Диссертация (1145314), страница 27
Текст из файла (страница 27)
А это означает, что последовательность ν̂(υi ) имеет предел и этот предел совпадает с pe , так как соединяетсяс ней геодезической с конечной [это легко следует из (16б)] начальной скоростью инулевой [что видно из (17)] длиной. Тот же результат получится, если мы заменим{υi } любой другой возрастающей последовательностью с тем же пределом5) . Значит,pe , действительно, является будущей конечной точкой ν̂. Более того, доказательствосохраняет силу и при замене {pk } на {γm (lk )}, где lk → lmmax , если pe определить, какбудущую конечную точку ν̂. Отсюда и следует вывод, ради которого проводилось всёрассуждение с начала доказательства: pe служит общей будущей конечной точкойдля всех {γ̂m }.Исследуем аффинные длины геодезических {γm } и {γ̂m }, а точнее, наличие у этихдлин верхней границы.
Для этого введём на каждой из упомянутых геодезическихаффинный параметр s(m) или, соответственно, ŝ(m) , фиксировав его условиямиs(m) (p) = ŝ(m) (pe ) = 0,1(∂υ , ∂s(m) )(p) = 1(∂υ , ∂ŝ(m) )(pe ) = 1(геодезические, таким образом, направлены в прошлое), и обозначим для краткостиLm ⇋ s(m) (qm ), L̂m ⇋ s(m) (q̂m ).
Заметим теперь, что последовательность {Lm } не ограничена,так как в противном случае γ должна была бы при некотором конечном значенииs пройти через точку q ∈ S0 , что невозможно, так как γ не может покинуть H+ . Ноиз неограниченности упомянутой последовательности и очевидного равенства Lm =L̂m вытекает, что не ограничена и последовательность {L̂m }. А значит, ни при какомконечном s геодезическаяγe (ŝ) ⇋ m→∞lim γ̂m (ŝ(m) )ŝ(m) →ŝ5)Пример пространства Мизнера доказывает, что для неглобально гиперболических M e даже это необязательно так.— 122 —не достигнет φ(S0 ) и, как следствие, никогда не покинет компактное множество J − (pe )∩J + φ(L ∩ S0 ) .
А это противоречит, см. предложение 1.40, сильной причинности, см.определение 1.41, пространства M e .n◦ 2Деформация захваченных геодезическихРассмотрим теперь направленную в будущее светоподобную геодезическую γ0 (l) :U → N, где l — это, по-прежнему, параметр длины дуги, N — компактное подмножествоM (например, N и γ0 могут быть, соответственно, L и α из предложения 12), а U —полуось R+ или R− . В дополнение к l введём на γ0 ещё и аффинный параметр s,выбранный так, что вектор скорости η ⇋ ∂s направлен в будущее и s = 0 при l = 0.Теперь γ0 можно охарактеризовать (очевидно отрицательной) функциейh ⇋ ηa τa ,связывающей между собой параметры l и s:dlh=− ,dsZs(l) =l0dl˘˘h(l)(18)dldl(первое равенство получается домножением обеих сторон цепочки η = ∂s = ds∂l = dsς наτ), а также соответствующие им скоростиη = −hςна γ0 .(19)Физический смысл h прост (если только γ0 не замкнута, этот случай будет рассмотренотдельно):h(l1 )/h(l2 ) = ε(l1 )/ε(l2 ),(20)где ε(l) — энергия фотона с мировой линией γ0 , измеренная наблюдателем, расположенным в γ0 (l) и имеющим 4-скорость τ[γ0 (l)], ср.
n◦ 3.Изучим кривые, получаемые сдвигом каждой точки γ0 в прошлое вдоль интегральной кривой поля τ. Очевидно, что такую деформацию можно осуществить ненарушая причинного характера γ0 ; достаточно, грубо говоря,чтобы величина сдвигауменьшалась в направлении будущего. И в то же время, полученная кривая не можетоказаться захваченной каким-нибудь компактом O ⊂ I − (N), см.
замечание 13. Этотфакт позволяет установить несколько важных свойств КПГК. Мы займёмся этим вследующем пункте, а в этом — докажем лемму, позволяющую в конкретных случаяхстроить деформации упомянутого типа явным образом.Выберем положительную (достаточно малую, см. ниже) константу κ∗ и гладкуюфункцию f , определённую на U и подчинённую неравенствам f 6 f 6 f , где f и f —— 123 —==( )Рис. 4: Гомотопия Λ. Кривая γ0 светоподобна, а λ времениподобны.некоторые неотрицательные постоянные. С помощью этого набора определим гомотопиюΛ(l, κ) :G → M,гдеG ⇋ U × [−κ∗, 0]см. рисунок 4, потребовав, чтобы(а) первая «горизонтальная» линия была γ0 :Λ(l, 0) = γ0 (l);(б) каждая «вертикальная» линия λc (κ) ⇋ Λ(c, κ) была (участком) интегральной кривой поля τ;(в) вектор скорости κ = ∂κ в каждой точке p ⇋ λl (κ) был равен f (l)τ(p).Другими словами, Λ устроена так, что для всякого κ «горизонтальная» линия γκ (l) ⇋Λ(l, κ) получается из γ0 сдвигом каждой точки в прошлое — вдоль интегральной кривойполя τ — на расстояние f (l)|κ|, если измерять расстояние по натуральному параметру(наглядно, f определяет форму деформации, а κ — её амплитуду).Перечень.
Чтобы не запутаться, суммируем. У нас имеется два класса кривых:1. Горизонтальные кривые γ. Одна из них — та, чью деформацию мы и исследуем(в зависимости от контекста она будет обозначаться γ0 , α и `) — параметризована«длиной дуги», то есть величиной l, определённой отношением (11). Эта кривая(в отличие, возможно, от остальных) — светоподобная геодезическая, и на нейкроме l введён ещё и аффинный параметр параметр s.
Соответствующий s вектор— 124 —скорости обозначен η. На всех остальных горизонтальных кривых единственный параметр l определён требованием (см. пункт (б) в определении Λ), что еговеличина не меняется вдоль λ (заметим, что, когда κ не равна нулю, l уже необязана быть параметром «длины дуги» на γκ ). Вектор скорости, отвечающий l,обозначен ς;2. Вертикальные кривые λ, являющиеся интегральными кривыми поля τ. Кроменатурального параметра на них введён ещё параметр κ, отличающийся от первоготолько постоянным (на каждой λ) множителем, (см. пункт (в) в определении Λ).Соответствующая κ скорость обозначена κ;и скалярная функцию f на всей полосеf (p) ⇋ f [l(p)] ∀p ∈ G.G,полученная с помощью доопределения:16. Техническое замечание. Поверхность Λ(G) может иметь самопересечения.
Поэтому уточним, что, во-первых, мы рассматриваем η и h как функции l, а не как функцииточки в M. Во-вторых, ς и κ — это отображения G → TM . А под производными типаςa ;b (p) понимаются сокращённо записанные выражения типа, соответственно, aς ◦ Λ̃−1 ;b Λ(p) ,где Λ̃ — сужение Λ на окрестность p, в которой Λ инъективна.Наш способ введения l порождает полезное соотношение между вышеперечисленнымифункциями.
Для его вывода выберем в некоторой выпуклой окрестности p координаты{l, κ, x1 , x2 } так, чтобы Λ(G) была поверхностью x1,2 = 0 [например, это можно сделатьзадав в p векторы e1 и e2 , дополняющие κ(p), ς(p) до базиса Tp и приписав координатыa, b, c, d конечной точке геодезической единичной длины (по аффинному параметру),выпущенной из точки q : l(q) = a, κ(q) = b с начальной скоростью cf 1 + df 2 , где f 1и f 2 — результат параллельного переноса векторов e1 и e2 из p в q вдоль геодезической].
Тогда вертикальные и горизонтальные кривые (λ и γ, соответственно) являютсякоординатными линиями, а значит, см. следствие 1.4,ςa ;κ − κa ;l ⇋ ςa ;b κb − κa ;b ςb = ςa ,κ −κa ,l = 0,(21а)откуда, в частности,ςa ;κ ⇋ ςa;b κb = κa;b ςb = ( f τa );b ςb = f 0 τa + f τa;b ςb .(21б)Существование — при достаточно малой κ∗ — гомотопии Λ обеспечено, несмотряна возможное наличие сингулярностей в M, компактностью N (это, напомним, множество, в котором лежит вся γ). Действительно, для всякой точки p определим tm (p), какдлину, в римановой метрике 1R , кратчайшей непродолжимой кривой, начинающейся— 125 —в p. Например, для пространства ДП tm (p) — это расстояние от p до ближайшей выколотой точки, для машины времени из примера 5 — бесконечность. Очевидно, и вобщем случае tm (p) либо бесконечна, либо положительна и непрерывна на всём N, азначит, t ⇋ inf tm > 0 в силу компактности N.
Из этого следует, что из любой точки можNно пройти вдоль интегральной кривой поля τ на любое расстояние (по натуральномупараметру на сей раз) меньшее, чем t. Так что, в качестве κ∗ можно взять, скажем,t/(2 f ).Как упоминалось выше, для практического использования захваченной компактом причинной кривой, то есть, для получения из факта её существования противоречия, нужно, чтобы этот компакт лежал в M r , а не просто в причинном прошлом γ0 ,ср.
замечание 13. Сформулируем полезное достаточное условие этого. ПустьF(p,t) :N × [ f κ, f κ] → Mесть отображение, которое сдвигает каждую точку p ∈ N в будущее вдоль проходящейчерез p интегральной линии поля τ на расстояние (опять имеется в виду натуральный параметр) t. Любая γκ с κ ∈ [−κ∗ , 0] лежит в O ⇋ F N × [ f κ, f κ] . Будучи образомкомпактного множества при непрерывном отображении, O компактно. Оно также лежит по построению в J − (N). В общем случае, однако, может оказаться, что O 6⊂ I − (N).Исключить такую возможность можно, потребовав, чтобы каждая точка N переместилась в прошлое. Итак, мы установили существование такого компакта O, что∀κ ∈ [0, κ∗ ]γκ ⊂ O ,Если − κ, f (l) > 0∀l,тоO ⊂ I −(N).(22)17.
Лемма. Если f 0 / f ограничена и для некоторой положительной константы c1 выполняется неравенствоh0 /h < − f 0 / f − c1 f ,∀l ∈ U,(23)то найдётся такая κ0 , что кривая γκ0 времениподобна и непродолжима (в том же направлении, разумеется, что и γ0 ).Прежде чем приступать к доказательству (оно будет аналогично доказательству леммы 8.5.5 в [27]), установим ограниченность на Λ(G) ряда величин. Заметим сначала,что f и f 0 ограничены, по определению и по предположению леммы, соответственно.Ограничены и τa , τa ;b и τa ;bc , будучи гладкими функциями на компактном множествеO, в котором, как вытекает из (22), лежит Λ(G) (при обсуждении ограниченности компонент тензоров мы будем для простоты считать, что вся O покрыта одной системойкоординат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
