Диссертация (1145314), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это согласуется с наглядным представлением обMÀ , как о том же R, в котором просто P заменили на H (то есть приклеили к M подругому). Из утверждения 1.63 ясно, что MÀ является расширением M (посколькутаковым является R). Локально MÀ изометрично R и, значит, принадлежит C. Чтодоказывает утверждение 8(а).Примем для определённости, как в доказательстве предложения 6, что B+ 6= ∅.Рассмотрим тогда времениподобную кривую µ ⊂ MÀ , начинающуюся в M и направленную в прошлое. Покинуть M эта кривая могла бы единственным образом — попасть вH⋎ , а оттуда в H − H⋎ .
Но тогда нашлись бы точки µ ∩ Bd H⋎ , чего не может быть, таккак они, очевидно, должны принадлежать B− , точек которого, на самом деле в H нетпо построению, см. доказательство предложения 6. Итак, µ не покидает M, и, значит,последнее есть множество прошлого в MÀ . Пункт 8(б) тем самым доказан.Все провозглашённые в пункте 8(в) свойства S кроме связности следуют, с учётом 8(б), из предложения 1.28. Но как демонстрируется, например, в ходе доказательства [27, предложения 6.3.1], в некоторой окрестности W любой точки из S существуетпроекция, непрерывно отображающая W на S ∩ W .
Потребуем, чтобы P, которую мы— 144 —определили, просто как достаточно малую совершенно простую окрестность некоторойточки q, лежала полностью в этой W . Теперь связность S следует из связности P.9. Договорённость. Для определённости будем считать и далее, что M — множествопрошлого в MÀ .
Мы имеем право на такую договорённость, так как доказательствотеоремы основано только на предложении 24 (а оно не зависит от выбора ориентацииво времени) и формуле (12) на стр. 164, которая не использует свойств H⋎ (в неё входиттолько M).10. Замечание. Как доказывалось на стр. 136, MÀ не содержит замкнутых причинныхкривых, которых не было бы в M. Если б MÀ вдобавок всегда было выпукло C-расширяемо (чего на самом деле нет), мы могли бы перейти сразу к предложению 24.n◦ 2Пространство-время M♢ .Теперь мы построим для M ещё одно C-расширение (заметим, что оно не являетсярасширением пространства MÀ ), которое будем обозначать M♢ .
Мы сделаем это так же,как строили MÀ , то есть представив, сначала, некоторое вспомогательное пространство(MÀ − Σ в данном случае, обозначения разъясняются ниже), как результат склеиваниядвух пространств (H̊H⟜⊸ и M̀ ), и отклеив затем «лишние» компоненты их пересечения.(а)(б)Рис. 3: M♢ получено приклеиванием верней части (это H̊⋏ ) пространства H̊H⟜⊸ = H̊ − Cl S̊⌣(см.
правый рисунок) к M ⇋ MÀ − Cl S-- (см. предыдущий рисунок). Тёмная область —это часть M, которую мы видим сквозь H⟜⊸ . Белые кружки указывают на отсутствующие точки.Пусть G — совершенно простая окрестность какой-нибудь точки поверхности Sтакая, что ClH G, во-первых, компактно и, во-вторых, не содержит S полностью. G— 145 —делит S на три непустые непересекающиеся части (что Σ 6= ∅, следует из связности S):S⌣ ⇋ S ∩ G,S-- ⇋ S − ClH G,Σ ⇋ S − S⌣ − S-- .Мы также выделим в H областиH⋎H⋏ ⇋ H − Cl H⋎ ,иа в G — областиG⋎ ⇋ G ∩ H⋎иG⋏ ⇋ G ∩ H⋏ ,см. рисунок 3а.
Наконец, нам понадобятся пространство M̀À , изометричное MÀ , и обозначения для двух изометрийψM : MÀ → M̀Àи ψH : H → H̊.Для упрощения обозначений мы сделаем общим правилом, что À и Å означают, соответственно ψM (A) и ψH (A). В частности,H̊⋏ ⇋ ψH (H⋏ ),G̊⋎ ⇋ ψH (G⋎ ),Σ̀ ⇋ ψM (Σ),и т. д.Отдельные обозначения мы введём для H̊, разрезанного вдоль S̊⌣ , и MÀ , разрезанноговдоль S-- :H⟜H̊⊸ ⇋ H̊ − Cl S̊⌣ ,M = MÀ − Cl S-- .Теперь мы готовы построить M♢ . Представим для этого MÀ − Σ, как результатприклеивания H̊H⟜⊸ к M̀ :MÀ − Σ = H̊H⟜⊸ ∪ψMH M̀ ,где ψMH ⇋ ψM ◦ ψH −1 .Далее, заметим, что H̊H⟜⊸ приклеено к M̀ двумя непересекающимися областями: H̊⋎ иH̊⋏ .
Поэтому мы можем образовать новое пространство-время «отклеив» одну из них(а именно, H̊⋎ ). Так мы и поступим, определивM♢ ⇋ H̊H⟜⊸ ∪ψ M̀ ,.где ψ ⇋ ψMHH̊⋏Как мы видим, M♢ — оно изображено на рисунке 3а — действительно, является расширением M, но не MÀ . Поэтому, строго говоря, нам следовало бы различатьрассматривавшиеся выше подмножества MÀ , такие как H⋎ , S-- и т. д., и соответствующие им подмножества M♢ , то есть π♢ (H̊⋎ ), π♢ (S̀-- ) и т. д., где π♢ — это каноническаяпроекцияπ♢ :(H̊H⟜⊸ ∪ M̀ ) → M♢ .— 146 —Но чтобы хоть немного упростить обозначения, мы договоримся отныне считатьG⋎ = π♢ (G̀⋎ ),S⌣ = π♢ (S̀⌣ ),и т. д.,то есть отождествлять, когда удобно, π♢ (M̀ ) и его части с M и его соответствующими частями.
По тем же причинам будем считатьH⟜H⟜⊸ = π♢ (H̊⊸)(тут нет риска ошибиться). В то же время обсуждаемые подмножества нельзя путатьс их изометричными копиями, лежащими во «внешней» части M♢ (это область π♢ (H̊⋎ ),то есть нижняя часть ромба π♢ (H̊H⟜⊸ ) на рисунке 3а). Будем поэтому помечать последниезначком ♢ над соответствующей буквой:♢G⋎ ⇋ π♢ (G̊⋎ ),♢H ⋎ ⇋ π♢ (H̊⋎ ),n◦ 3и т. д..Пространство-время M6 .Теперь мы построим особенное C-расширение пространства M♢ : формально оно♢получается приклеиванием ещё одной копии G к M♢ , или, точнее, к его части G⋎ ,см. рисунок 4.
А именно, с помощью очередной изометрии ς определяем копию G:G̃ ⇋ ς(G̊),замечаем, что ς⋎ ⇋ ς ◦ π−1♢отображает в M♢ её «нижнюю» (то есть изометричную G⋎ )♢G⋎часть и образуем искомое пространство-время соответствующей склейкой:M6 ⇋ M♢ ∪ς⋎ G̃.Опять, с этого момента мы будем отождествлять пространство-время G̃ и его натуральную проекцию на M6 . Легко видеть, что M6 — расширение M♢ и, более того,поскольку M6 локально изометрично соответствующей части M1 , это C-расширение M.11. Примечание к обозначениям. Структура M6 на самом деле не так уж и сложна.Однако мы вынуждены выделять в нём множество отдельных частей и рассматриватьнесколько вспомогательных пространств-времён. Чтобы разобраться в этом зоопарке,полезно иметь в виду следующее.
У нас есть три «базовых» множества: совершеннопростые пространства G̊ ⊂ H̊ и ахрональная поверхность S̊, см. рисунок 3б. ПоверхностьS̊ делит H̊ на две части: H̊⋎ и H̊⋏ . Аналогично, S̊⌣ , то есть часть S̊, лежащая в G̊ делитпоследнюю на G̊⋎ и G̊⋏ . Разрез вдоль замыкания S̊⌣ превращает H̊ в H̊H⟜⊸ . Далее, унас есть набор изометрий, отображающих перечисленные множества в M , M♢ и M6 ,или во вспомогательное пространство-время M̀À . Чтобы отличать различные образы— 147 —Рис.
4: M6 — оно показано на левом рисунке — может быть представлено, как результатприклеивания к M (не к M♢ !) пространства, изображённого справа. Заштрихованная♢область при этом превращается в G⋎ .одних и тех же множеств, я ввожу значки, обозначающие, в какой области лежитсоответствующее множество:A ⊂ M ,♢Å ⊂ H̊,A ⊂ M♢ − M ,Ã ⊂ G̃,À ⊂ M̀À .Исключения из этого правила составляют множество H⟜⊸ , над которым мы не ставимeзначка, хотя оно и не лежит полностью в M , и S⌣ , которое мы для краткости обозначим S⌢ (последнее приводит к появлению синонима: S̊⌢ ≡ S̊⌣ ).
Итак, M6 , например,можно представить, как объединение (пересекающихся) множествM ,H⟜⊸,G̃или непересекающихся множествM,S⌣ ,H⋏ ,S-- ,♢H ⋎,S⌢ ,G̃⋏ ,♢а объединение H⋏ , S-- , и H ⋎ образует H⟜⊸.12. Предложение. В пространстве-времени M6 область M есть множество прошлого,а G̃⋏ — будущего.Доказательство. Утверждение представляется вполне очевидным из рисунков 3 и 4.Формально же его можно вывести из того, что M есть множество прошлого в MÀ , см.предложение 8(б), а значит — по признаку 1.25(б) — и в M . Наше утверждение об Mтеперь следует из 1.25(в) с W ⇋ M, A ⇋ M и B ⇋ H⟜⊸ ∪ G̃.Теперь предположим, что G̃⋏ не является множеством будущего.
Тогда в нёмдолжна найтись направленная в будущее времениподобная кривая µ, кончающаяся в— 148 —BdM6 G̃⋏ = BdG̃ G̃⋏ (это равенство следует из того, что по построению в M♢ нет точки,которая содержала бы в любой своей окрестности точку из G̃⋏ , и, значит, границапоследнего лежит в G̃). Изометрия ς−1 , см. начало пункта, отобразит µ во времениподобную направленную в будущее кривую, лежащую в G̊⋏ ⊂ H̊⋏ и кончающуюся наBdG̊ G̊⋏ ⊂ BdH̊ H̊⋏ .
Но таких кривых быть не может, потому что H̊⋏ — множество будущего в H̊, как следует из предложения 8(б) по признакам 1.25(а) и 1.25(б) с W ⇋ H⋏ ,A ⇋ MÀ и P ⇋ M − H.§5Структура M6Наша задача в этом параграфе — доказать, что M6 выпукло C-расширяемо. Мысделаем это, разделив M6 на три области, M, G̃, и H⟜⊸ , из которых первые две выпукло C-расширяемы, а последняя «почти» (то есть с точностью до разреза) такова.
Присведении свойств M6 к свойствам этих областей, мы опираемся на тот факт, что врасширениях M6 некоторые кривые с одинаковыми концами негомотопны (имеется ввиду гомотопия с фиксированными концами) и, значит, не могут лежать в одном и томже совершенно простом множестве. Негомотопность этих кривых вызвана сингулярностью, которая наличествует в M6 несмотря на то, что M6 составлено из несколькихпространств-времён, каждое из которых сингулярностей не имеет2) .
Итак, перейдёмк изучению гомотопических свойств кривых, пересекающих S⌣ и S⌢ .n◦ 1Поверхности S⌣ и S⌢Из нашего способа построения M6 (поэтапными «отклеиваниями») следует, чтосуществует проекция π6 , которая локально изометрично отображает M6 на MÀ . Приэтом времениподобные кривые отображаются во времениподобные, а каждая из поверхностей S⌣ и S⌢ в поверхность, которую — хотя она и лежит в MÀ — мы тожеобозначали S⌣ . Отсюда предложение 8(в) влечёт за собой13. Следствие. S⌣ и S⌢ суть связные замкнутые вложенные C1− гиперповерхности вM6 .
Обе они и даже их объединение ахрональны в M6 .Можно и не ссылаться на предложение 8(в), а расуждать так. Из определения S⌣ и Mявствует, что S⌣ = BdM M. С другой стороны, M6 была получена из M приклеиваниемнекоторых открытых множеств к областям не пересекающимся с M. ПоэтомуS⌣ = BdM6 M.2)(2)Природа обсуждаемой сингулярности точна та же, что и в пространстве ДП или, скажем, двулистномнакрытии плоскости Минковского, из которой удалена точка.— 149 —Аналогично, S⌢ = BdG̃ G̃⋏ , и, опять, M6 получено из G̃ приклеиванием некоторых открытых множеств к областям не пересекающимся с G̃⋏ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
