Диссертация (1145314), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Аккуратно его можно описать, как результат обсуждаемой хирургии. Для этого следует в качестве B, D и θ взять, соответственно, координатныйэллипсоидn−14(x0 + 1)2 + ∑ x2j = 1j=12(это нижний серый эллипс на рисунке 5а), диск ∑n−1j=1 x j < 1,x0 7→ x0 + 2.x0 = −1 и трансляциюЗаметим для дальнейшего, что пространство ДП является расширением Ln − D − θ(D),и поэтому в нём можно использовать те же координаты {xk }, что и в изначальномпространстве Минковского, принимая только во внимание, что теперь они покрываютне всё многообразие, то естьn−1xk ∈ Rпри x0 6= ±1,∑ xk2 > 1при x0 = ±1.k=1Множества не покрытые координатами {xk } — это склеенные воедино берега разрезов, показанные на рисунке 5б пунктиром — удобно описывать, просто как новые (посравнению с упомянутым исходным пространстве Минковского) правила продолжениягладких кривых.— 46 —B+pBsqtBrB(а)p(б)Рис. 5: (а) Начальное двумерное пространство Минковского. (б) (Перекрученное) пространство Дойча-Политцера.
Наш способ изображения соответствует использованию вэтом пространстве координат, унаследованных из пространства Минковского. Поэтому гладкие кривые выглядят разрывными: достигнув одного «шва» (бывшего разреза;он показан прерывистой линией), они продолжаются из другого. На самом же деле,сегменты со стрелками составляют либо две, если изображено пространство ДП, либо три, в случае перекрученного пространства ДП, непрерывные кривые.
Это (p, p0 ) и(qrst) в первом случае и, соответственно, (p, p0 ), (qt) и (замкнутая) (rs) — во втором.Замечательным свойством M является «отсутствие некоторых точек» (например,белых окружностей на рисунке 4). Действительно, мы начали наше построение с удаления точек Ξ из пространства-времени. А «вернуть их назад», то есть присоединитьконечные точки к кривым, кончавшемся раньше на Ξ, уже нельзя.
В этих точках,как видно по признаку 61, нарушалась бы хаусдорфовость. Таким образом, M сингулярно10) . Могут ли подобные сингулярности существовать в реальности — вопросоткрытый (мы еще вернемся к нему в разделе 2. § 3). Но в любом случае, следуетподчеркнуть: вопреки расхожему заблуждению хирургия с помощью которой былополучено M есть всего лишь удобный способ описания его геометрии, и ни в коемслучае, не указывает на какие-то «изъяны» этого пространства. Оно, действительно,состоит из разрезанных и склеенных «обычных» пространств-времён“ [60], но это”не есть отличительное свойство какого-либо конкретного пространства.
С равномуспехом то же самое может быть сказано про вообще любое пространство-время.10)Существуют разные определения сингулярности, см., например, [8], здесь, по-видимому, годитсялюбое.— 47 —Другой способ получения одного пространства-времени из другого — переходот M к его накрытию M̃ (для чего, конечно, нужно, чтобы M было неодносвязным).Обратная процедура — факторизация пространства-времени M̃, на котором есть группаG изометрий, отображающих M̃ на себя [41]. Введём опять отношение эквивалентностиGp∼q⇐⇒p = ς(q),ς ∈ G.Предположим, что G действует на M свободно и вполне разрывно, то есть (определенияразных авторов несколько различаются; приводится предлагаемое в [136]):1) у каждой точки M найдется окрестность V , такая что для любого неединичногоэлемента ς ∈ Gς(V ) ∩V = ∅,(27а)G2) для любых p, p0 ∈ M, таких что p ∼6 p0 , найдутся окрестности V 3 p и V 0 3 p0 , длякоторыхς(V ) ∩V 0 = ∅,G∀ς ∈ G.(27б)GТогда MG ⇋ M/ ∼ (иногда вместо M/ ∼ пишут M/G) есть пространство-время (гладкостьи метрика опять предполагаются унаследованными от M, ср.
следствие 7.12 в [136]), иестественная проекция π : M → MG является накрытием.Это же пространство-время можно получить и описанным выше методом «склеивания». Для этого достаточно выбрать какую-нибудь фундаментальную область Fгруппы G и в окрестности U ⊃ F склеить между собой области связанные изометриямииз G. Если, например, M — пространство Минковского, а G образована трансляциямиGx0 7→ x0 + 3, то M/ ∼ — это цилиндр CM из примера 38. Этот же цилиндр получается склеиванием областей x0 ∈ (−1, 0) и x0 ∈ (2, 3) в полосе x0 ∈ (−1, 3).
Более сложныйпример (пространство Мизнера) будет рассмотрен в 4. § 2.— 48 —2. Физические принципыКлассическая и полуклассическая гравитация, рамками которых мы ограничиваемсяв данной работе, не есть какие-то чётко очерченные, строго формализованные застывшие теории. Время от времени ревизии подвергаются практически все их элементы,начиная от действия Эйнштейна–Гильберта и кончая гладкостью пространства. Оченьважно поэтому, что существует набор относительно незыблемых метапринципов, отчасти ограничивающих возможный произвол.
Возможно, слишком строгое и педантичное рассмотрение подобных материй и не нужно, но, и обычный полуфилософскийполупоэтический подход, при анализе сверхсветовых перемещений и машин времениявно недостаточен. В этой главе мы займёмся выяснением того, что́ можно называтьлокальностью, причинностью и т. д., и какого рода запреты связаны с этими концепциями. К сожалению, термины эти столь нагружены смыслом, с ними связано такоеобилие предрассудков и ассоциаций и такая богатая история, что нам придётся избратьрадикальный метод.
А именно, вместо того, чтобы сравнить подходы предшественников и выбрать из них наилучший, мы проведём анализ ab ovo. Исходить при этомбудем из того, что данная диссертация есть физическая, а не философская работа.Немедленным результатом упомянутого анализа служат два утверждения, сформулированные и доказанные в конце § 2. Физический смысл этих утверждений состоит в том, что при выполнении некоторых «естественных» условий они запрещаютдолжным образом определённой скорости распространения гравитационного сигналапревышать световую [101, 114].В § 3 обсуждается принципиальная неоднозначность эволюции пространствавремени в ОТО. В частности, рассматриваются (вкратце) безуспешные Геароуча иПенроуза преодолеть её. Этот параграф тоже не содержит самостоятельных результатов и нужен, исключительно как основа для соответствующих построений в главах4 и 5.§1ЛокальностьОдна из важных, хотя и нечасто возникающих в теории относительности, задач— сравнение разных (то, есть, в частности, описываемых разными пространствами-— 49 —временами) миров.
При этом предполагается, что физические законы, действующиев этих мирах, одинаковы, а отличается только их геометрия. Но как сформулироватьэто предположение? К счастью это оказывается возможным в, пусть и частном, носамом важном случае геометрических локальных законов. Расшифруем выделенныеслова. За первым из них стоит, по существу, простая мысль, что физически осмысленны только «координатно независимые» величины. Для всех материальных полей ичастиц, а также величин, входящих в их законы движения, формулируются законыпреобразования при замене координат (так, поля обычно описываются тензорами илиспинорами); при этом реально измеримыми объявляются величины, инвариантныеотносительно этих замен (скаляры).
Любая изометрия ψ : U → U 0 индуцирует некоепреобразование полей f → f 0 , и мы назовём геометрическими1) такие законы движения, что поле f 0 удовлетворяет им в пространстве-времени U 0 тогда и только тогда,когда f удовлетворяет таковым в U. Это требование мы будем считать само собойразумеющимся и никаких возможностей его нарушения рассматривать не станем.Локальным же мы будем называть такой закон движения (некоторого поля), что1) осмыслен вопрос о том, выполняется ли этот закон в данной точке, и 2) для ответана него достаточно знать величину поля в сколь угодно малой окрестности этой точки(строгое определение дано в следующем пункте).
Заметим, что локальность есть нечтосовершенно отдельное от, скажем, причинности. Если мы говорим, что взаимодействиесвязывающее некие события p и q локально, то вовсе не утверждаем, что p естьпричина (или следствие) q или, скажем, что p и q не могут случиться одновременно.Мы сообщаем только, что одно событие действует на другое не прямо: упомянутоевзаимодействие каким-то образом распространяется.Очевидно, все привычные законы движения локальны (это, в частности, автоматически верно для любых законов, сформулированных как дифференциальные уравнения).
Поэтому требование локальности не слишком ограничительно. Тем не менее,иногда именно (неявное) нарушение этого требования приводит к серьёзным проблемам (см., например, [92, 103] и обсуждение на стр. 214).1. Пример. Пусть некоторая теория точечных частиц в пространстве Минковского допускает взаимодействие вида V1 , см.
рисунок 1. Тогда, если мы требуем, чтобы взаимодействие было геометрическим и локальным, эта теория обязана содержать и любыевершины, полученные из V1 преобразованиями Лоренца (в частности, вершины V2,3 ),поскольку у любой такой вершины найдётся окрестность, которую некоторая изометрия отображает на соответствующую окрестность V1 таким образом, что вершинаотображается на вершину.1)Это название ни в коем случае не общепринято, но нам, к счастью, оно почти не понадобится.— 50 —V2V3V1Рис. 1: Вершины V2,3 получены из V1 преобразованиями Лоренца.n◦ 1C-пространстваПонятие локальности оказывается полезным при обсуждении и материальных, игравитационных полей. Любое пространство-время M можно представить объединениемM=[Vα ,αгде Vα — некоторые удобные множества (шары, выпуклые окрестности, совершеннопростые множества, и т. п.).
Легко убедиться, что для выяснения некоторых свойствM (например, выпукло ли оно) надо знать как именно Vα объединяются в M. А другие свойства (например, плоско ли оно) можно установить, ограничившись изучениемсамих множества Vα . Именно эти последние свойства нас и будут интересовать2) .2. Определение. Пусть C есть множество всех пространств-времён, удовлетворяющих некоторому условию C (обладающих свойством C). Тогда условие (свойство) Cназывается локальным, если для любого открытого покрытия {Vα } произвольногопространства-времени M справедлива следущая эквивалентностьM∈CVα ∈ C ∀ α.⇔Отныне для краткости пространства из множества C будут называться C-пространствами.В дальнейшем нам понадобятся следующий очевидный3. Факт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
