Диссертация (1145314), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тем не менее, легко проверить, что точка (x = −r0 , y = 0)— 82 —γγ(а)(б)Рис. 1: Обе поверхности отличаются от евклидовой плоскости только в компактной области, она показана серым (в случае плоскости с ручкой, нарисованной справа, следуетиметь в виду, что внутренние части серых колец отождествлены). В обоих случаяхотрезок γ лежит в евклидовой области W . И тем не менее, γ не есть кратчайшая криваяс данными концами. Последняя изображена толстой линией.находится гораздо ближе к диаметрально противоположной точке (x = r0 , y = 0), чемесли бы всё пространство было плоским (≈ 2Ω0 r0 против 2r0 ).2. Пример. На рисунке 1б изображено риманово пространство (M, 1R ), которое получится, если вырезать два одинаковых круга из плоскости и деформировать её — вокрестностях полученных отверстий — таким образом, чтобы на следующем этапе этиокрестности можно было бы склеить, получив таким образом плоскость с ручкой.Для строгого описания этой поверхности введём на евклидовой плоскости две системыполярных координат: (r, ϕ) и (r0 , ϕ0 ).
Начала координат обозначим через o и o0 , соответ−→ственно, а углы ϕ, ϕ0 будем отсчитывать по часовой стрелке от направления oo0 . Удалимиз этой плоскости два (двумерных) шара B(0) ⇋ {p : r(0) (p) 6 (1 − δ)r0 }, где 0 < δ 1, а r0достаточно мало, чтобы шары не пересекались.
Теперь мы хотели бы склеить кольцо,окружающее одну из получившихся дыр, с кольцом, окружающим другую. Для этогонам нужна изометрия ψ, см. 1. § 6, которая отображала бы одно кольцо на второе ипри этом удовлетворяла признаку 1.61. Но такой изометрии в оставшемся от плоскости пространстве M ⇋ E2 − B − B0 нет. Поэтому мы определим на нём новую метрику1R и потребуем от неё, чтобы выполнялось условие(dr2 + r2 dϕ2 ,при r, r0 > (1 + 2δ)r0 ,2ds =dr2 + [(r − r0 )2 + r02 ] dϕ2 , при (1 − δ)r0 < r < (1 + δ)r0 ,и такое же с заменой r ↔ r0 .
Таким образом, (M, 1R ) — это поверхность, изображённаяна рисунке 1б: из плоскости вырезаны два круга и узкие колечки r(0) /r0 < (1 − δ, 1 +2δ) вокруг отверстий искривлены. Внутренние части колечек — r(0) /r0 < (1 − δ, 1 + δ) —связаны изометриейr0 [ψ(p)] = 2r0 − r(p),ϕ0 [ψ(p)] = −ϕ(p).(3)— 83 —Это отображение удовлетворяет признаку 1.61 и, склеив по нему упомянутые колечки,мы и получим искомое риманово пространство. Оно, как мы уже объявили выше,представляет собой плоскость с ручкой, см. рисунок 3a.Обсуждаемая поверхность плоска везде кроме областей, показанных на рисунке 1бсерым. В частности, целиком в плоской области лежит отрезок γ, изображённый нарисунке 1б.
Тем не менее, его концы можно соединить геодезической, проходящейчерез ручку и эта геодезическая короче γ (если расстояние между шарами B, B0 былодостаточно велико).3. Замечание. Изометрия ψ не единственна. Мы могли бы использовать вместо неёлюбую её композицию с поворотом ϕ 7→ ϕ + ϕ0 и/или отражением ϕ 7→ −ϕ (последнее,только если мы не возражаем против неориентируемых поверхностей).Каждый раз мыполучали бы новое пространство, хотя соответствующие односвязные подмножествау всех них изометричны.Обобщая рассмотренные примеры на 4-мерный лоренцев случай простейшим образом,мы и приходим к идее лаза.4. Определение. Пусть C — времениподобный цилиндр в пространстве МинковскогоL4 (то есть множество точек, имеющее вид L1 × B, где B — пространственноподобныйоткрытый трёхмерный диск).
Область U глобально гиперболического пространствавремени M а также и само M назовём лазами, если найдётся такая изометрия χ : (M −U) → (L4 −C), и такая пара точек p, q ∈ (M −U), чтоp 4 q,χ(p) 64 χ(q)Иначе говоря, лаз — это пространство-время, которое можно получить из пространства Минковского такой заменой времениподобного цилиндра C на нечто другое (аименно, на U), что пара пространственно разделённых точек становится причинносвязанной.
Перемещение из p в q через лаз будет «сверхсветовым» в том смысле, чтооно происходит быстрее, чем произошло бы перемещение фотона, будь p и q точкамипространства Минковского.5. Замечание. Для наблюдателя, не интересующегося тем, что происходит в U, присутствие лаза сводится к тому, что он, наблюдатель, обитая в пространстве Минковского, может перемещаться из одного события в другое, как если был он былтахионом. Что даёт ему возможность способом, описанным в 2.
§ 2 n◦ 1, нарушать причинность. Естественно поэтому предположить [101], что комбинацию из двух лазовможно превратить в машину времени. Для частных случаев это было подтверждено в[132, 63, 64].— 84 —§2n◦ 1Кротовые норыЧто такое кротовые норыКротовые норы (кротовины) изучаются в ОТО давно и весьма интенсивно1) . Темне менее строгого общепринятого определения для этого объекта до сих пор не появилось (что роднит его с понятием «сингулярность»). Связано это, по-видимому, стем, что строгие определения нужны, в основном, при доказательстве каких-нибудьдостаточно общих утверждений, а таковых в случае кротовых нор практически несформулировано.Возьмём два экземпляра евклидова пространства и, повторяя процедуру, проделанную в примере 2 для n = 2, удалим из каждого по одинаковому шару B, B0 ,а затем соединим границы получившихся отверстий (при этом мы «разгладим» места соединения так, чтобы образовавшееся многообразие получилось гладким).
Такпостроенное пространство, см. рисунок 2a, и называют — межмировой, от английского inter-universe [161] — кротовой норой. Окрестность «места склейки», то есть,область, выделенную на рисунке 2a серым, называют горловиной, а (несколько неопределённые) окрестности «концов» горловины — входами или устьями [6] кротовины.Кроме того, рассмотренное риманово пространство считается пространственноподобным сечением некоторого пространства-времени, и последнее тоже называют кротовой норой. Вдобавок, так же зачастую именуют и пространства чем-нибудь «напоминающее» упомянутые (ниже мы рассмотрим несколько примеров) или даже однугорловину саму по себе. Есть, в частности, «локальный» подход, в рамках которогоза определяющий признак кротовой норы принимается наличие горловины, то естьзамкнутой 2-поверхности минимальной — по отношению к некоторым инфинитезимальным деформациям — площади [89]. При таком подходе пространство-время типаизображённого на рисунке 2б тоже признаётся кротовиной.
Классическим примеромкротовой норы является также шварцшильдовское пространство (хотя в этом случаепространства, которые соединяет горловина, являются плоскими только асимптотически), см. главу 31 и особенно рисунок 31.5 в [133]. Другая типичная кротовина — этопространство Морриса–Торна. Под этим названием известно (очевидно статическое исферически симметричное) пространство-время с метрикойds2 = −e2Φ(x) dt 2 + dx2 + r2 (x)(dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 ),x ∈ R,r > 0,(4)где r и Φ — гладкие функции, стремящиеся при x → ±∞ соответственно к |x| + c1 ± c2 и1)Сам термин «кротовая нора» вместо английского wormhole (червоточина) был введён Н.
В. Мицкевичем при переводе книги [168] с согласия Д. Иваненко, редактировавшего перевод [14]. За прошедшиес тех пор 50 лет он прочно укоренился и обсуждать его сегодня вряд ли имеет смысл.— 85 —(а)(б)Рис. 2: Обычно кротовой норой называют трёхмерный аналог пространства (а), иличетырёхмерный результат его эволюции. Но иногда этот термин распространяют и напространства типа (б) [161].к ±c3 . В области, где dr/dx 6= 0, эту метрику, cледуя [132], часто записывают в формеds2 = −e2Φ dt 2 +dr2+ r2 (dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 ),1 − b/rr 6= b(r).Функции Φ(x) и b(x) называют в этом случае функциями, соответственно, «красногосмещения» и «формы».
Если пространство снаружи от кротовины Морриса–Торна пусто, Φ и b должны, по теореме Биркхофа, принимать там тот же вид, что и в решенииШварцшильда. Это даёт возможность говорить о «массе» каждого из устьев кротовойноры (но не о массе кротовины в целом, поскольку у одного устья масса совершенноне обязана быть такой же, как у другого). Замечательно, что нет никаких основанийзаранее считать эту массу положительной.6. Пример. Назовём внешне плоской кротовину W , представляющую собой пространство Морриса–Торна cΦ = 0,r = |x| + þпри x ∈/ (−z, z),где þ и z — некоторые положительные константы.
Как нетрудно заметить, такая кротовая нора разбивается на три множества: горловина «длины z», она состоит из точекс |x| 6 z, и две области, каждая из которых является пространством Минковского безцилиндра |r| 6 þ + z. Масса обоих устий этой кротовой норы, очевидно, равна нулю.7. Замечание. Нам предстоит рассматривать много сферически симметричных пространств, и стоит поэтому пояснить, что так будут называться пространства видаL1 × S, во всяком сечении {t} × S, t ∈ L1 которых действует группа изометрий SO(3).— 86 —Её орбиты — сферы, характеризуемые радиусами r. Подчеркнём, что r(S) — это не расстояние до «центра сферы S», центров может не быть вовсе (в случае кротовых норpих как раз нет), а A/(4π), где A — площадь сферы S. Поэтому разность r(S1 ) − r(S2 )характеризует разницу в размерах сфер S1 и S2 , но никак не расстояние между ними.8. Пример.
Рассмотрим пространство-времяds2 = −dt 2 + r dx2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 ),x ∈ R.r(x) ⇋ þ + 14 x2 ,þ ⇋ const.Выбрав r новой координатой (при x 6= 0, конечно), преобразуем метрику к видуrdr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 ),при r 6= þ.ds2 = −dt 2 +r−þИтак, это пространство — простейшая кротовина Морриса–Торна с Φ = 0, b = þ. Интересно, что её скалярная кривизна R равна нулю. Это, в частности, означает, чтобезмассовое скалярное поле, то есть поле, подчиняющееся уравнению( − ξR) φ = 0ξ = const,может быть постоянным в этом пространстве: φ = φ0 . Тензор энергии импульса длятакого решения [35] есть Tab = ξGab φ20 , см.
[5]. Таким образом, данная кротовина, запол√ненная полем φ = 1/ 8πξ, решает всю систему из уравнений Эйнштейна и уравненийдвижения для безмассового скалярного поля [104].Обратимся теперь к пространствам-временам несколько другого типа. А именно,повторим построение, давшее нам межмировую кротовину, но шары B, B0 на этот разудалим не из двух разных пространств, а из разных областей одного пространства.Тогда вместо (трёхмерного аналога) поверхности, изображённой на рисунке 2a, получится нечто вроде того, что показано на рисунках 1б или 3a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
