Диссертация (1145314), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Например, в де ситтеровском случае (когда R > 0) области T1,2 /G —глобально гиперболичны, а в M через каждую точку проходит причинная окружностьχ = const. Таким образом MP , в зависимости от выбора будущего представляет собойлибо машину времени с двумя областями M r , либо вечную машину времени, эволюционирующую в две причинно несвязанные причинные области. В анти-де ситтеровскомслучае ситуация обратна: две области с нарушениями причинности — T1 /G и T2 /G —разделены глобально гиперболической M.T1(2) /G :ds2 =7. Замечание.

Причинные области всех трёх машин времени можно записать единымобразом::ds2 = Ω2 − dτ2 + dψ2ψ = ψ + 2 ln κ,гдеΩ = e−τ/21sh−1 τ/2Ω= pR/21ch−1 τ/2Ω= p−R/2τ ∈ R1τ<0τ ∈ R1Мизнерде Ситтеранти-де Ситтер.По мере приближения к горизонту Коши τ стремится к ∞ в первом случае, к −∞ вовтором и к ±∞ в третьем.MP сингулярно. Действительно, любая светоподобная геодезическая в MP естьобраз соответствующего геодезического отрезка в (анти-) де ситтеровском пространстве. Этот отрезок заключён между гипотенузой и одним из катетов треугольникаP, см. рисунок 2а, и очевидно неполон.

Как и в случае пространства Мизнера, этасингулярность неустранима.Доказательство. Пусть γP (β) ⊂ P — светоподобная геодезическая, заданная уравнениемα(β) = α0 6= 0(заметим, что параметр β не аффинный, поэтому его неограниченность снизу вовсе неозначает полноты геодезической в этом направлении).— 110 —Зададимся теперь каким-нибудь отрицательным числом β0 и рассмотрим две последовательности точек:pm ⇋ γP (κ−m β0 ),иqm :α(qm ) = κm α0 ,β(qm ) = β0m ∈ N,(9)Каждая qm принадлежит орбите соответствующего pm [то есть qm = $iκ (pm ) при некотором i, а именно при i = m], При m → ∞ последовательность {qm } сходится к точкеq∞ с координатами α(q∞ ) = 0, β(q∞ ) = β0 , и, значит, её образ π(q∞ ) содержит в любойсвоей окрестности точки геодезической γ(β) ⇋ π ◦ γP (β) с неограниченно большими β.Следовательно, если бы у γ была конечная точка, это должна была бы быть π(q∞ ).

Ноβ0 выбиралось произвольно и, следовательно, тот же вывод верен и для любой другой[не равной π(q∞ )] точки из `α . Но у кривой не может быть нескольких будущих (илипрошлых) конечных точек.Итак, γ не продолжима ни в каком расширении MP . Точно такое же рассуждениес заменой α ↔ β доказывает, что непродолжимы и вертикальные (на рисунке 2) геодезические. И, пользуясь признаком 1.60, мы опять заключаем, что MP нерасширяемо.Изометрия α ↔ β не порождает на сей раз новых расширений. Рассмотрим, однако, преобразование I : S → Sw 7→ −π/2 − w,где w ⇋ u, v(это координатная инверсия относительно точки u = v = −π/4). Очевидно, см.

рисунок 2a, I отображает область P в P0 ⇋ T3 ∪ QIII ∪ T4 . Факторизовав P0 по группе G0 , генерируемой изометрией $0κ ⇋ I ◦ $κ ◦ I −1 , мы, разумеется, получим пространство-время MP0изометричное MP . А теперь заметим, что, во-первых, I(QIII ) = QIII , а во-вторых, орбитыG и G0 в QIII совпадают (это легко увидеть, если выразить I в координатах α, β:I:(α, β) 7→ (1/α, 1/β)00и заключить отсюда, что $0κ = $−1κ ). А значит, QIII /G = QIII /G, и MP является расширением QIII /G. Как и в мизнеровском случае, продолжить QIII /G сразу и в T1 /G, ив T4 /G0 (либо в T2 /G и одновременно в T3 /G0 ) невозможно, иначе, как мы знаем, одна последовательность (например, только что рассматривавшаяся последовательность{pn } = {qn }) имела бы два разных предела. Можно, однако, получить две машины времени похожие на MP , если проделать всё описанное выше, стартовав не с P или P0 , а спараллелограмма, вырезаемого в S одним из условий: −π/2 < u < 0 или −π/2 < v < 0.n◦ 3Некоторые глобальные эффектыИ пространство Минковского, и пространство де Ситтера статичны, однако хирургия, с помощью которой мы получали из них соответствующие машины време-— 111 —ни, нарушает эту симметрию.

Как следствие, полученные пространства приобретают любопытное свойство (характерное для «локально статических» пространств, см.2. § 1 n◦ 1): каждая односвязная область в них статична, а пространство-время в целом— нет. «Меняющимися во времени» в пространствах этого рода оказываются некоторые их глобальные свойства (например, появляются замкнутые причинные кривые[73]). Такое необычное поведение геометрии приводит к интересным последствиям.В частности, довольно неожиданным образом проявляются в пространстве Мизнера законы сохранения. Рассмотрим, например, свободно падающего наблюдателяλ(ξ), который встречает один и тот же фотон γ(ζ) дважды — в s1 ⇋ λ(ξ1 ) = γ(ζ1 ) и вs2 ⇋ λ(ξ2 ) = γ(ζ2 ), см.

рисунок 1б. Здесь ζ и ξ — некоторые аффинные параметры. Измеряя энергию фотона ε, наблюдатель получит значенияεi = c1M (ui , v i ),ui ⇋ ∂ζ (si ),v i ⇋ ∂ξ (si ),i = 1, 2(c в этом выражении — константа подходящей размерности, а 1M — метрика). В промежутке между измерениями и фотон, и наблюдатель двигаются равномерно в плоскомпространстве-времени, так что можно было бы наивно ожидать, что ε2 окажется равной ε1 . Это, однако, не так. Энергия фотона во вторую встречу больше — в κ−1 раз —чем в первую.Доказательство. Выберем в A точку s̃1 = π−1 (s1 ), и пусть γ̃(ζ) и λ̃(ξ) будут (для проекции π) прообразами, соответственно, γ(ζ) и λ(ξ), проходящими через s̃1 .

Для определённости будем считать, что γ̃ — это «горизонтальная» геодезическая α = const.Далее, полный прообраз π−1 (s2 ) состоит из бесконечного числа точек, нам понадобятся две из них:s̃2 ⇋ γ̃(ζ2 )иs̃02 = λ̃(ξ2 ) = $(s̃2 ),см. рисунок 1a.

При отображении π векторы касательные в s̃1 к γ̃(ζ) и λ̃(ξ) — обозначимпервый через ũ1 , а второй через ṽ 1 — спроектируются на u1 и v 1 , соответственно.Таким образом,ε1 = c1A (ũ1 , ṽ 1 ) = −cũ1 β 3̃1 α .В точке s̃02 прообразы λ и γ тоже пересекаются, и мы сейчас выразим ε2 через произведение векторов ũ02 и ṽ 02 , то есть векторов скорости в s̃02 , соответственно, геодезическихγ̃0 ⇋ $(γ̃) и λ̃. В качестве вспомогательного нам ещё понадобится вектор ũ2 скорости γ̃в s̃2 .Очевидно, что в координатном базисе компоненты вектора скорости любой геодезической в пространстве (3) неизменны. Поэтому3̃02 σ = 3̃1 σ ,ũ2 σ = ũ1 σ ,σ = α, β.— 112 —Кроме того, γ̃ и γ̃0 — прообразы одной и той же геодезической.

Значит, если γ̃(ζ)удовлетворяет уравнению β = c1 ζ, то уравнением γ̃0 (ζ) будет κ−1 β = c1 ζ. Поэтому ũ02 β =dβ/dζ = κ−1 ũ2 β . Комбинируя это соотношение с предыдущим, получимε2 = c1A (ũ02 , ṽ 02 ) = −cũ02 β 3̃02 α = −cκ−1 ũ2 β 3̃1 α = −cκ−1 ũ1 β 3̃1 α = κ−1 ε1 .Итак, мы обнаружили, что в пространстве Мизнера есть «опасные» светоподобные геодезические — свободно падающий наблюдатель, перед тем, как пересечь горизонт Коши, бесконечное число раз встречается с такой геодезической, причём энергияфотона, для которого она является мировой линией, экспоненциально растёт. Такиеже геодезические есть и в де ситтеровской машине времени, и, на самом деле, как мыувидим в § 4, в довольно широком классе машин времени.Рассмотрим теперь волновое уравнение f = 0 в (анти-) де ситтеровской машиневремени.

Для этого определим на P функцию f˜ = f ◦ π. Так как π — локально — изометрия, f˜ тоже удовлетворяет уравнению f˜ = 0, то есть∂α ∂β f˜ = 0.(10)Очевидно, f˜ есть сумма двух произвольных функций — одна от α, другая от β:f˜ = a(α) + b(β).Из определения f˜ следует, чтоa(κα) + b(κ−1 β) = a(α) + b(β),а значит,κ∂α a(κα) = ∂α a(α),κ−1 ∂β b(κ−1 β) = ∂β b(β).Поэтому, если в какой-то точке (α0 , β0 ) производная f ,α или f ,β отлична от нуля, тоf ,α (p−m ) [или соответственно, f ,β (qm )] расходится при m → ∞ (точки p−m и qm определеныв (9) и показаны на рисунке 2б).

Но последовательности p−m и qm сходятся при m → ∞ кнекоторым точкам P. Итак, мы заключаем, что среди функций, определённых на всёмMP волновое уравнение имеет только постоянные решения.§3Кротовые норы как машины времениРассмотрим кротовую нору достаточно короткую и узкую для того, чтобы адекватно моделироваться пространством, обсуждавшимся в 3. § 2 n◦ 2. На сей раз, однако,мы выберем кривую α(t), определяющую движение одного из входов в кротовину,— 113 —(а)(б)Рис. 3: Кротовая нора, превращающаяся в машину времени.

а) Пунктирными линиямисоединены отождествлённые точки (так что каждая такая линия, на самом деле — петля). Часть пространства-времени, ограниченная сверху горизонтом Коши, глобальногиперболична. б) Сечение рассматриваемой кротовины плоскостью y = z = 0. Тонкиенаклонные линии — геодезическая γ.специальным образом. А именно, мы потребуем, чтобы расстояние d(t) между входами с некоторого момента начинало уменьшаться. Заметим, что при этом «скачокво времени», то есть разность t( f ) − t(40 ), где f — проход корабля через правое (двигавшееся) устье, а 40 — появление из левого, продолжает расти, см.

замечание 3.11.Это, напомним, естественное следствие парадокса близнецов, так как мы связали скаждым из входов часы и отождествляем точки не с одинаковыми t, а с одинаковыми τ, где τ — показания этих часов. Итак, когда d(t) становится достаточно малым,то есть входы оказываются достаточно близко друг от друга — это происходит после↔пересечения кротовиной некоторой критической 3-поверхности — положительность Tнарушается (корабль теперь возвращается на Землю раньше, чем стартовал с неё),и в пространстве-времени появляются замкнутые причинные кривые [133]: путешественник, прошедший через горловину справа налево теперь может встретиться с самим собой (событие o на рисунке 3а). Поскольку пространство-время эволюционируетиз глобально гиперболической начальной области, то в соответствии с определением,предложенным в § 1 мы должны признать его машиной времени, а упомянутую вышеповерхность — горизонтом Коши.Важность такой машины времени заключается в том, что она выглядит наибо-— 114 —лее «реалистичной».

Хотя кротовые норы и кажутся сегодня чем-то экзотическим,они, возможно, всё же существуют (или существовали, см. главу 8) в природе. Иестественно предположить, что их входы как-то двигаются относительно друг друга.Поэтому идея, что Вселенная потеряла (или когда-нибудь потеряет) глобальную гиперболичность в следствие только что описанного механизма (или за счёт движенияодной кротовины относительно другой [132]), вовсе не выглядит искусственной.Рассмотрим геодезическую γ, которая испущена где-то между входами [то естьпри y(0) = z(0) = 0] и направлена вправо. Она достигает некоторой p01 ∈ Σ0 , или, что тоже самое, соответствующей p2 ∈ Σ.

Характеристики

Список файлов диссертации