Диссертация (1145314), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Посколькуσ̄0 (ξ0 ) = 0, то из первого уравнения в (22) следует, что w(ξ0 ) ∈ T⊥ и, значит, может бытьпредставлен, как4(ξ0 ) = 4(1) d(1) + 4(2) d(2) + 4(3) x0 ,где224(1) + 4(2) = 1.(24)[второе равенство — следствие нормировки (21)]. Воспользуемся этим разложениемдля оценки σ̄00 . Для начала подставим его в (22) и заметим, что член 4(3) x0 в σ̄00 вклада не даёт. Действительно, этот вклад имеет вид (xb;a xa yb1 + xb;a xb ya2 ) , где y 1,2 ∈ T⊥ . Ноr0xb;a xa пропорционально xb (поскольку x касателен к радиальной геодезической), а значит, это слагаемое пропорционально x0 b yb1 = 0.
Второе слагаемое в силу (10) тоже есть1(x xb );a ya2 = 41 σ,a ya2 = 12 xa ya2 = 0. Таким образом, в r02 bb ab ad( j) (gab + Γb,ac xc ),d( j) xb;a = 24(i) 4( j) d(i)σ̄00 (r0 ) = 24(i) 4( j) d(i)(25)где Γb,ac ⇋ 12 (gab,c + gbc,a − gac,b ), см. стр. 16, и использовано очевидное равенство xc ,d = δcd .Отсюда, с учетом (18), (23) и(24) находим|σ̄00 (r0 ) − 2| 6 4Γδ,b ad( j) sup Γb,ac .Γ ⇋ 4(i) 4( j) d(i)b,a,cr,p∈O0bНо 4(i) ограничены [см. (24)], как и d(i)(поскольку это компоненты единичных векто3ров в E , натянутом на орты {e(k) } k = 1, 2, 3, у которых компоненты ограничены, какнепрерывные функции на компакте Oδ ). Таким образом, Γ конечна и, следовательно,σ̄00 (r0 ) положительна, если δ была выбрана достаточно малой.
Это доказывает (20), азначит, и всю лемму.58. Следствие. У любой точки s сильно причинного пространства-времени есть скольугодно малая выпуклая причинно выпуклая окрестность с компактным замыканием7) .Доказательство. Перечисленными свойствами обладает, как легко убедиться, множество V ⇋ <pr>O , где p ∈ IO− (s), и r ∈ IO+ (s), а O — это окрестность из леммы 57, выбранная7)В [27] такие окрестности называются «окрестностями локальной причинности» (local causalityneighborhoods), и данное утверждение принимается без доказательства.
С другой стороны, существование сколь угодно малых окрестностей локальной причинности в сильно причинных пространствахдоказано в [140], но там этот термин обозначает другие множества.— 41 —внутри причинно выпуклой окрестности s. Действительно, выпуклость V вытекает излеммы 57 и следствия 11, а причинная выпуклость следует прямо из определения.59. Теорема.
У любой точки s любого пространства-времени есть совершенно простаяпредкомпактная окрестность.Доказательство. Пусть O и V будут те же, что в следствии 58 (только от M теперьне требуется сильная причинность). Если A — какое-то пространство-время из R(V ),то, очевидно, A есть (разумеется, связное) пересечение двух простых (по лемме 57)множеств. Следовательно, по предложению 11, оно просто и само. Что, в частности,означает, по предложению 54, что A внутренне сильно причинно. С другой стороны,для любых a, b ∈ A множество 6a, b>A компактно, как видно из того, что по (15)6a, b>A = 6a, b>O ,и правая сторона есть замкнутое [см.
(13)] подмножество компактного O. Так чтоA внутренне глобально гиперболично. И, наконец, выполнение последнего условияопределения 55 очевидно. Таким образом, V совершенно просто.Проиллюстрируем возможности доказанной теоремы, сформулировав нужный в дальнейшем60.
Признак. Если пространство-время M 0 — расширение M, то в последнем существуют непродолжимые геодезические всех трёх видов: светоподобные, времениподобныеи пространственноподобные, которые продолжимы в M 0 , ср. упражнение 5.15(c) [136].Если n > 2, таких геодезических бесконечно много.Доказательство. Предъявим светоподобную геодезическую с началом в M 0 − M и концом в M (из существования одной такой геодезической при n > 2 следует, что их —и таких же, но времени- и пространственноподобных — бесконечно много, посколькутак же будут расположены и концы любой геодезической с той же начальной точкойи достаточно близкой начальной скоростью).Рассмотрим совершенно простую окрестность O точки p ∈ BdM0 M и точку r ∈ IO+ (p).Пусть для определённости r ∈ M [случай r ∈ M 0 − M абсолютно аналогичен, только вместо точки p нужно использовать какую-нибудь p0 ∈ IO− (r) ∩ M].
Тогда нам нужно всеголишь найти точку d, которая соединялась бы светоподобными геодезическими отрезками и с r, и с p: очевидно, что у какого-нибудь из двух отрезков концы лежат «вразных частях M 0 ».Проведём из r в прошлое светоподобную геодезическую µ. Поскольку 6r, p>O компактно (вспомним, что O внутренне глобально гиперболично), то µ должна покинуть— 42 —1(а)(б)Рис. 4: (а). M — результат «приклеивания M2 к M1 изометрией ψ».
(б). Пространствавремена склеены так, что кривые 1 и 2 непрерывны. Белые окружности это — отсутствующие — края дисков Ξ и θ(Ξ).его (см. предложение 40). Следовательно на ней найдется точка x ∈ µ ∩ O такая, чтогеодезическая ν px от p до x пространственноподобна. В то же время геодезическая ν prвремениподобна. Значит по непрерывности на µ должна найтись такая точка что геодезическая ν pd , соединяющая её с p, светоподобна. Эту точку мы и возьмём в качествеd.§6«Кройка и шитьё» пространств-времёнВ этом параграфе мы аккуратно разбираем один из удобных и наглядных способов описания пространств-времён.
Он заключается в представлении одного пространства-времени результатом «кройки и шитья»8) , применённых к другому.n◦ 1Склеивание пространств-времёнПусть (N1 , 11 ) и (N2 , 12 ) — два пространства-времени такие, что некоторые их области Ui ( Ni , i = 1, 2 связаны изометрией ψ, сохраняющей временну́ю ориентацию.Тогда эти пространства-времена можно склеить по U или склеить изометрией ψ,см.
рисунок 4а, то есть образовать из них пространствоM ⇋ N1 ∪ψ N2 ,8)Устоявшийся английский термин — «cut-and-paste» method.(26)— 43 —отождествив каждую точку p ∈ U1 с соответствующей точкой ψ(p) ∈ U2 . Любой p ∈ Ni втак полученном пространстве M соответствует какая-то (одна) точка π(p) ∈ M. Определённую этим соответствием функцию π будем называть естественной проекцией.Её сужения на Ni будут обозначаться через πi , а образы πi (Ni ) = π(Ni ) через Mi (именнообразы, мы не отождествляем с Mi сами Ni , см. замечание 3). Таким образом,M = M1 ∪ M2(отметим исчезновение значка ψ).Естественная проекция π индуцирует на M и гладкость, и гладкую метрику(именно для совпадения метрик, индуцируемых π1 и π2 , мы и требовали, чтобы ψбыла изометрией), что превращает M в гладкое связное псевдориманово многообразиеориентированное (благодаря связности Ui ) во времени.
Оно, однако, не обязано бытьпространством-временем: мы не знаем хаусдорфово ли оно.61. Признак. M является пространством-временем (а значит и расширением каждогоиз Ni ), если и только если для любой сходящейся последовательности точек bk ∈ U1 ,k = 1, 2 . . . верна импликацияψ(bk ) → p=⇒p ∈ U2 .Иначе говоря, M не является пространством-временем, если и только если в N1 найдется такая сходящаяся последовательность, что ее образ в N2 имеет предельную точкуна границе U2 .Доказательство сводится к утомительному, но элементарному перебору варианψтов. Более экономный путь — представить M факторпространством N/ ∼, где N ⇋ψN1 ∪ N2 , а ∼ — (очевидно, открытое) отношение эквивалентностиψp∼q⇔p = q, ψ(q), or ψ−1 (q)Замкнутость в N × N графика этого отношения равнозначна справедливости обсуждаемой импликации.
Поэтому наш признак следует из предложения [1, III 1.6].Расширение M пространства-времени N1 всегда имеет вид (26). Отсюда,62. Следствие. Любое компактное пространство-время максимально.Заметим, что для справедливости этого следствия наличие метрики у рассматриваемых пространств, в отличие от хаусдорфовости, значения не имеет.n◦ 2Расклеивание пространств-времёнПредположим пространство-время M, как и в предыдущем пункте, имеет видM = N1 ∪ψ N2 , но N1 больше не связно: оно является объединением непересекающихся— 44 —открытых непустых множеств X и Y .
Определим новое пространство:M 0 ⇋ N1 ∪ψX N2 ,где ψX — сужение ψ на X.63. Утверждение. M 0 — пространство-время.64. Терминология. Всякий раз, когда мы будем говорить об отождествлении («склеивании», идентифткации, «сшивании», и т. п.) изометричных открытых множеств,мы будем подразумевать, что на результирующем множестве вводятся гладкость иметрика, индуцированные естественной проекцией.Только что описанную процедуру получения M 0 из M назовём (частичным9) ) расклеиванием последнего [по множеству π(Y )]. Отметим, что глобальные свойства (такие какпричинность, расширяемость, и т.
п.) M и M 0 могут сильно различаться, тогда как локальные совпадают. Например, если одно из них есть решение вакуумных уравненийЭйнштейна, то и другое — тоже.Частично расклеить можно не любое пространство-время. Нетрудно, например,видеть, что кривые, одна из которых соединяет точки p ∈ X, q ∈ Y , а другая — точкиψ(p), ψ(q), проецируются на две кривые, соединяющие (в M) одну и ту же пару точек,но при этом негомотопные друг другу (имеется в виду гомотопия, оставляющая концынеподвижными). Таким образом, частично расклеивать можно только неодносвязныепространства.
Существует, однако, очень похожая хирургия пригодная для любогопространства-времени. Опишем её простейший вариант.Обозначим через B, Ξ, D, и B± , соответственно, координатный шар, его экватор,(n − 1)-мерный диск, натянутый на Ξ, и половинки шара, разделённые D. Иначе говоря,это множества, задаваемые в некоторых координатах {z j }, j = 1, . . . n, покрывающихвесь B, соотношениямиB ⇋ {p ∈ M : z21 (p) + z22 (p) + . . . z2n (p) < 1},D ⇋ {p ∈ B : z1 = 0},B± ⇋ {p ∈ B : z1 (p) ≷ 0},Ξ ⇋ D − D.Пространство M − Ξ неодносвязно и его легко частично расклеить по B− : достаточновыбрать M − D, B, B+ и B− в качестве, соответственно, M1 , M2 , ψ(X) и ψ(Y ), то естьпредставить M − Ξ результатом заклеивания шаром B щели, полученной выниманием диска D. Полученное пространство часто используется, как промежуточное, припостроении максимальных пространств-времён: «диэдральных кротовых нор» [161],«машин времени Дойча-Политцера», см.
ниже, «струнодобных сингулярностей» [110]и т. п., которые получаются следующим образом.Полным оно было бы в случае X = ∅, когда ψY = ψ и M 0 есть объединение непересекающихся пространств-времён.9)— 45 —Пусть θ — изометрия, отображающая шар B так, что B ∩ θ(B) = ∅. Удалим из Mи Ξ, и θ(Ξ), после чего расклеим, как описано выше, оставшееся пространство по B−и по θ(B+ ). А затем изометрией θ склеим B± c θ(B∓ ). По очевидно выполняющемусяпризнаку 61 результат будет пространством-временем.
Наглядно представить его себеможно, мысленно вынув два диска из M, см. рисунок 4б, и склеив левый берег каждогоиз двух получившихся разрезов с правым берегом другого.65. Замечание. Мы будем и ниже использовать такой язык, то есть говорить о сшивании поверхностей, а не ограничиваемых ими областей, так как он нагляден и привычен(его, например, часто употребляют в ТФКП при описании римановых поверхностей).Следует, однако, иметь в виду, что он не вполне строг и однозначен.
В частности,бывают ситуации, когда берега можно склеивать по-разному, см. примеры ниже и в[110], то есть когда B на θ(B) и D на θ(D) отображаются более, чем одной изометрией.66. Пример. Пространство Дойча-Политцера (ДП). Выберем в качестве M пространство Минковского Ln , то есть Rn с плоской метрикой ηη:2ds2 = −dx02 + dx12 + . . . + dxn−1.Пространство Дойча-Политцера [56, 145], мы обозначим его (MДП , η), получается изнего произведением двух «горизонтальных» (то есть, пространственноподобных) разрезов и последующим склеиванием верхнего берега каждого из них с нижним берегомвторого, см. рисунок 5а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
