Диссертация (1145314), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Что M можно одновременно представлять и как конус, и как цилиндр,только кажется парадоксальным. Разгадка состоит в том, что в лоренцевом случаепоследовательность окружностей с длинами, стремящимися к нулю, (речь идет в данном случае об окружностях t = const) может сходиться и к точке (к вершине конуса вевклидовом случае), но и к замкнутой светоподобной кривой. Обсуждаемый цилиндрвыглядит несколько проще, если выбрать другую «временну́ю» или «угловую» координаты:τ ⇋ − ln |t|,ψ0 ⇋ ψ − ln |t|.(6)— 105 —С их помощью (5) записывается еще двумя удобными способами:ds2 = e−τ (−dτ2 + dψ2 )τ ∈ R,ψ = ψ + 2 ln κ,(7а)ds2 = −2dtdψ0 − tdψ02t < 0,ψ0 = ψ0 + 2 ln κ.(7б)В пространстве Мизнера выполняется условие причинности. Более того, оноглобально гиперболично (очевидные поверхности Коши, это, например, окружностиτ = const).

Однако это пространство расширяемо (что, конечно, крайне неожиданно,если представлять его себе конусом). В частности, (максимальное, как мы увидимGниже) расширение MA ⇋ A/∼ можно построить заменив везде выше квадрант QIII налевую полуплоскость A ⇋ {p : β(p) < 0}. Преобразование α ↔ β отображает QIII на себя. Поэтому ясно, что, стартовав вместо A с нижней полуплоскости B ⇋ {p : α(p) < 0},мы получили бы пространство MB , которое изометрично MA , но не совпадает с ним(например, некоторые непродолжимые в MA кривые продолжимы в MB и наоборот).Поскольку α принимает на A и нулевые значения, не все из введённых вышекоординат можно распространить на всё MA (например, ψ и τ нельзя), но t и ψ0 можно.В этом случае MA получается заменой в (7б) условия t < 0 на t ∈ R.

ПространствоMA , в отличие от M, уже причинным не является и представляет собой (если мысчитаем будущим направление, в котором t растёт) возникающую машину времени.Перейдя в (7б) к координатам τ, ψ [под τ понимается координата, определённая приt > 0 отношением (6)] можно записать область MA − M в видеds2 = −e−τ (−dτ2 + dψ2 ),τ ∈ R,ψ = ψ + 2 ln κ,что с точностью до конформного множителя e−τ и замены периода с 3 на 2 ln κ естьцилиндр CM из примера 1.38.

Замкнутые причинные кривые проходят через каждуюточку этой области, а отделяется от M она замкнутой светоподобной геодезической `(при отображении π это образ луча α = 0), см. рисунок 1б.Рассмотрим геодезические в машине времени MA . Очевидно (а строго это следуетиз теоремы о накрывающем пути [18]), что каждая такая геодезическая есть проекция некоторой геодезической из полуплоскости A. Последние же либо параллельныоси α (и, следовательно, полны), либо кончаются на ней (разумеется, сами конечныеточки ни A, ни этим геодезическим не принадлежат). Любая геодезическая γA из этоговторого класса очевидно неполна в A, а значит её образ γ = π(γA ) неполон в MA , то естьMA сингулярно (отличие от A состоит в том, что MA , как мы скоро увидим, нерасширяемо, а сингулярность, соответственно, неустранима).

Упомянутая геодезическая γAудовлетворяет уравнению α = cβ + d с c 6= 0, а γ(β), как следствие, уравнениям (β здесьвыступает в роли параметра)t = − 41 β(cβ + d),ψ0 = ln 4 − ln β2 .— 106 —Таким образом, по мере стремления β к нулю γ, делая бесконечно много витков, «наматывается» на окружность `. Произвольная окрестность любой точки этой окружностичастично захватывает γ. Но среди таких окрестностей найдутся и две непересекающихся, а значит γ не может иметь конечной точки ни в MA , ни в каком-либо егорасширении (если таковое вообще существует).

Следовательно, сингулярность в пространстве Мизнера истинна (то есть неустранима). Аналогичные рассуждения можнобыло бы провести и в отношении, скажем, области |t| 6 t0 вместо всего MA . Что приводитнас к ещё одному крайне неожиданному выводу: сингулярности2) могут содержатьсядаже в плоском и компактном районе пространства-времени.Итак, на MA есть три типа геодезических:1. Светоподобные кривые ψ0 = const (образующие цилиндра).

Аффинный параметр(в качестве такового можно взять α) неограничен на них, так что они полны;2. Неполные геодезические бесконечно наматывающиеся на горизонт Коши t = 0.Одни из них остаются при этом в пределах M (или MA − M), другие пересекаютгоризонт Коши, достигают максимального (минимального) t и приближаются кгоризонту сверху (соответственно, снизу). Геодезические последней разновидности, очевидно, имеют самопересечения в M. Это, однако, не противоречит причинности, так как все такие геодезические пространственноподобны.3.

Замкнутая светоподобная геодезическая `. Она тоже неполна (поскольку неполон луч α = 0, β < 0). Так получается из-за того, что (не)полнота — это атрибутгеодезической как отображения R → MA , а не как множества точек в MA , см. замечание 1.6. А параметрическая длина этой окружности становится меньше скаждым витком. Если, например, в качестве (аффинного) параметра на этой геодезической выбрать β, то уже из рис. 1а видно, что в направлении к будущемукаждый виток короче предыдущего в 1/κ раз.Как мы установили, никакую неполную геодезическую в MA нельзя продолжить ни вкаком M̃ ⊃ MA , а значит, по признаку 1.60 пространство-время MA нерасширяемо.n◦ 2(Анти-) де ситтеровская машина времениМашину времени аналогичную мизнеровской (но, что интересно, с другой глобальной структурой) можно получить и из неплоского пространства.

В этом пунктемы построим несколько таких пространств, см. также [73, 98, 119].2)Под которыми в данном случае понимаются множества, полностью захватывающие в будущем, см.определение 1.39, некоторые неполные в будущем геодезические.— 107 —Пусть S — полоса, заданная в некоторых координатах u, v неравенствами −π <u + v < 0. Снабдим её метрикой1:ds2 = − R8 sin−2 (u + v)dudv(8)(свободный параметр мы обозначили R потому, что он равен скалярной кривизне пространства).

Пространство-время (S, 1) называют пространством де Ситтера, если Rположительно. Это пространство-время обладает множеством симметрий и рядом достоинств, которые делают его практически таким же «хорошим», как плоскость Минковского. Отметим, в частности, что оно несингулярно (прямые, ограничивающие Sсоответствуют бесконечностям, а не сингулярностям, см. A. § 3), и глобально гиперболично (это очевидно из рисунка 2а). В случае же R < 0 это пространство называютанти-де ситтеровским (или, иногда, пространством де Ситтера 2-го рода).6. Замечание.

Анти-де ситтеровским иногда называют и пространство локально изометричное тому, что рассматривается здесь, но являющееся гиперболоидом, вложенным в некое вспомогательное плоское пространство. Такой гиперболоид получается из(S, 1) сворачиванием в цилиндр, то есть факторизацией по группе, образуемой некоторым времениподобным сдвигом [а именно, сдвигом в направлении ∂u − ∂v , который,как видно из (8), является изометрией]. Через каждую точку цилиндра, очевидно,проходит замкнутая времениподобная кривая. Это вечная машина времени, и мы еюзаниматься не будем.В области P ⊂ S, определённой неравенством − π2 < u, v <угольник на рисунке 2а), введём координатыα ⇋ tg u,π2(это закрашенный тре-β ⇋ tg v.В этих координатах P — это полуплоскость, ограниченная прямой α = −β, а метрикаприобретает видds2 = − R8 (α + β)−2 dαdβ,и мы обнаруживаем изометрию $κ : P → P, посылающую каждую точку (α, β) в (κα, κβ),где κ — положительный параметр, который мы для определённости будем считатьменьшим единицы.

Действие группы G, порождаемой $κ , свободно м собственно разрывно, см. условия (1.27). Это даёт нам возможность построить пространство-времяMP ⇋ P/G, которое мы и будем называть де Ситтеровской машиной времени. Проекцию P → MP будем, по-прежнему, обозначать π: MP = π(P). Как обычно, MP можноописать и c помощью «кройки и шитья». Для этого рассмотрим окружность радиуса β0на плоскости (α, β) с центром в начале координат. Заметим, что $κ просто «сжимает»эту окружность, то есть отображает каждую её точку в точку с таким же полярным— 108 —(а)(б)Рис. 2: а) S — пространство де Ситтера (1-го или 2-го рода в зависимости от того,какая из стрелок слева внизу времениподобна).

Пространство конформно плоско, иконформный множитель расходится на границе S. б) P — это область α + β < 0. Серое полукольцо — одна из возможных фундаментальных областей. Горизонтальный ивертикальный ряды чёрных кружков изображают, соответственно, pm и qm .углом, но лежащую на окружности радиуса κβ0 . Теперь MP получается вырезаниемиз P полукольца, заключённого между упомянутыми окружностями — это фундаментальная область — и склеиванием внутренней и внешней дуг, ограничивающих его,см. рисунок 2б.Чтобы понять структуру MP , заметим, что в P можно выделить пять подмножеств, которые $κ отображает на себя. Это две полуоси: α = 0 и β = 0, и три разделённых ими области:QIII : α, β < 0,T1 : α > 0,T2 : β > 0.(квадрант и два угла). В каждой из последних определены координатыeη ⇋ ln |αβ|,e ⇋ ln |α/β|.χСоответственно, MP состоит из двух замкнутых светоподобных геодезических `α и `β(образы полуосей α = 0 и β = 0, соответственно) и ограниченных ими областей T1 /G,M ⇋ QIII /G, и T2 /G.

Координаты на них индуцируются проекцией π (ср. координаты tand ψ в пространстве Мизнера):e(p),χ(π(p)) = χη(π(p)) = eη(p)mod 2 ln κ.— 109 —и пространства-времена приобретают видM:ds2 =2 −2 χch[dχ2 − dη2 ],R2η = η + 2 ln κ,χ ∈ R,2 −2 χsh[dη2 − dχ2 ],η = η + 2 ln κ, χ ≶ 0R2(χ → ∓∞ при приближении точки к `α,β ). В каком из этих цилиндров причинность нарушается, а в каком — нет, зависит, очевидно, от того с каким знаком входит член dη2 ,то есть от знака R.

Характеристики

Список файлов диссертации