная обладает (а на самом деле, в совокупности с указанным выше законом повышения валентности (q, s) → (q, s + 1), даже определяется [27])следующими свойствами:1.
для скалярной функции f она совпадает с «обычной»: ∇ f = d f и f;a = f ,a ⇋ ∂ f /∂xa ;2. она подчиняется правилу Лейбница: ∇(T ⊗ S) = ∇T ⊗ S + T ⊗ ∇S;3. она линейна и коммутирует со сверткой;2)Для краткости иногда тензором (вектором) называют тензорное (векторное) поле.— 17 —4. она согласована с метрикой, то есть gab;c = 0 (и значит углы и длины при параллельном переносе не меняются);5. она симметрична, то есть Γcab = Γcba .Из симметрии немедленно вытекают два важных соотношения:f;ab = f;ba(1)для любой гладкой функции f , иua ;b 3b − 3a ;b ub = ua ,b 3b − 3a ,b ub ,(2)для любых, тоже гладких, векторных полей u и v.
Правую часть этого равенстваиногда называют коммутатором u и v и обозначают [u, v].4. Следствие. Пусть u ⇋ ∂x и v ⇋ ∂y — векторы скорости координатных линий некоторойкоординатной системы {x, y, . . . }. Тогдаua ;b 3b − 3a ;b ub = ua ,b 3b − 3a ,b ub = 0.Определим теперь геодезическую, как кривую γ(ξ), удовлетворяющую при некотором выборе функции h уравнению3a;b 3b = h(ξ)3a ,v ⇋ ∂ξ[то есть 3i ⇋ dxi (ξ)/dξ, где xi (ξ) ⇋ xi γ(ξ) ](3)5. Замечание.
Далее под «кривой» будет пониматься не только отображение I → M, но,часто, и образ этого отображения. То есть, например, не только функциюξ7→x = cos ξ, y = sin ξ,но и окружность. А в тех редких случаях, когда эти два объекта надо различать, будемписать λ(ξ) и просто λ, соответственно. О различных отображениях с одинаковымобразом будем говорить, как о различных параметризациях одной кривой.Определение (3), на самом деле эквивалентно данному в начале параграфа, так какподходящей параметризацией h всегда можно обратить в ноль. Соответствующий параметр называется аффинным, и два любых аффинных параметра ξ, ξ0 связаны аффинным преобразованием ξ0 = c1 ξ + c2 .
Иногда в литературе термин «геодезическая»применяют только к γ(ξ) с аффинным ξ, тогда как остальные решения называют предгеодезическими.Геодезическая γ(ξ), на которой аффинный параметр ξ ограничен сверху некоторым ξ0 , называется неполной в направлении растущих ξ (то есть, например, неполной в— 18 —будущем или неполной в прошлом). И она называется продолжимой3) в этом направлении, если существует геодезическая, для которой γ есть собственное подмножество. Например, на обычной евклидовой плоскости с декартовыми координатами, луч(y = 0, x < 0) — продолжимая геодезическая, а такой же луч на такой же плоскости, но судалённым из неё началом координат, будет непродолжимым. Ниже непродолжимыегеодезические будут иногда называться максимальными (хотя чаще геодезическиеназывают максимальными только когда они непродолжимы в обе стороны).6.
Замечание. В отличие от (не)продолжимости (не)полнота — это атрибут геодезической как функции, а не как множества точек: как мы увидим на примере пространстваМизнера, даже замкнутая геодезическая может быть неполной.Пространство-время M, в котором все максимальные геодезические полны, называется геодезически полным. Геодезически неполное пространство-время считается сингулярным; сингулярность называется неустранимой, если соответствующая геодезическая остается непродолжимой в любом расширении M.n◦ 2Нормальные, выпуклые и простые окрестностиВ каждой точке p ∈ M векторы, касательные к M, образуют векторное пространство Tp (M) (это как раз и есть пространство, в котором действует билинейная форма 1).Геодезические предоставляют канонический способ отобразить часть Tp в окрестностьp.
Конечно, это всего лишь способ, один из бесконечного числа, ввести координатыв окрестности p, но координаты эти оказываются настолько естественными, что припереходе к ним многое, как мы увидим, сильно упрощается (например, обращаются вноль символы Кристоффеля).Обозначим через γ p,t (ξ) аффинно параметризованную геодезическую, начинающуюся в p и имеющую в этой точке скорость t [то есть γ p,t (0) = p, v(0) = t].
Тогда экспоненциальным называется отображение exp p , ставящее точку γ p,t (1) в соответствиекаждому t, для которого она существует, см. рисунок 1. В принципе, геодезические,выходящие из p, могут в дальнейшем и пересечься. Поэтому, вообще говоря, экспоненциальное отображение не обязано быть взаимно однозначным. Можно, однако,расчитывать, что оно будет таковым хотя бы в маленькой окрестности p.7.
Определение. Если окрестность Ñ нуля в Tp (M) имеет «звёздную форму» (то естьвместе с любым вектором u содержит и все векторы cu, где c ∈ [0, 1]; топологическитакое множество есть просто шар [18]) и ограничение exp p на Ñ есть диффеоморфизм,то область N ⇋ exp p Ñ называется нормальной окрестностью p.3)Во избежание путаницы стоит учесть, что «продолжимая» и «продолженная» это не синонимы.
Вданном случае, скорее наоборот — антонимы.— 19 —q~Рис. 1: Тёмная звёздная область — это Ñ. Светлая область — N.Одно из привлекательных свойств нормальной окрестности — наличие у каждой еёточки (единственного) геодезического отрезка, соединяющего её с p и полностью лежащего в N. Это свойство и позволяет координатизировать N упомянутым выше особенно удобным образом. Зададимся для этого каким-нибудь базисом {e(i) } в Tp . Тогданормальными координатами точки q ∈ N называются компоненты вектора q̃ ⇋ exp−1p (q)в этом базисе (соответственно, другой выбор {e(i) } привел бы к другой — но тоженормальной — координатной системе). Иначе говоря, как ясно прямо из определенияэкспоненциального отображения, равенство нормальных координат точки q некоторым X a (q) означает, что в N есть геодезическая γ pq (τ), где τ — аффинный параметр, сконцамиγ pq (0) = p,γ pq (1) = q,и начальной скоростьюv(p) = X a (q)e(a) ,v ⇋ ∂τ .(4)Заметим теперь, что любая точкаr ⇋ γ pq (τr ),0 6 τr 6 1является в то же время конечной точкой отрезка γ pr (ζ), у которого γ pr (0) = p, γ pr (1) = r, аначальная скорость ∂ζ (0) = τr v(0).
Значит, нормальные координаты точки r суть τr X a (q)— 20 —Итак, мы доказали, что в нормальных координатах радиальная геодезическая γ pq —это просто прямая линияX a [γ pq (τ)] = τX a (q),0 6 τ 6 1.Вектор касательный к этой кривой v(τ) = X a (q)∂X a , имеет в координатном базисе {∂X a }компоненты, не зависящие от τ,3a (τ) = X a (q),a = 1 . . . n.(5)[значения a перечислены, чтобы подчеркнуть, что это, не векторное равенство: 3 и X— векторы разных пространств, поэтому в других координатах их покомпонентноеравенство может и не выполняться]. Для вектора v(1) ∈ Tq мы (чтобы не уточнятькаждый раз, о скорости какой геодезической идёт речь) введём отдельное обозначениеx(q) ⇋ v(1) и будем называть x(q) радиус-вектором точки q.
Очевидно,xa (q) = X a (q),a = 1...n[по-прежнему, справа стоят компоненты вектора из Tp , а слева — компоненты (в координатном базисе) вектора из Tq ].Выбрав в нормальной окрестности N произвольную точку q, из (5) немедленнообнаружим, что в ней3a ,b 3b =d ad3a (1)=X (q) = 0.dτdτС другой стороны, v = ∂τ , а τ — аффинный параметр. Поэтому3a ;b 3b = 0.Сравнивая эти два соотношения, заключаем, чтоΓacb (q)3c (q)3b (q) = 0,∀ q ∈ N.Но в точке p для любого вектора u найдётся радиальная геодезическая со скоростьюv(p) ∼ u. Таким образом,Γacb (p)uc ub = 0,∀u ∈ Tp .Откуда, для любых u, w ∈ Tp , определив z ⇋ 21 (u + w), y ⇋ 12 (u − w) и пользуясь симметрией Γacb = Γabc , получимΓacb (p)uc 4b = Γacb (p)(z + y)c (z − y)b = Γacb (p)zc zb + Γacb (p)yc yb = 0,и, следовательно,Γacb (p) = 0.(7)— 21 —Другим фундаментальным и весьма нетривиальным свойством экспоненциального отображения является равенствоxb (q)gba (q) = xb (q)gba (p),a = 1 .
. . n,∀q ∈ N(8)(здесь правая часть опять имеет такой вид только в данных координатах). Доказательство этого утверждение — известного, как лемма Гаусса — можно найти в [136],где оно выступает, как лемма 1 главы 5. Нам же понадобится только одно8. Следствие. Для функцииσ(p; q) ⇋ gab (q)xa (q)xb (q)(9)(σ зависит от p, так как от выбора начала координат зависит радиус-вектор x точкиq) выполняется равенствоσ,a (q) = 2xa (q).(10)Доказательство. σ,a (q) = [xb (q)gbc (p)xc (q)],a = 2xb (q)gba (p) = 2xb (q)gba (q) = 2xa (q)Замечательные свойства нормальных окрестностей делают их мощным орудиемпри решении локальных задач. Иногда, однако, было бы удобней, чтобы (единственная) геодезическая соединяла любую пару точек области.9.
Определение. Открытое множество O называется выпуклым, если оно являетсянормальной окрестностью каждой своей точки.C любыми двумя точками x, y выпуклое множество O, очевидно, содержит также и(единственный в O) геодезический отрезок γxy , соединяющий их (отсюда и название).Обратное тоже верно: если в каком-то нормальном пространстве-времени любая параточек может быть соединена единственной геодезической, то оно (звёздно, как окрестность любой из своих точек, и, следовательно) выпукло..10. Определение [140]. Открытое множество O называется простым, если оно выпукло, и его замыкание является компактным подмножеством некоторой другой нормальной окрестности.Очевидно любое выпуклое подмножество простого множества просто.
Более того,11. Предложение. Пусть O1 выпукло. Тогда любая компонента связности C пересечения O1 ∩ O2 выпукла (проста), если таково O2 .Доказательство. Поскольку замыкание любого подмножества компакта само компактно, достаточно показать, что C является нормальной окрестностью любой точкиp ∈ C.— 22 —Рассмотрим прообразы Õ1,2 множеств O1,2 при экспоненциальном отображенииÕ1,2 = exp−1p O1,2 .Прямо из определения 10 явствует, что сужение exp p на каждую из них — диффеоморфизм. Значит, диффеоморфизмом является и сужение exp p на C̃ ⇋ Õ1 ∩ Õ2 . Такимобразом, C̃ удовлетворяет второму условию определения 7. Теперь предположим, чтоu лежит в C̃.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
