Диссертация (1145314), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В этих терминах доказанное утверждение состоит в следующем: для скольугодно большого E, в L найдётся такая светоподобная геодезическая, что движущийся по ней фотон, имевший единичную энергию в момент испускания, пролетит черезлабораторию B, как пучок суммарной энергии большей E.§5Машина времени без патологийПространства, которые мы рассматривали до сих пор, обладали — наряду с появляющимися замкнутыми причинными кривыми — ещё рядом «нежелательных»свойств: в них нарушалось СЭУ, появлялись «опасные геодезические» и сингулярности. Важно выяснить, связаны ли эти патологии с появлением машины временивообще или только какого-то специального типа. В этом параграфе мы построим пространство-время, которое содержит машину времени, но свободно от всех перечисленных «недостатков»: оно подчиняется СЭУ и в нём нет ни наматывающихся на горизонтгеодезических, ни сингулярностей [100].Зададим в двумерном пространстве Дойча–Политцера MДП , см.
пример 1.66, гладкую положительную функцию w(x0 , x1 ), у которой первые две производные ограниченыи которая, будучи равной единице при |x0 |, |x1 | > 1, 5, стремится к нулю, когда x0,1 → ±1(это может быть функция w из примера A.7).Тогда искомая машина времени естьпространство-время (Mw , 1) с Mw = MДП × S2 и метрикойds2 = w−2 (−dx02 + dx12 ) + r∗2 (dx22 + sin2 x2 dx32 ),где x2 ∈ [0, π], x3 ∈ [0, 2π) — угловые координаты, а константа r∗ подчинена неравенствам−1/20 < r∗ < infw(w,x1 x1 −w,x0 x0 ) + w,2x0 −w,2x1 .(32)M1(как объяснялось в примере 1.66, x0,1 координатизируют здесь только часть сомножителя Mw — плоскость с двумя разрезами). Построенное пространство-время свободноот всех упомянутых патологий.
В нём, в частности, нет сингулярностей, см. следствие A.8. Сам по себе этот факт не слишком удивителен: мы специально подобрали конформное преобразование (изначально сингулярного пространства) так, чтобы— 131 —τ−1,51,56x01,5100−1x1−101−π 2(а)0c1χ(б)Рис.
5: а) Пространство-время Mw . Вне тёмно-серой области w = 1. Белые кружки показывают отсутствующие точки. При стремлении к ним w стремится к нулю. б) Пространство F. Тёмно-серая область — часть вселенной Фридмана. Светло-серая «рамки»изометричны. «Встраивание машины времени во фридмановскую вселенную» достигается отбрасыванием белых областей и склеиванием светло-серых.превратить сингулярности в «бесконечности».
Замечательно, однако, что это удалосьсделать без нарушения слабого энергетического условия. Действительно, из (A.38)следует, что неравенство (32) обеспечивает выполнение этого условия8) во всём Mw .Некоторые возражения может вызвать топология R2 × S2 «объемлющего пространства». Покажем поэтому, что обсуждаемая машина времени может быть «встроена» во фридмановскую вселенную. Пусть F — пространство-время с топологией R1 × S3и метрикойds2 = a2 (τ)[−dτ2 + dχ2 + r2 (χ)(dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 )],ϑ ∈ [0, π],ϕ ∈ [0, 2π),χ ∈ [−π/2, π/2],где a и r — гладкие выпуклые положительные функции удовлетворяющие условиямa(x) = 1,r(x) = r∗при |x| < 1, 55,r(x) = cos xпри |x| > 1, 56.Пространство F, за исключением компактного цилиндра |τ|, |χ| 6 1, 56, есть, как нетрудно заметить, просто замкнутая фридмановская вселенная.
Наши требования к a вле8)На самом деле, выполняется даже условие энергодоминантности. С другой стороны, сильное энергетическое условие в пространствах аналогичных Mw обязательно нарушается [125].— 132 —кут за собой неизбежность начальной и конечной сингулярностей в F, но это обычные космологические сингулярности, не имеющие отношения к машине времени.
Далее, непосредственное вычисление (для которого удобно использовать формулу [13,(14.48)]) показывает, что слабое энергетическое условие выполняется во всём F. Теíперь мы вырежем часть (содержащую Mw ) из Mw и заменим ею некоторую область вF. Заметим для этого, что простое переобозначениеx0 → τ,x1 → χ,x2 → ϑ,x3 → ϕизометрически — обозначим эту изометрию σ — отображает «квадратную рамку»{1, 5 < |x0 |, |x1 | < 1, 55} ⊂ Mw в соответствующую область F, см.
рисунок 5. Искомое пространство MF получим, 1) удалив из Mw множество {1, 55 6 |x0 |, |x1 |}, 2) удалив из Fмножество {|τ|, |χ| 6 1, 5} и 3) склеив две получившиеся области по σ:MF ⇋ {q ∈ Mw : |x0 (q)|, |x1 (q)| < 1, 55} ∪σ {p ∈ F : |τ(p)|, |χ(p)| > 1, 5}.Результат представляет собой вселенную, которая содержит машину времени, но удовлетворяет СЭУ и не имеет сингулярностей кроме космологических. «Вне лаборатории», то есть за исключением области, заключённой внутри некоторой сферы и существующей там в течение ограниченного промежутка (внешнего) времени, эта вселенная представляет собой просто пространство Фридмана.— 133 —5.
Создание машины времениВ ътой главе формулируется и доказывается теорема 2 — одно из центральных утверждений этой работы, а возможно, и теории машин времени вообще [106]. С физическойточки зрения это утверждение о невозможности построить машину времени в рамках классической ОТО и её модификаций, связанных с введением дополнительныхлокальных условий.
Причём, и это важно, теорема запрещает не появление машинвремени, а только их создание.§1Искусственные машины времениОбсуждая машины времени в предыдущих главах, мы делили их на «вечные» и«появляющиеся», см. 4. § 1. Уточним теперь эту классификацию.
Допустим для этого,что нам понадобилась машина времени. Мы можем поискать таковую или просто подождать, пока она появится (пример пространства Дойча–Политцера показывает, чтоожидание может быть и небезнадёжным, каким бы регулярным ни выглядело нашепространство-время в данный момент). Можно, однако, занять более активную позицию и попробовать создать машину времени.
Манипулируя распределением материи,а значит — в силу уравнений Эйнштейна — метрикой, какая-нибудь высокоразвитаяцивилизация могла бы попытаться «заставить» Вселенную породить замкнутую причинную кривую (именно возможность такой попытки [132] и породила в своё времяпродолжающийся поныне всплеск интереса к кротовым норам). Разница между появлением причинной петли ` по каким-то независящим от нас (и, возможно даже,неведомым) причинам, с одной стороны, и созданием такой кривой, с другой, и естьцентральный вопрос данной главы.
Как мы увидим, разница эта настолько велика, чтоесли первое представляется (пока?) вполне возможным, то второе в рамках классической ОТО — нет. Последнее утверждение может быть ещё несколько усилено: оноостаётся верным, даже если ОТО дополнить каким-нибудь локальным условием C, см.2. § 1.Поскольку разница между интересующими нас процессами связана, среди прочего, и с намерениями упомянутой цивилизации, эту разницу нельзя полностью описатьв геометрических терминах. Нам, однако, достаточно будет сформулировать условие— 134 —необходимое для того, чтобы счесть машину времени искусственной, а это уже можно сделать, и не вторгаясь в столь туманные области. Исходить будем из идеи, чтоíсуществование машины времени, то есть области M , можно считать обусловленнымкакими-то действиями в области U, только если выполняются следующие условия:í(У1 )M полностью лежит в будущем U;(У2 )Непустое M , удовлетворяющее условию (У1 ), существует во всех C-максимальных расширениях C-пространства U.íЕсли же такой U не найдётся, будем считать соответствующую машину времени естественной, возникшей «спонтанно», а не искусственной.1.
Замечание. Мы включаем в рассмотрение теории, в которых наша Вселенная описывается не произвольным пространством-временем, а только C-пространством, и этотфакт несколько усложняет рассуждения. Однако какое именно локальное условие Cпри этом налагается, несущественно (важно только что это одно и то же условиена протяжении всей главы), и, в частности, оно может быть пустым.
Поэтому прижелании можно последовательно игнорировать символ C- вплоть до замечания 26.Условие (У1 ) самоочевидно, но (У2 ) нуждается в некотором комментарии. Рассмотримдля примера случай, когда M — это пустое пространство Дойча-Политцера (см. пример 1.66), а U — его подмножество x0 < −2. Теперь заметим, что, как уже отмечалосьв 2. § 3 n◦ 1, точно это же U могло бы иметь и другие расширения: пространство Минковского, например, или R4 с метрикой1 = (1 + f 2 )η,= 0,где ff 6≡ 0,η — плоская метрика(1)x0 <−2и т. д.
Некоторые из этих расширений можно исключить, наложив подходящие локальные условия, (вот почему мы говорим о C-расширениях U, а не просто о расширениях). Например, потребовав выполнения слабого энергетического условия, мыисключаем расширение (1). Однако оставить единственное C-расширение всё же вобщем случае невозможно [105]: если нашлось одно, то можно построить (например,методом, описанным в примере 2.28) и бесконечно много других (если только U неокажется всюду плотным в своём расширении). Поэтому гипотетический строительмашины времени в принципе не может претендовать на то, что это именно его действия, предпринятые в U, определили геометрию J + (U).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
