Диссертация (1145314), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

начало § 1) уравненияхдвижения.20. Пример. Во фридмановской вселенной (M, 1)1:ds2 = −dt 2 + a2 (t)[dχ2 + sinh2 χ(dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 )]рассмотрим теорию поля с уравнением движенияgcd ∂c ∂d φ = 0(8)и набором B, состоящим только из требования гладкости. Такая теория 1) подчиняетсяпринципу причинности и 2) допускает сигналы, распространяющиеся со скоростьюсвета.

Обозначим через λ один из таких сигналов:λ ⇋ xc (ξ) :gcddxc dxd= 0.dξ dξ— 64 —Определим теперь на M новую метрику 1̃ уравнениемg̃cd = gcd + 12 τc τd ,τ ⇋ ∂t .[векторное поле τ можно определить и координатно независимым образом, как единичное поле, перпендикулярное в каждой точке 3-поверхности постоянной кривизны,проведённой через эту точку [27]. У τ есть ясный физический смысл: это скоростилиний тока жидкости, которая порождает (через уравнения Эйнштейна) метрику 1].В пространстве-времени (M, 1̃), которое, кстати, тоже является фридмановской вселенной, только с другим a(t), рассмотрим теорию с тем же B и тем же уравнениемдвижения (то есть именно с уравнением (8), а не с тем, что получится из него заменой1 → 1̃). Очевидно, в этой «новой» теории причинно связанными оказываются точно теже события, что и в исходной. В частности, λ, по-прежнему, сигнал.

Но теперь егоскорость выше скорости света:2dxc dxd 1 dxc=τc > 0.g̃cddξ dξ2 dξИтак, мы сконструировали «физически приемлемую» теорию11) , в которой нарушаетсяпринцип причинности, но которая, тем не менее, не содержит никаких «головокружительных парадоксов» и «логических противоречий».Подытожим. Теория, описывающая материальные поля и/или частицы, включает в себя динамические уравнения и независимо от них набор некоторых условий надопустимые решения этих уравнений. Эта совокупность (неоднозначно) определяет,что́ в упомянутой теории свободно задаваемо («начальные данные»), а что́ по этимданным находится. Такое разделение порождает понятия причинной зависимости событий, и, как следствие, причины и сигнала.

Принцип причинности есть требование, предъявляемое и к обсуждаемой теории, и к геометрии пространства-времени:отношение «быть (возможной) причиной» должно совпадать с отношением «быть соединённым непространственноподобной кривой». Этот принцип выполняется во всехобычных теориях, но и его нарушения сами по себе не ведут к катастрофическимпоследствиям. Таким образом, принимать ли его — вопрос вкуса. Будучи принятым,он (а не теория относительности, локальность, локальная причинность, причинная локальность и т. д.) запрещает скорости сигнала (не частицы, гребня волны, фронта и т.д.) превосходить скорость света.n◦ 4«Скорость гравитации»До сих пор мы обсуждали сигналы, связанные с материальными полями.

Можно,однако, спросить, а какова скорость сигнала передаваемого гравитационным полем?11)Она является вариантом того, что было предложено в [32].— 65 —Этот вопрос и осмыслен и нетривиален. Действительно, представим, что экспериментатор E собирается бросить камень. Находящийся от E на некотором расстоянии наблюдатель O не знает заранее в какой точно момент это событие — обозначим его s —случится. Но если его аппаратура достаточно чувствительна, он сумеет зарегистрировать изменение — начиная с q — гравитационного поля, которое захочет истолковать,как свидетельство того, что камень пришёл в движение. Представляется естественным считать в этом случае q следствием, а s причиной. И так же естественно спросить,насколько скоро случится q? Может ли, в частности, оно произойти до того, как первыйфотон из s достигнет O?Сформулированные вопросы очень похожи на те, что исследовались в предыдущих пунктах данного параграфа.

Причина, по которой гравитация требует отдельногоанализа, состоит в следующем. Если бы E сигналил материальным полем f (например, кулоновским, а не гравитационным полем того же камня), то под «s влияет наq» мы бы понимали зависимость значения f (q) от того, что решит E : это будет f1 ,если он бросил в момент s камень, либо f2 , если воздержался от этого [E в нашеммысленном опыте играет роль источника, его поведение в рамках теории, принятойO, не описывается детерминирующими уравнениями, и тот вынужден учитывать всевозможности, которые не запрещены условиями B, ср. пример 11(в)]. Но, если мы попытаемся применить такой же подход в случае гравитации, нам придётся сравниватьне поле, а метрику в q в первом и втором случаях.

А это, вообще говоря, невозможно. Действительно, разных метрик — обозначим их 11 и 12 — в одной точке (речьидёт о точке пространства-времени, а не многообразия) быть просто не может: (M1 , 11 )и (M2 , 12 ) являются разными пространствами-временами прямо по определению (неважно, одинаковы ли, то есть диффеоморфны ли, при этом многообразия M1 и M2 ).Значит, и метрики мы сравниваем не в одной точке q, а в двух разных (раз уж онипринадлежат разным пространствам-временам) точках q1 ∈ (M1 , 11 ) и q2 ∈ (M2 , 12 ). Ночтобы оправдать нашу интерпретацию (согласно которой неравенство 11 (q1 ) 6= 12 (q2 )свидетельствует о том, что некий эксперимент окончился по-разному) нам всё же надо откуда-то знать, что q1 и q2 соответствуют одному и тому же месту и времени.А средств для установления такого соответствия нет, поэтому нет и возможности, вобщем случае, сказать, что «метрика в данной точке изменилась».

Мы обойдём этупроблему, сфокусировавшись на точках, про которые, наоборот, можно утверждать,что метрика в них не изменилась и что они, следовательно, независимы от s.21. Замечание. Мы могли поступить так же и в случае материальных полей. Обозначим через N(s) множество всех точек M, на которые s не может повлиять:N(s) = {p ∈ M :s 6P p}.— 66 —Тогда принцип причинности формулируется как требование, чтобыM − N(s) = J + (s) ∀s.Итак, мы собираемся формализовать идею, что M1 и M2 описывают два разных продолжения общей предыстории, включающей в себя историю E вплоть доs.

Для этого мы потребуем существования в них пары изометричных подмножествNk∗ ⊂ Mk , k = 1, 2; они-то и описывают эту предысторию. Причём мы наложим условие,чтобы Nk∗ были множествами прошлого (очевидно подмножества разных пространств— даже изометричные — не описывают одну и ту же область Вселенной, если ихобитатели помнят разное).22.

Определение. Назовём альтернативой пару (Mk , 1k , sk ), k = 1, 2 максимальных пространств-времён с отмеченнымиточками, если найдётся пара связных открытых мно−жеств прошлого Nk ⊃ J (sk ) − sk и изометрия φ, отображающая N1 на N2 , а J − (s1 ) − s1на J − (s2 ) − s2 .Для данной альтернативы пара N1 , φ не обязана быть единственной, может существовать целое семейство {N1α , φα } таких пар. Через (N1∗ , φ∗ ) мы обозначим какой-нибудь измаксимальных элементов этого семейства, то есть такой, что семейство не содержит«большего» элемента:@α0 :N1∗ ( N1α0 ,φ∗ = φα0N1∗.[По лемме Цорна такой элемент обязательно существует [11], поскольку области в M1и M2 частично упорядочены по включению12) (A 6 B ⇔ A ⊂ B), а при такой упорядоченности любая цепь . .

. 6 A1 6 A2 6 . . . имеет верхнюю грань ∪i Ai .] Соответственно,N2∗ ⇋ φ∗ (N1∗ ).23. Определение. Множества Nk ⇋ Bd Nk∗ , k = 1, 2 будем называть фронтами. Фронт Nkназовём сверхсветовым, если Nk 6⊂ J + (sk ).Понятие альтернативы довольно грубо. В общем случае оно не позволяет, например, обсуждать скорость «гравитационного сигнала», если под последним понимать фронт. Даже источник этого сигнала нельзя установить однозначно, так как однаи та же пара пространств-времён может удовлетворять определению альтернативыпри выборе разных точек в качестве s.

Оно, тем не менее, позволяет сформулироватьопределённое условие, выполнение которого необходимо для того, чтобы скорость гравитации можно было считать сверхсветовой. А именно, рассматривая какую-нибудьтеорию (то есть, набор материальных полей и условий, связывающих их с геометрией12)Это оказывается возможным потому, что области — это не просто пространства-времена, а пространства-времена и их вложения в M1,2 , ср. обсуждение на стр.

15.— 67 —пространства-времени), зададимся вопросом, какие альтернативы допустимы в этойтеории, то есть, в каких случаях оба пространства-времени являются законными решениями, а различие между ними мы согласны приписать событию s, а не, например,изначальному различию двух вселенных. И если среди допустимых альтернатив ниу какой не окажется сверхсветового фронта, мы, по-видимому, можем считать, что вэтой теории скорость гравитации ограничена скоростью света. Заметим, что поскольку нас интересуют не всякие альтернативы, а только допустимые, и эту допустимостьмы устанавливаем в каждой теории отдельно, то при желании можно было бы определить альтернативу просто как пару пространств с отмеченными точками.

Остальныетребования (существование множеств Nk∗ ) в этом случае входили бы в критерии допустимости.24. Пример. Пусть и (M1 , 11 ), и (M2 , 12 ) глобально гиперболичны. И пусть Sk , k = 1, 2поверхности Коши, проходящие через sk и обладающие тем свойством, что S2 − s2 =φ∗ (S1 − s1 ). Допустимыми будем считать такие альтернативы, что значения материальных полей (и, если надо, их производных) в соответствующих точках Sk совпадают.Такой выбор не выглядит искусственным.

Действительно, если подходящей пары поверхностей Коши не найдётся, то не видно никаких оснований считать M1 и M2 , отличающимися только s и его последствиями, ср. [122]; скорее их следует признатьизначально разными, а альтернативу (Mk , 1k , sk ), соответственно, недопустимой. Но изглобальной гиперболичности M1,2 следует равенствоMk − J + (sk ) = J − (sk ) ∪ D(Sk − sk )(действительно, любая точка в Mk соединяется любой непродолжимой причинной кривой с Sk , поэтому, если она не лежит в J + (sk ), то либо лежит в J − (sk ), либо все причинные кривые, проходящие через неё, соединяют её с «остатком» Sk , то есть с Sk − sk ).

Характеристики

Список файлов диссертации