Диссертация (1145314), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Эволюционируя, этаповерхность — в топологии её назвали бы «ручкой» — и породит искомую кротовуюнору W . Она называется внутримировой (intra-universe [161]), и из всех пространстввремён, построенных до сих пор в этом параграфе, единственное удовлетворяет определению лаза (если горловина не слишком длинна).

Особый интерес представляютвнутримировые кротовые норы (то есть пространства, похожие на только что описанное) с меняющимся расстоянием между входами. Такие пространства-времена, какмы увидим, не всегда допускают (3+1)-расщепление, поэтому описание придётся модифицировать.Удалим из пространстве Минковского два открытых цилиндра C и C0 , ограниченных при каждом t сферами (вместо шаров можно было бы взять полноторие, крендель— любое удобное трёхмерное множество, а вместо пространства Минковского любое— 87 —(а)(б)Рис. 3: Сечения внутримировой кротовой норы.

(а) Сечение t = const, ϕ = const — этопросто плоскость с ручкой. В сущности, это та же поверхность, что и на рисунке 1б.(б) Сечение z = const. В действительности λ — непрерывная кривая, а серая линия pp0— замкнутая геодезическая.другое асимптотически плоское пространство-время)Σt ⇋ {p :x2 (p) + y2 (p) + z2 (p) = c2 },Σt0 ⇋ {p :[x(p) − d(t)]2 + y2 (p) + z2 (p) = c2 },иd(t) ⇋ x[α(t)],где α(t) — времениподобная кривая, см. рисунок 3б. Если бы мы теперь просто склеилиграницы полученных цилиндрических дыр, то получили бы пространство с кротовойнорой, одно из устий которой движется относительно другой (по закону, определяемому кривой α).

Это пространство, однако, не было бы гладким: в месте склейки первыепроизводные метрики претерпевают разрыв. Поэтому на заключительном этапе построения нужно «разгладить шов», то есть аппроксимировать метрику гладкой. Ноесли мы считаем горловину пренебрежимо короткой и узкой (как устье кротовиныможет двигаться не нарушая формы горловины понятно из рисунка 5а), есть болеепростой путь. Мы смоделируем обсуждаемую кротовину, добавив к построенному «дырявому» пространству L4 −C −C0 подходящие правила продолжения гладких кривых,см. рисунок 4. А именно, мы потребуем, чтобы всякая гладкая кривая, достигшая точки p ∈ Σt и имеющая в ней 4-скорость v, выходила со скоростью v 0 из точки p0 ∈ Σt0 0 в— 88 —Рис.

4: Из горловины ориентируемой сферически симметричной кротовины кривая выходит в точке, получающейся из точки входа трансляцией (которая переводит «входную» сферу в «выходную») и отражением относительно некоторого «нулевого меридиана». Его расположение определяется свободными параметрами, характеризующимикротовину.соответствии с правиломτ(p0 ) = τ(p) + cτ ,3t = 30t 0 ,3ϑ = 30 ϑ0 ,ϑ0 (p0 ) = ϑ(p),3r = −30 r0 ,ϕ0 (p0 ) = −ϕ(p),3ϕ = −30 ϕ0 ,(5)где r, ϑ и ϕ — стандартные полярные координаты в окрестности Σt , а r0 , ϑ0 и ϕ0 — координаты в окрестности Σt0 0 , индуцируемые какой-нибудь изометрией ψ, переводящейпервую окрестность во вторую.

cτ — некоторая константа, а через τ(p(0) ) обозначена(лоренцева) длина участка цилиндра C(0) , заключённого между плоскостью t = t0 и событием p(0)τ(p) ⇋ t(p),τ(p0 ) ⇋Zt(p0 ) p1 − d˙2 dt˘,(6)t0где точка — производная по t˘. Иначе говоря, это время от момента t = t0 до собы(0)тия p(0) ∈ Σt (0) , измеренное наблюдателем, покоящимся относительно соответствующеговхода (чтобы не уточнять, в какой именно точке Σ(0) находится наблюдатель, мы ипотребовали узости моделируемой кротовины).Приведённое описание W страдает важной неоднозначностью.

Грубо говоря, перед тем, как приклеить Ċ к Ċ0 его можно сдвинуть по времени и/или повернуть, точнокак в двумерном случае, см. замечание 3. В терминах правила (5) это выражается впроизвольности cτ и ψ. Последняя определена лишь с точностью до поворота, отображающего Σt0 0 в себя и инверсии. Итак, даже простейшая внутримировая кротоваянора W — у неё d = const, она статична и плоска снаружи от некоторого компактного— 89 —(в пространственных направлениях) множества — обладает большим числом варьируемых параметров: помимо размеров и формы горловины, это расстояние d междуустьями кротовины, сдвиг cτ и три угла, задающих взаимную ориентацию этих устий.Подчеркнём, что последние четыре являются глобальными характеристиками.

Кротовины с разными значениями этих параметров существенно отличаются — достаточносказать, что величина cτ определяет, причинна ли соответствующая кротовая нора— но эту разницу нельзя установить ни в каких экспериментах, где важны толькоодносвязные области пространства-времени. Этим же свойством обладает и разницамежду внутри- и межмировыми кротовинами.Ещё одна важная характеристика кротовых нор — «проходимость».

Дело в том,что в ходе эволюции горловина может «разорваться», причём так быстро, что всякийнаблюдатель, пытающийся воспользоваться ею и попасть из одной области в другую,связанную горловиной с первою, попадает вместо этого в сингулярность. Иначе говоря,области по разные стороны горловины могут оказаться причинно несвязанным или, вовсяком случае, не связанными причинными кривыми, проходящими через горловину.Такие кротовины называют непроходимыми в отличие от проходимых (traversable), вкоторых горловину пересекают и причинные кривые.

Типичным примером непроходимой кротовины служит пространство Шварцшильда (краткое его рассмотрение естьв 8. n◦ 1, подробное — в [74] и [13, §31.6]), а проходимой — статическая кротовина (4).Из всех лазов кротовые норы изучены наиболее полно (обзор по состоянию на1994 г. можно найти в [161]). Это связано с тем, что они интересны далеко не тольков связи с темами, обсуждаемыми в данной работе. Например, кротовины напрямуюсвязаны с фундаментальнейшим вопросом о топологии Вселенной. Вся ОТО построенана идее, что нет какой-то «естественной», «предпочтительной» геометрии Вселенной.Какова эта геометрия, следует выяснять на основе экспериментов и/или расчётов.Казалось бы, то же самое можно сказать и о топологии.

Однако, как ни странно, досих пор нет никаких убедительных оснований усомниться в том, что топологическиВселенная — просто R4 (пресловутая «квантовая пена» — это, конечно же, не более,чем метафора). Другая загадка, к решению которой могут быть причастны кротовыеноры — это проблема электрического заряда. С тех пор, как гравитация была объяснена в геометрических терминах, было предпринято много попыток сделать то же ис электромагнетизмом.

Время от времени на этом пути удаётся получить свободныеуравнения Максвелла, но заряд остаётся серьёзным препятствием. В высшей степени элегантное решение было предложено Уилером [168, 169]. Представим свободноеэлектростатическое поле, силовые линии которого входят в одно отверстие кротовойноры и выходят из другого, как на рисунке 3а.

Такое поле описывалось бы уравнениями Максвелла с нулевой правой частью. Однако для удалённого наблюдателя входыв кротовую нору выглядели бы, как (разноимённые) заряды. В частности, поток череззамкнутую поверхность «ограничивающую» вход в кротовину (разумеется, это толь-— 90 —ко кажется, что она его ограничивает, границей области является совокупность двухсфер — по одной вокруг каждого из входов), будет ненулевым. И так возникает соблазнпредположить, что заряда как «субстанции» вообще не существует, а все заряженныеэлементарные частицы суть устья кротовин. К сожалению, на сегодняшнем уровнезнаний о кротовинах всерьёз обсуждать это предположение невозможно.9.

Замечание. На самом деле, несмотря на некоторое сходство с зарядом, кротоваянора по своим электростатическим свойствам, может всё же существенно отличатьсяот него. Дело в том, что1) заряд не только создаёт электрическое поле, отклоняющее другие заряды, но исам отклоняется таким полем. Почему бы такое происходило с кротовой норой, можнотолько фантазировать;2) искривление пространства приводит к тому, что пробный заряд, даже находящийсядалеко от горловины, в плоской области кротовины W , испытывает нетривиальноесамодействие, см. A. § 1.

В результате, сила, действующая на этот пробный заряд,отличается от кулоновской.Веских экспериментальных или наблюдательных свидетельств за или противсуществования кротовых нор на сегодня, насколько мне известно, не получено. Единственное — и необременительное — ограничение основано на идее, что кротовина может необычным образом линзировать излучение от квазаров, см. [55], [155] и цитируемые там источники, и порождать таким образом гамма-вспышки с ненаблюдавшимисядо сих пор характеристиками [158] или, тоже ненаблюдавшиеся, двойные изображенияупомянутых квазаров [155].

Поэтому проблема (не)существования кротовин являетсяпока чисто теоретической. Её можно разбить на две. Во-первых, может ли вообще кротовая нора возникнуть (речь идёт о классическом процессе; квантовый сценарий см.[33])? Из предложения 1.47(в) следует, что в глобально гиперболическом пространственовые кротовые норы могут появляться во вселенной только за счёт потери ею глобальной гиперболичности. Но даже и это условие является только необходимым длявозникновения кротовины.

Характеристики

Список файлов диссертации