Диссертация (1145314), страница 20
Текст из файла (страница 20)
О достаточном же судить трудно, поскольку законы эволюции неглобально гиперболических пространств неизвестны, см. обсуждение в 2. § 3.Второй вопрос состоит в том, может ли проходимая кротовая удерживаться отколлапса реалистической материей. Первые модели проходимых кротовых нор [61, 42]были весьма экзотическими. И это не случайно: позже было показано [132], что привыполнении уравнений Эйнштейна материя в горловине статической сферически симметричной кротовой норы неизбежно является экзотической.
Под этим понимается (иотныне мы будем употреблять это слово, как термин, вкладывая в него, вслед заМоррисом и Торном [132], именно этот смысл), что она нарушает слабое энергетическое условие. Весьма общий довод в пользу того, что такая материя необходима длялюбых кротовин, был выдвинут Пэйджем, см. замечание в разделе F2 работы [132].— 91 —Рассмотрим сферу Ξ очень большого радиуса вокруг одного из входов в кротовину.В некоторый момент из каждой точки p этой сферы испустим перпендикулярно ейпо светоподобному лучу γ p , направленному внутрь. Очевидно, в начальный моментрасхождение θ полученного пучка геодезических, мы обсуждали его в 2.
§ 1 n◦ 2, будет отрицательным, (если только пространство не расширяется чрезвычайно быстро,см. ниже). Однако после того, как пучок пересечёт горловину, оно — столь же очевидно— станет положительным — геодезические начнут расходиться. Таким образом, естьтолько две возможности:1. θ обращается в −∞ в некоторой точке p∗ ∈ γ p каждой геодезической, котораяпроходит сквозь кротовую нору. Соответственно, любая точка этой геодезической, лежащая за p∗ , может быть достигнута с Ξ по времениподобной кривой, этоследствие предложения 4.5.14 в [27], см. абзац, следующий за предложением 2.6;2.
при движении вдоль γ p в будущее θ в каких-то точках окажется растущей.Первый вариант определённо не может реализоваться в простом случае кротовинМорриса–Торна, где радиальные геодезические за отсутствием «центра» никогда между собой не пересекаются и, следовательно, θ остаётся локально ограниченной.
В болеесложных кротовинах естественно ожидать, что на некоторых γ p есть точки сопряжённые Ξ. Однако, чтобы такие точки нашлись на каждой из рассматриваемых геодезических, то есть чтобы каждую из них на пути к бесконечности обгоняла какая-тодругая (из того же пучка), пространство, очевидно, должно быть достаточно патологическим. В то же время, вторая возможность может быть реализована только ценойнарушения СЭУ, см. (2.4). Легко, например, проверить, что в пространстве из примера 8 СЭУ нарушается в каждой точке. Отсюда естественно вытекает10. Гипотеза.
Если в достаточно регулярном пространстве-времени выполняется СЭУ,то в нём не может быть проходимых кротовых нор.Разумеется, наши рассуждения были не слишком строгими, и они не проясняют тонкий вопрос о том, какие пространства можно считать «достаточно регулярными».Минимальные требования должны, по-видимому, включать глобальную гиперболичность. Действительно, отказ от неё позволяет найти много пространств, которые можно было бы отнести к проходимым кротовинам и в которых, тем не менее, слабоеэнергетическое условие выполняется (это и пространство Керра, и «диэдральные» кротовины [161], и пространства типа рассмотренных в 4. § 5).
Одной глобальной гиперболичности, однако, для справедливости гипотезы определённо недостаточно. Например,пространство, найденное в [124], удовлетворяет и этому требованию, и СЭУ. При этомоно содержит кротовую нору (эта нора раздувается настолько быстро, что даже у входящих в неё радиальных светоподобных геодезических расхождение положительно,— 92 —ср. [120]). Фридман, Шляйх и Витт сформулировали теорему [71], называемую «Топологической цензурой», в соответствии с которой, пространству с кротовой норойдля гарантированного нарушения СЭУ достаточно быть глобально гиперболическим иасимптотически плоским (последнее является термином; его точное значение можнопосмотреть в [79]). Теорема, однако, осталась недоказанной [115].Конечно, можно надеяться, что когда-нибудь будет открыта материя, нарушающая СЭУ (это могла бы быть, например, «тёмная энергия»), но обычно считают, чтоклассическая материя ему всё же подчиняется.
А тогда из приведённых рассужденийполучается, что предотвратить быстрый коллапс кротовой норы и сделать её, такимобразом, проходимой могут только квантовые эффекты. Эту возможность мы обсуждаем во второй части диссертации.n◦ 2Кротовые норы как средство передвиженияРассмотрим короткую проходимую — скажем, статическую — кротовую нору.Допустим один из входов находится вблизи Земли, а другой — вблизи Денеба. Времяполёта через горловину к Денебу t( f ) − t(s) ≈ cτ , см. (5), или обратно t(40 ) − t( f ) ≈ −cτбудет меньше, чем предполагаемое расстояние d от Земли до Денеба, и, следовательно,эта нора — лаз. Причём лаз весьма эффективный, поскольку независимо от d и cτ↔полное время путешествия T ≈ cτ − cτ = 0.
«Световой барьер» в виде неравенства (1)удаётся в этом случае обойти за счёт того, что настоящее расстояние до пунктаназначения много меньше d.Но есть у такого лаза, с точки зрения межзвёздных путешествий, и существенный недостаток: кажется маловероятным, что мы всегда сможем найти кротовую нору, которая вела бы в нужное нам место. Обсудим поэтому возможность перемещениявыхода из кротовины, считая, что создать (или найти) короткую внутримировую кротовую нору с cτ = 0 и обоими входами вблизи Земли всё же более вероятно.
Перелёттогда мог бы выглядеть так: космонавт отбывает к Денебу на «обычном» космическом корабле и летит по прямой, буксируя одно из устий за собой, см. рисунок 5б.Устье перемещается так осторожно, что горловина остаётся короткой, а наше описание адекватным. Корабль движется с субсветовой скоростью, и хотя по земным часамполёт занимает t( f ) −t(s) ≈ 1500 лет, собственное время τ( f ), затраченное на него, мало́— скажем, один год. Так что, когда путешественник возвращается на Землю черезрассматриваемую кротовую нору, выясняется, что вся экспедиция заняла↔T ⇋ t(40 ) − t(s) = τ(40 ) = τ( f ) − cτ = τ( f ) ≈ 1 год.(7)Проблему светового барьера такой способ путешествия, по-видимому, решает, хотя ивыглядит, достаточно необычно: корабль возвращается на полторы тысячи лет раньше,чем достигает цели.— 93 —f56T15(а)(б)Рис.
5: а) Два последовательных пространственноподобных сечения пространствавремени с кротовиной, у которой один из входов движется относительно другого. Форма «ручки» не меняется, но расстояние между её концами во «внешнем пространстве»растёт. б) На обратном пути корабль ныряет в кротовину около Денеба в 3511 году и,в соответствии с правилом (5), появляется из неё около Земли в 2012 году, то есть на↔T = τ( f ) ≈ 1 год позже, чем стартовал с неё.Это, однако, не путешествие во времени. Грубо говоря «прыжок во времени»сопровождается здесь «прыжком в пространстве» и последний больше первого.
Действительно, даже если кротовиной для возвращения на Землю воспользуется в точкеf корабль, стартовавший с Земли в s̃ s (это возможно, так как устье буксировалосьхотя и быстро, но всё же медленнее света и только вдоль прямой Земля–Денеб), онвернётся через↔T = t(40 ) − t(s̃) > t(40 ) − {t( f ) − d[t( f )]} =Z t( f ) pZ t( f ) p2˙1 − d dt˘ − t( f ) + d[t( f )] =1 − d˙2 − 1 + d˙ dt˘ =t(s) +t(s)t(s)Z=t( f ) p1 − d˙pp1 + d˙ − 1 − d˙ dt˘, (8)t(s)где неравенство выражает просто тот факт, что в сторону Денеба корабль долженбыл вылететь раньше, чем фотон, который прибудет к цели одновременно с ним.
Следующее за ним равенство получено подстановкой выражения (6) в условие сшивкиt(40 ) = t(s) + τ( f ), см. (5).↔Оценка (8) показывает, что T , положительное в начале пути, может впервые обратиться в ноль только при d˙ < 0, то есть в момент, когда буксируемое устье движетсяк Земле. В нашем сценарии такого момента нет и, как следствие, корабль всегда возвращается позже, чем стартовал, то есть причинность не нарушается.— 94 —pR t( f )11.
Замечание. Добавка t( f ) − t(40 ) = t(s) 1 − 1 − d˙2 ) dt˘ — это время по земным часам,затраченное кораблём на пролёт сквозь кротовую нору. Как мы видим, оно всегда отрицательно (в сущности, это парадокс близнецов). При использовании наивной формулыT = S/v мы должны были бы заключить, что на обратном пути корабль преодолеваетотрицательное расстояние.Отметим, что для достижения такого эффекта нам, разумеется, совершенно не обязательно было перемещать устья кротовины. Роль этого перемещения сводится просток созданию кротовой норы с cτ положительным но меньшим, чем d (очевидно, что дляперелёта Денеб–Земля без нарушения причинности оптимально cτ = d − 0).Предложенный способ путешествия выглядит таким простым потому, конечноже, что мы обошли все сложные вопросы.
Один из них — как именно можно заставитьустье кротовины двигаться? Дело в том, что этот объект ни в коем случае не является телом. В него, например, не имело бы смысла бросать камни. Они пролетали бысквозь горловину, но кротовина при этом не меняла бы своей формы, и устье не сдвигалось с места. Так же бессмысленно было бы пытаться буксировать его с помощьюверёвки, см. рисунок 5а — верёвка просто натянется вдоль подходящей геодезической, и все усилия будут уходить не на сдвигание кротовины, а на натяжение верёвки.Можно попробовать «подманивать» устье к себе [133], поднося к нему что-нибудь массивное (астероид, скажем), но, опять же, нет ни малейших оснований считать, чтоустье поведёт себя в этой ситуации, как некое «тело», и ускорится по направлению ктяготеющему центру.§3«Деформационные перемещения»Как кротовина получается обобщением на четырёхмерный случай 2-поверхности,изображённой на рисунке 1б, так же можно получить лаз, умножив на L2 и поверхность с рисунка 1а (или, точнее, из примера 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
