Диссертация (1145314), страница 21
Текст из файла (страница 21)
А чуть модифицировав эту процедуру,мы получим то, что можно назвать «деформационным перемещением» (warp drive).12. Пример. «Двигатель Алькубиерре». Пусть Ω — функция, заданная (2б). Тогда пространство-время M с топологией R4 и метрикойpds2 = −dt 2 + Ω2 (r)(dx2 + dy2 + dz2 )r ⇋ x2 + y2 + z2 ,будет плоским везде кроме тонких стенок, ограничивающих цилиндр U = {r < (1 −δ)r0 }. Но при этом внутри U световые конусы «более открыты», чем снаружи (это,разумеется, координатный эффект), и поэтому кривые типа кривой γ на рисунке 6aвремениподобны, хотя они были бы пространственноподобны, будь весь цилиндр {r <r0 } плоским. Так что, M, очевидно, является лазом.— 95 —(а)(б)Рис.
6: a) Двигатель Алькубиерре. Внутренность U плоская, но световые конусы тамоткрыты (в этих координатах) в 1/Ω0 раз шире, чем в пространстве Минковского.Поэтому даже очень пологая кривая γ оказывается времениподобной. Соответственно, она достигает Денеба гораздо раньше, чем в случае Ω ≡ 1. б) Труба Красникова.Световые конусы в U наклонены в сторону Земли. Поэтому q p, хотя t(q) < t(p).Заметим, что, высокоразвитая цивилизация2) попытавшаяся использовать двигатель Алькубиерре для межзвёздных путешествий, столкнулась бы с той же проблемой, что и в случае статической кротовой норы. Принцип действия этого двигателяне позволяет использовать его для первого путешествия (если только по совпадениюне найдётся уже готовый лаз к выбранной цели).
Действительно, представим, что внастоящий момент (а если мы ничего не предпримем, то и в будущем) вся Галактика— это часть пространства Минковского. Тогда, чтобы создать цилиндр U между Землёй и Денебом, нам придётся распределить нужным образом материю и дождаться,пока метрика, подчиняясь уравнениям Эйнштейна, не примет нужный вид. Но этопотребует, в частности, изменения метрики и около Денеба, а по предположению мыне располагаем средствами сверхсветовой (в смысле 2. § 2) коммуникации. Поэтомусоздание U закончится не раньше, чем меняющее метрику воздействие дойдёт, распространяясь не быстрее света в пространстве Минковского, от Земли до Денеба, тоесть не раньше, чем через 1500 лет. И хотя после этого полёт будет очень быстрым,смысла в нём уже не будет.
Преодолеть эту проблему можно, как в случае с кротовиной, сделав расстояние от Денеба до Земли «отрицательным».13. Пример. «Труба Красникова». Пусть M опять будет R4 , а метрику зададим выра2)К которой со времён [132] принято апеллировать при обсуждении подобных вопросов.— 96 —жением1:ds2 = (dx − dt)(k(r)dx + dt) + dy2 + dz2 ,(9)где k(r) — монотонная функция, такая что= 1,kr>r0kr<(1−δ)n0= k0 = const,−1 < k0 < 0.Пространство искривлено только в сферическом слое толщины δr0 , точно как в предыдущем примере. Главное отличие состоит в том, что путешествие теперь кончаетсяраньше чем начинается [101], точно как в обсуждавшейся на стр. 94 ситуации с кротовой норой. Этот эффект вызван тем, что в координатах t, x световые конусы в областиU, где k = k0 , наклонены столь сильно, что появляются светоподобные векторы, направленные хотя и в будущее, но, тем не менее, в сторону убывания t, см.
рисунок 6б.В результате расписание воображаемой экспедиции Земля–Денеб–Земля будет кардинально отличаться от рассмотренного в предыдущем примере и выглядит так же, какпри использовании кротовины с буксируемым входом. А именно, на последнем этапе,корабль ныряет в 3515 г в устье кротовины около Денеба и выныривает около Земли в2016 г.Такое «возвращение в прошлое» решило бы проблему запретительно больших расстояний от Солнца до других звёзд.
При этом, что важно, оно не имеет (прямого)отношения к нарушению причинности — на самом деле M глобально гиперболично3) .Доказательство. Перепишем метрику в виде1:ds2 = −ω20 + ω21 + dy2 + dz2 ,dx,ω0 ⇋ dt + k−12ω1 ⇋k+1dx2и обозначим через e0,1 векторы дуальные к 1-формам ω0,1 . Рассмотрим произвольнуюнепродолжимую времениподобную кривую µ(l), направленную в будущее и разложимкасательный к ней вектор по полученному базису:∂t + ∂x ) +C∂y + D∂z ,∂l = Ae0 + Be1 = A∂t + B( 1−k2То, что µ(l) направлена в будущее и времениподобна, означает, соответственно, чтоA > 0,A2 > B2 +C2 + D2 .Теперь введём на M вспомогательную риманову метрику1R :ds2 = ω20 + ω21 + dy2 + dz2(она отличается от 1 только знаком при ω20 ) и потребуем от l (мы вольны это сделать),чтобы она была натуральным параметром относительно 1R , то есть чтобы |l1 − l2 | былодлиной отрезка µ между µ(l1 ) и µ(l2 ).
ТогдаA2 + B2 +C2 + D2 = 1.3)Хотя из комбинации двух труб можно и в этом случае построить машину времени [64].— 97 —Сравнивая это с предыдущими двумя неравенствами, получим√√A > 2/2,|B| < 2/2.Определим теперь функцию F = t + k02−1 x и выясним, как она меняется вдоль µ.dF/dl = F,i (∂l )i = AF,t +B(F,x +F,t 1−k) = A + B k02−1 + B 1−k>22>√2/2(1 − |k02−k| ) >k0 +12Итак, скорость изменения F отделена от нуля.
А с другой, стороны, поскольку (M, 1R )очевидно полно, l принимает все значения от минус до плюс бесконечности. И, значит, µ пересекает (причём только однажды) поверхность F = 0. Таким образом, этаповерхность является поверхностью Коши для M, а значит, по предложению 1.46, Mглобально гиперболично.Наличие требуемых определением точек p и q очевидно, и мы заключаем, что M —лаз.Задачей рассмотренных примеров было продемонстрировать принципиальнуювозможность сверхсветовых, в оговорённом выше смысле, путешествий.
Ниже, однако, мы будем обсуждать и некоторые аспекты практического воплощения этих идей.При этом выяснится, что большие размеры лаза могут служить препятствием к егосозданию. Отметим поэтому, что для использования описанных лазов в межзвёздных путешествиях вовсе не обязательно строить гигантский цилиндр с r0 порядкасветовых лет. Вполне достаточно окружить пилота небольшой областью — в случае,рассмотренном в примере 12, она называется пузырём Алькубиерре4) — с диаметромh d (см.
рисунок 7). Переход от цилиндра к пузырю позволяет сократить соответствующую величину весьма значительно — в 1032 раз, когда d ∼ 100 св. лет и h ∼ 100 м.Окажется ли выделение лазов в специальный класс пространств полезным, покажет будущее. А вот один внутренний недостаток виден уже сейчас. Дело в том,что пространство вдали от кротовины или пузыря Алькубиерре естественно считатьпочти плоским.
Но в случае лаза оно должно быть в точности плоским. И, к сожалению, это — казалось бы, незначительное — ограничение исключает, по-видимому,из рассмотрения вселенные, удовлетворяющие СЭУ. Действительно, если плотностьэнергии везде неотрицательна, а где-то даже положительна, то естественно ожидать,что масса лаза будет положительна, а она в соответствии с нашим определением —ноль5) . На первый взгляд, этот недостаток легко исправить. Достаточно заменить в4)В действительности метрика, предложенная Алькубиерре в [30], немного отличается от этой, предложенной в [52], (в частности, световые конусы внутри пузыря не только «более открыты», но ещё инаклонены), но принцип действия тот же.5)Это рассуждение не является вполне строгим.
На сегодняшний день нет доказательства того, чтолюбой лаз нарушает СЭУ, см., впрочем, [122, 135].— 98 —hyh(а)(б)Рис. 7: Пузырь Алькубиерре. а) Сечение z = 0. Кривая от s до f времениподобнa, еёпологость — координатный эффект. А вот столь же необходимая пологость фронта серой области, поскольку он распространяется в области с «узкими» конусами, означает,что его скорость превышает световую.
б) Сечение t = const. Корабль движется вместе с окружающей его тонкостенной сферой, скорость которой во внешнем пространстве больше световой. В отсутствие сверхсветовых сигналов это значит, что «пузырь»представляет собой не одну движущуюся сферу, а последовательность неподвижныхнезависимых друг от друга сфер, ср.
пример 2.9. Их могли бы создавать заранее расположенные в нужных местах устройства.определении лаза L4 на подходящее искривлённое пространство-время, а цилиндр Cна подходящим образом определённую мировую трубку. Такой «искривлённый лаз»может удовлетворять СЭУ, как показывает пример, разобранный в A. § 2. Для него,однако, трудно определить «эффективность». Пессимист мог бы сказать, что положительная масса — это нечто противоположное лазу, нечто, порождающее задержку [75]сигнала (то, что называется «эффект Шапиро»). Тогда можно заподозрить, что всё,на что способен лаз, подчинённый СЭУ, это скомпенсировать упомянутую крошечнуюзадержку.— 99 —4. Машины времениЭту главу мы начнём с введения, в § 1, понятия (появляющейся) машины времении предъявления простого примера таковой. В последующих параграфах рассматривается ещё несколько — менее тривиальных — примеров.
Первым из них выступает пространство Мизнера. Это пространство (или, в зависимости от терминологии,его максимальное расширение) является одной из старейших и, как можно думать,важнейших машин времени: действительно, будучи просто плоским цилиндром, онаявляется, в каком-то смысле, машиной времени «в чистом виде». Мы рассматриваемеё в § 2 n◦ 1 как богатый источник контрпримеров и как основу для новых результатов, каковыми являются обобщения пространства Мизнера на неплоский случай. Вn◦ 2 эти обобщения строятся и исследуются (в развитие и исправление результатов[73, 98, 119]).
Далее, в § 3 вкратце обсуждается превращение кротовой норы в машинувремени [133] — процесс широко известный и популярный. Важность этого явлениязаключена в том, что это один из наиболее «реалистичных» сценариев того, как Вселенная может потерять глобальную гиперболичность.Перечисленные машины времени, также как и рассмотренная в примере 5, обладают общим свойством — они лишены «дыр» типа тех, которые мы наблюдали впространстве Дойча-Политцера, см. пример 1.66. В § 4 мы формализуем это сходство,введя понятие компактно определённого горизонта. Как будет показано (это усилениерезультатов [96]), все машины времени с такими горизонтами обладают важными общими свойствами (свойства машин времени с компактно порождёнными горизонтами,изучавшимися Хокингом [85], тоже вкратце перечислены).
Ни одно из них, однако, необязательно для машины времени вообще, и явный пример машины времени, лишённой их [100], будет построен в § 5.§1Понятие машины времениВ любом пространстве-времени, где нарушена причинность, наблюдатель может,в принципе, встретить свою более молодую (или старую) версию, или хотя бы обменяться с нею сигналами со всеми вытекающими отсюда последствиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
