Диссертация (1145314), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Обобщение на случай, когда это не так, тривиально, поскольку O всегдаможно покрыть конечным набором компактных Om , каждый из которых уже лежитв одной карте). Рассмотрим, далее, компоненты ςa . При κ = 0 ограниченность ςa , или,— 126 —что равносильно, ς⊥a ⇋ ςa + τa следует из того, что длина ς⊥ в римановой метрике (12)постоянна на γ0 :1R (ς⊥ , ς⊥ ) = 1(ς⊥ , ς⊥ ) + 2[1(ς⊥ , τ)]2 = 1(ς, ς) + 1(τ, τ) + 21(ς, τ)++ 2[1(ς, τ) + 1(τ, τ)]2 = 5.Далее, функция ςa (l, κ) ограничена и на всей G, будучи решением дифференциальногоуравнения (21б) с ограниченными коэффициентами и, как мы только что установили,ограниченным начальным значением ςa (l, 0). Наконец, цепочкаh0 = (ηa τa );b ςbγ0= ηa τa;b ςb = −hςa τa;b ςb ,(24)в которой второе равенство следует из того, что γ0 — геодезическая, а последнее — из(19), доказывает, что независимо от выполнения (23)h0 /hограничено на γ0 .(25)Доказательство леммы.
Рассмотрим функцию 2 ⇋ ςa ςa . Эта функция играет роль индикатора: кривая γκ времениподобна в какой-нибудь l0 , когда и только когда 2(l0 , κ)отрицательна.Везде на γ0 выполняется следующая цепочка равенств12, =2 κςa;κ ςa = κa;l ςa = ( f τa );l ςaγ0= − f 0 − f τa ςa ;l == − f 0 + f τa (h−1 ηa );l = − f 0 + f h(h−1 ),l + f τa h−1 ηa ;l = − f 0 − f ln0 |h|, (26)при выводе которой использованы по очереди уравнение (21а) (во втором равенстве),нормировка τa ςa = −1, входящая в определение l (в предпоследнем равенстве первойстроки), соотношение (19) (в переходе ко второй строчке) и, наконец, тот факт, чтоη удовлетворяет на γ0 уравнению геодезической ηa ;l = − 1h ηa ;b ηb = 0.
Из полученногоравенства в сочетании с предположением (23) следует, что2,κ (l, 0) > 2c1 f 2 .(27)С другой стороны, на этой же кривой 2 = 0. И мы заключаем, что для любой l найдётся(отрицательная, естественно) κ∗∗ — её значение зависит от l — такая, что2(l, κ) < 0,∀κ ∈ (κ∗∗ (l), 0),(28)и, следовательно, γκ при соответствующих κ времениподобны в l. Мы, однако, ищемнепродолжимую времениподобную кривую, то есть такую κ∗∗ что неравенство (28) выполняется для всех l сразу. Выпишем поэтому ещё одну цепочку равенств (последниймножитель в скобках — это ςa ;κ преобразованное с помощью (21б)):∀κ12, =2 κκ[( f τa );l ςa ],κ = ( f τa );lκ ςa + ( f τa );l ςa;κ= f 0 τa;κ ςa + f τa;lκ ςa + ( f 0 τa + f τa;l )( f 0 τa + f τa ;b ςb ).— 127 —Подставив сюда формулыτa;l = τa;b ςb ,τa;κ = τa;b κb = f τa;b τb ,τa;lκ = τa;bc ςb f τc + τa;b ςb ;κ = f τa;bc τc ςb + τa;b ( f 0 τb + f τb ;c ςc ),получим2,κκ (l, κ) = b1 f 02 + b2 f 0 f + b3 f 2 ,где bk — некоторые ограниченные (это вытекает из установленной выше ограниченности ςa и производных от τa ) функции.
Разделив это выражение на неравенство (27),получим (вспомним, что по условию f 0 / f ограничено)|2,κκ (l, κ)/2,κ (l, 0)| < c2 ,∀κ ∈ [κ∗∗ , 0],(29)где, как обычно, c2 — некая константа. А поскольку, как мы уже знаем, 2(l, 0) = 0 и2,κ (l, 0) > 0, то из (29) мы заключаем, что для некоторой отрицательной κ02(l, κ0 ) < 0,∀l ∈ U, κ ∈ [κ0 , 0),а следовательно, γκ0 времениподобна.Аналогичные рассуждения применимы и к величине ω ⇋ ςa τa . А именно, ω = −1в κ = 0, а её производная в направлении κω;κ = ςa;κ τa + ςa τa;κ = f 0 τa τa + f τa;b ςb τa + f ςa τa;b τbограничена. Отсюда, ω(l, κ0 ) при достаточно малых κ0 больше (по абсолютной величине) чем 21 . Значит, длина соответствующей γκ0 в римановой метрике (12) бесконечна,и γκ0 непродолжима, см.
предложение 11.n◦ 3Некоторые свойства машин времени с КПГКВ предыдущих главах мы видели, что экзотические пространства (лазы, кротовые норы) для своего существования во многих случаях нуждаются в экзотическойматерии. Это же верно и для машин времени, как было установлено в [85] путёмследующих рассуждений.Для начала адаптируем к нашей ситуации лемму 8.5.5 из [27].18. Предложение. Если горизонт Коши H+ компактно порождён, то его образующиеполны в прошлом.19.
Следствие. Если в некоторой точке КПГК H+ расхождение θ положительно6) , тогде-то на горизонте нарушено слабое энергетическое условие.6)Мы продолжаем считать геодезические образующие H+ направленными в будущее.— 128 —Это следствие, — в [85] оно доказывается на основе комбинации предложения 18 соследствием 2.8 и предложением 2.6 — очень важно, так как условие θ > 0 должно,по-видимому, выполняться (хотя бы в некоторых точках) на горизонте любой машинывремени, если она лабораторного, а не космологического, масштаба. Действительно, втаком пространстве-времени естественно ожидать, что горизонт — во всяком случае,вдали от области, в которой появилась машина времени — имеет форму расходящегосяконуса [более (хотя, всё же, и не вполне [48]) строгий аргумент приводится Хокингомдля машин времени, у которых горизонты компактно порождены, а вот поверхностиКоши S не компактны; последнее означает, что K, то есть, область зарождения машинывремени, «меньше, чем вся Вселенная»].Машины времени с компактно поождёнными горизонтами Коши не только нарушают СЭУ.
Как доказывается в той же работе [85], они ещё и «почти наверняка»сингулярны.Пусть ` ⊂ H+ — замкнутая светоподобная геодезическая. Тогда функция `(l) периодична:`(l) :R → H+ ,`(l) = `(l + el),el > 0.C другой стороны, как функция аффинного параметра s, ` периодической быть не обязана. Соответственно, и h(l) тоже может не быть периодической.
Она, однако, являетсярешением дифференциального уравнения (24), коэффициенты которого периодичны.Поэтому, в общем случаеh(l) = al/l χ(l),eгде χ(l) — периодическая,a = const > 0.(30)Может ли a быть равной единице неизвестно. Геодезическая же с a > 1 (как показываетпример пространства Мизнера, такие геодезические действительно могут существовать, см. стр.
106) обладает двумя любопытными свойствами. Во-первых, она не можетбыть мировой линией фотона (такому фотону нельзя было бы приписать определённую энергию или импульс). А, во-вторых, геодезическая ` неполна. Таким образом,следующая теорема и означает, что машины времени с замкнутыми образующимипочти наверняка имеют сингулярность.20.
Предложение. [85]. a > 1. Причём в случае неравенства ` неполна в будущем.Всегда ли у машины времени с КПГК есть замкнутая образующая до сих пор,как ни странно, неясно. Известно пока лишь следующее.21. Предложение. [85]. У любого КПГК есть образующая, полностью лежащая внепродолжимая в обоих направлениях7) .7)В направлении прошлого такова любая образующая, см. следствие 4K, и— 129 —Обратимся теперь к ещё одной характерной черте компактно порождённых горизонтов Коши.
Выше мы установили, см. предложение 12, что они развиваются только после появления геодезической α(l), чьё будущее полностью захвачено некоторымкомпактным множеством. Насколько патологично существование такой геодезической? Чтобы выяснить это, разберёмся с энергетическими свойствами фотона, чьеймировой линией является α. Для этого мы разобьём её на участки единичной длины(по параметру l), найдём, пользуясь (20), максимальные значения энергии фотона накаждом из этих участков, считая энергию фотона единичной в начальной точке α(l0 )(энергия становится, таким образом, функцией двух переменных — l и l0 ), и просуммируем их.
Оказывается, подходящим выбором упомянутой начальной точки эта суммаможет быть сделана сколь угодно большой. Докажем этот факт, а затем обсудим егофизический смысл.22. Предложение. Пусть α(l) — геодезическая из предложения 12. Тогда для скольугодно большой константы E можно выбрать положительное число l0 так, что выполняется неравенство∞1hk > E,∑|h(l0 )| k=0гдеhk ⇋max|h(l)|.l∈[l0 +k,l0 +k+1]Доказательство. Допустим, рассматриваемое утверждение неверно. Тогда ряд в левойчасти неравенства сходится при любом выборе l0 , а значит, во-первых, h стремится кнулю при l → ∞, a во-вторых, определена положительная (в силу постоянства знака h)функция1f (l) ⇋h(l)Z∞˘ dl˘h(l)l>0lкоторая ограничена величиной E.
Это позволяет нам воспользоваться формулой Коши[23, пункт 120] и установить, чтоf (l) = −h(l∗ )h0 (l∗ )при некотором l∗ > l,В силу (25) это означает, что f к тому же отделена от нуля0 < c1 < f .(31)Нетрудно проверить, что h0 /h + f 0 / f = −1/ f , а значит, и условие (23) выполняется(поскольку f положительна). Из этого же равенства с учётом ограниченности h0 /h, см.(25), и 1/ f , см.
(31), вытекает ограниченность f 0 / f . Итак, все требования леммы 17выполнены, и, значит, должна существовать непродолжимая в будущее кривая, которая, как следует из (22), полностью захвачена компактным подмножеством I − (α),а следовательно, и M r . Но это противоречит предложению 1.40, поскольку M r сильнопричинно.— 130 —Полученный результат наводит на мысль (см. обсуждение в конце § 3), что машины времени с КПГК неустойчивы, из-за чего вместо них в реальных условияхвозникают просто яркие вспышки. Действительно, рассмотрим такой шар B ⊂ L, чтоα ∩ B состоит из бесконечно большого числа отрезков αi .Наблюдатель в точке p ∈ B воспринимает фотон α, как пучок фотонов: в пределах«лаборатории» B их мировые линии — отрезки αi . Если 4-скорость этого наблюдателя— τ(p), то он интерпретирует ∑i h(qi ), где qi ∈ αi , как «полную энергию пучка» (диаметрB предполагаем настолько малым, чтобы спокойно игнорировать неоднозначность, связанную с гравитационным красным смещением, то есть с возможными вариациями hвдоль αi ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
