Диссертация (1145314), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В этом смыслелюбое такое пространство-время можно назвать машиной времени. Исторически пер-— 100 —выми пространствами-временами, которые так называли, были пространства Гёделя,см. раздел 5.7 в [27], и Ван Штокума [160]. Однако, на самом деле, неизмеримо болеепростое пространство — цилиндр CM из примера 1.38 — является ничуть не худшеймоделью машины времени, чем эти две. Действительно, обычно к достоинствам упомянутых вселенных относят то, что они являются решениями уравнений Эйнштейнас «реалистичным» источником и что в них нет сингулярностей.
Но это верно (и дажев большей степени) и в отношении CM .íБудем называть пространства такого типа, то есть такие, что M = M, вечными машинами времени. Возможно ли, что наша Вселенная является вечной машинойвремени? С одной стороны, полностью исключать такую возможность, наверно, ещенельзя. Например, представляется всё еще возможным, что сегодняшнее расширениеВселенной сменится со временем сжатием [167]. Тогда соблазнительно отождествитьначальную и конечную сингулярности и получить (если удастся как-нибудь эту сингулярность разрешить) вечную машину времени. С другой стороны, нет никаких свидетельств и в пользу такого сценария. Как ни странно, такая неопределенность вполнеможет оказаться разрешимой.
Действительно, причинные петли, которые сразу приходят на ум (такие, например, как мировая линия частицы, покоящейся относительнокосмологической жидкости), огромны. Однако само их существование автоматически означает существование и более коротких петель. На самом деле должны существовать сколь угодно короткие (в смысле лоренцевой длины) замкнутые причинныекривые, так как «большие» петли всегда можно аппроксимировать светоподобнымиломаными.
Что наводит на мысль о возможном влиянии нарушения причинности вкосмологическом масштабе на «лабораторную» физику. К сожалению, роль экспериментатора, даже если это так, будет пассивной — если Вселенная сейчас не являетсявечной машиной времени, то и никогда не сможет ею стать.Интереснее, как кажется, те пространства-времена, в которых область нарушеíния причинности M лежит к будущему от некоего достаточно регулярного множестваM r . Для определенности мы потребуем, чтобы пространство-времяí M r ⇋ M − Cl I + ( M )было внутренне глобально гиперболично.(1)то есть, чтобы до появления замкнутых причинных кривых пространство-время имело «насколько только можно хорошую» причинную структуру. Примером такого пространства-времени является пространство ДП. Заметим, что M r(а) является множеством прошлого;(б) причинно выпукло по предложению 1.33(а);(в) глобально гиперболично по предложению 1.43.— 101 —Если существование такого типа пространств-времён не исключается какиминибудь законами физики, или, хотя бы, экспериментом, то можно вообразить, чтота область Вселенной, в которой мы сейчас живём, как раз и есть M r , то есть частьВселенной, предшествующая появлению машины времени.
В таком случае, Вселеннаяпока предсказуема и причинна, ср. 2. § 3, но потеряет оба эти свойства в будущем.í1. Определение. Нерасширяемое пространство-время M, в котором M непусто и удоíвлетворяет (1), а также связные компоненты таких M мы и будем отныне называтьмашинами времени (или возникающими — в отличие от упоминавшихся выше вечных— машинами времени).Важной частью машины времени является очевидно, граница области M r , то естьмомент, когда пространство-время теряет свои «хорошие» причинные свойства.
Насамом деле сегодня практически всё изучение машин времени сводится к изучениюименно этой границы.2. Предложение. Граница M r является её будущим горизонтом КошиBd M r = H+ (M r ).Доказательство. Выберем в M r пространственноподобную поверхность Коши S (онасуществует там в силу предложения 1.48).1. Докажем сначала, что D(S) — открытое множество. Заметим для этого, что S, будучи ахрональна в M r ⊂ M, ахрональна и во всем M тоже (действительно, причиннаякривая, испущенная из точки на S, не может снова попасть в неё, не покинув M r ,но покинув последнюю, она не сможет вернуться в неё (а значит, и пересечь S), таккак M r причинно выпукло, см.
свойство (б) выше. Открытость D(S) следует теперь изпредложения 1.50.2. Установим далее, чтоM r = D(S)(2)Включение M r ⊂ D(S), как уже отмечалось сразу за предложением 1.50, очевидно.Предположим теперь, что обратное включение не имеет места, то есть что в D(S) найí дётся точка p, принадлежащая Cl I + ( M ) . Тогда (вспомним, что D(S) открыто) должнабудет найтись и точка p0 ∈ D(S) ∩ I + ( M ). А это невозможно, так как, двигаясь по времениподобной кривой α из p0 в прошлое, мы могли бы тогда достичь точки, через которуюííпроходит замкнутая причинная кривая `.
Кривая α ◦ `, очевидно, лежит в I + ( M ) целиком, см. предложение 1.20(г) и, значит никогда не пересечёт S вопреки определениюD(S). Противоречие.3. Из (2) в свою очередь следует всё предложение, так как D(S) (раз уж он совпадает— 102 —с M r ) является множеством прошлого и значит второй член в правой части (1.17) непересекается с первым (и может, таким образом, быть опущен).3.
Предложение. В обозначениях предложения 2 поверхность S замкнута в M.Доказательство. Проведем непродолжимую времениподобную кривую λ через точкуp ∈ ClM S. С одной стороны, эта кривая содержит в своём хронологическом будущемнекоторую окрестность p, а значит, и некоторые точки S ⊂ M r . Но M r — множествопрошлого, а это подразумевает, что и сама λ имеет точки в M r . Отсюда (так как λвремениподобна) следует, что λ обязана пересечь S, причём в единственной точке,обозначим её p0 . Если p0 6= p, то p ∈ I + (p0 )∪I − (p0 ) (раз они соединены времениподобной λ),а значит, и какая-нибудь q ∈ S тоже должна лежать в I + (p0 ) ∪ I − (p0 ).
Но этого не можетбыть, поскольку S, как было показано при доказательстве предложения 2, ахрональнав M. Следовательно, p0 = p, а это означает, в частности, что p ∈ S.Из предложений 1.52, 2, 3 и следствия 1.53 немедленно получаем4. Следствие. Граница машины времени есть замкнутая ахрональная гиперповерхность, порождённая непродолжимыми в прошлое светоподобными геодезическими.которые могут пересекаться только в будущих конечных точках. Точки границы причинно связаны, когда и только когда они лежат на одной образующей.Из рассмотренных до сих пор пространств-времён, только пространство ДойчаПолитцера является машиной времени.
Но его топология весьма нетривиальна, оносодержит «дыры» в углах, и т. д., см. стр. 46. Порождаемое этим ощущение, что машина времени — атрибут каких-то очень уж патологических пространств, обманчиво.Убедимся, что она получается даже «лёгкой деформацией» сколь угодно «заурядного»пространства.5. Пример. Введём цилиндрические координаты t, z, ρ, ϕ в евклидовом пространстве(R4 , ε) и покроем его областями U и K, определёнными неравенствамиp1K : 0 6 χ2 < 12 ,где χ ⇋ t 2 + z2 + (ρ − 1)2 .U : χ2 > ,4(Таким образом, K — это появляющееся на некоторое время полноторие вокруг окружности`:t = z = 0,ρ = 1,которое «раздувается» до максимальной толщины к моменту t = 0, а U — это несколькорасширенное дополнение к K).
Далее, определим векторное поле v равенствомv = U ∂t + K ∂ϕ ,— 103 —где {U , K } — разбиение единицы для покрытия {U, K}. Очевидно, пространство-время(R4 , 1) сgab ⇋ εab − 23a 3b ,ср. (1.11а), снаружи от K, то есть в области с K = 0 и U = 1, будет пространствомМинковского. Однако внутри K появятся замкнутые причинные кривые1) : например,окружность `.§2Машины времени мизнеровского типаn◦ 1Пространство МизнераРассмотрим обычный двумерный плоский конус M. Нам удобно представить его,как результат вырезания из плоскости (x0 , x1 ) сектора W , ограниченного лучами ν1,2ν1 : x0 = ax1 ,и ν2 : x0 = bx1 ,где x0 < 0,|a|, |b| > 1,и последующего склеивания, см.
1. § 6, этих лучей. Оказывается, свойства этого конусасильно зависят от сигнатуры метрики. Если метрика исходной плоскости естьds2 = −dx02 + dx12 = −dαdβα ⇋ x0 − x1 ,β ⇋ x0 + x1 ,(3)то геометрия пространства-времени M, которое в этом случае называется пространством Мизнера становится весьма необычной. Её мы и рассматриваем в этом пункте.Для наших целей пространство Мизнера удобно представить в виде цилиндра.Рассмотрим бустq,$ : (α, β) 7→ (κα, κ−1 β), κ ⇋ (a+1)(b−1)(a−1)(b+1)отображающий квадрант QIII : α, β < 0 на себя, см.
рисунок 1, а ν1 на ν2 . Параметр κбудем считать меньшим единицы, что (скоро это станет совсем очевидным) не ведёт кпотери общности. Теперь M можно определить, как пространство, которое получаетсяфакторизацией QIII по группе изометрий, порождённой $ (ср. стр. 47):M ⇋ QIII /G,G = . . . $−1 , id, $, $2 . . . ;(4)(так оно и определяется, например, в [27]), то есть как пространствоds2 = t −1 dt 2 − tdψ21)t < 0,ψ = ψ + 2 ln κ,(5)Получившееся пространство — это, в сущности, вариант машины времени, предложенной в качествепримера в [85].— 104 —где t и ψ — это координаты на M, индуцированные канонической проекцией π : QIII → M.t(π(p)) = − 14 α(p)β(p),∀p ∈ QIIIψ(π(p)) = lnα(p)β(p)mod 2 ln κ.Записанное в виде (5), пространство Мизнера ассоциируется, скорее, с цилиндром, чем с конусом без вершины.
Развивая эту картину, заметим, что фундаментальная область определяется неоднозначно. И в представлении (4), мы можем выбратьфундаментальной областью не сектор W , а например, полосу, ограниченную светоподобными геодезическими β = β0 и β = κβ0 , см.
рисунок 1a, то есть получить M, «свернув(а)(б)Рис. 1: В области β < 0 плоскости Минковского (а) отождествляются края вертикальных полос и получается цилиндр (б). В его верхней точки причинность нарушается,а нижняя часть (t < 0) глобально гиперболична. Последняя и есть пространство Мизнера. Его же можно получить из QIII , выбрав в качестве фундаментальной области W(светлосерый сектор). Cветоподобная геодезическая γ пересекается бесконечно многораз со второй образующей светового конуса — осью t.QIII в трубочу».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
