Диссертация (1145314), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Это обстоятельство, однако,само по себе ещё не делает усилия по созданию машины времени тщетными:Во-первых, ситуацию может изменить развитие науки. Вполне возможно, чтоупомянутая высокоразвитая цивилизация сумеет уточнить теорию относительностии исключить неоднозначность эволюции пространства-времени, см. 2. § 3 n◦ 2 и начало— 135 —4. § 4. Или, фантазируя далее, можно представить себе, что успехи квантовой гравитации позволят приписать вероятности разным эволюциям, стартующим с одного U.В обоих случаях, подход к тому, что́ следует считать созданием машины времени,придётся пересмотреть.Во-вторых, нашей целью может быть нарушение причинности вообще, а не создание какой-то определённой машины времени.

Тогда успешным исходом следуетсчитать любую эволюцию, в которой будущее U содержит замкнутые причинные кривые. Соответственно, любое непричинное C-расширение C-пространства U будет заслуживать названия искусственной машины времени, если только среди разрешённыхэволюций (то есть среди C-максимальных расширений U) не найдётся какого-нибудь,в котором причинность соблюдается. Условие его несуществования и есть (У2 ).Точно в таком же смысле можно было бы поставить вопрос об искусственномнарушении глобальной гиперболичности.

Пример пространства ДП опять доказывалбы, что не всегда потерю глобальной гиперболичности можно приписать каким-тодействиям в прошлом. Но были бы и примеры — они обсуждаются в 4. § 4 — противоположного свойства. Так, скажем, пространство Мизнера расширяемо, но ни одно изего расширений не является глобально гиперболичным.В этой главе мы доказываем теорему, гласящую, что причинность (в отличие отглобальной гиперболичности) нельзя искусственно нарушить ни в ОТО, ни в её возможных локальных обобщениях. Подчеркнём ещё раз: речь не идёт о запрете самихнарушений причинности. Они вполне могут случаться, не вступая с этой теоремой впротиворечие. Последняя гарантирует только, что они могут и не случаться, что бымы ни предприняли.2.

Теорема. [106]. Независимо от выбора локального условия C у любого C-расширяемого пространства U есть C-максимальное расширение M max , такое что все замкнутыепричинные кривые в M max , если они там существуют, лежат в хронологическом прошлом U.Утверждение теоремы кажется вполне очевидным в случае пространства типаДП.

Может, однако, показаться, что дело обстоит совершенно иначе в случае машинвремени с КПГК. Действительно, обитатель пространства Мизнера, например, видит,что с течением времени причинные конусы в координатах t, ψ0 «открываются» всёбольше и больше, см. рисунок 4.1б. Так что этот обитатель может ожидать неизбежного, как ему кажется, нарушения причинности в t = 0, когда ∂ψ0 станет горизонтальным,. Однако оснований для таких ожиданий на самом деле ничуть не больше, чем вслучае пространства ДП. Как следует из обсуждаемой теоремы, среди максимальныхрасширений пространства Мизнера найдётся и такое, в котором причинность не нарушается.

На следующем этапе наблюдатель может заинтересоваться воздействием на— 136 —геометрию дополнительных (то есть необщерелятивистских) ограниченмй. Что произойдёт, если, например, выполняется (локальное) условие, что пространство-времявсегда плоское? Ответ, даваемый теоремой, состоит в том, что среди плоских расширений пространства Мизнера найдётся такое, что i) оно не имеет плоских расширенийи ii) в нём выполняется условие причинности. Одно из таких расширений получится,например, если из цилиндра MA вынуть часть t > 0 оси t, см.

рисунок 4.1б, затем изплоскости Минковского вынуть часть α > 0 оси α, см. рисунок 4.1а, и склеить левыйберег каждого из разрезов с правым берегом второго.§2План доказательстваЗададимся каким-нибудь локальным условием C и пусть M — некоторое C-пространство. Доказательство теоремы будет состоять из двух (очень неравных) частей:сначала мы докажем предложение 24, гласящее, что при наличии некоторых свойствííу M последнее имеет такое C-максимальное расширение M max , что M max = M (то естьвсе нарушения причинности в M max ограничены M).

На втором этапе, таким образом,нам останется доказать, что любое U имеет C-расширение M, обладающее этими, нужными, свойствами и удовлетворяющее условию причинности вне IM− (U).В жизнь предложенная программа будет воплощена следующим образом. Предположим, что M имеет C-расширение M e (иначе, само M и есть искомое M max ) и выпуклоC-расширяемо, то есть (см. § 3) обладает следующим свойством:независимо от выбора M e и его совершенно простого подмножества D, каждая связная компонента D ∩ M причинно выпукла в D (почеркнём, что она необязана быть причинно выпуклой в M или M e ).Наличие этого свойства гарантирует, что у M найдётся C-расширение MÀ (пока ещёííне обязательно C-максимальное), у которого M À = M , то есть в котором нет новыхзамкнутых причинных кривых. Чтобы убедиться в этом, расширим M до некоторогоR ⇋ M ∪ D, где в D совершенно проста, см.

рисунок 1. Рассмотрим две возможности:1). Пусть D ∩ M связно. Тогда MÀ ⇋ R и есть искомое расширение. Действительно,новая (то есть не лежащая полностью в M) причинная петля ` должна была бы проходить через какую-нибудь точку p ∈ (D − M). Но D, будучи нормальным, не содержитзамкнутых причинных кривых. Поэтому ` — при движении из p и в прошлое, и вбудущее — должна покинуть D, а она не может это сделать прежде чем попадёт вD ∩ M. Итак, существование ` повлекло бы за собой существование p, такой чтоp∈/ M,JD± (p) ∩ M 6= 0,а это противоречит предполагаемой причинной выпуклости D ∩ M в D.— 137 —Рис. 1: Di — по-разному расположенные совершенно простые множества. ПересечениеM ∩ D1 и M ∩ D2 не являются причинно выпуклыми в соответствующих Di .

Причём вовтором случае пересечение связно, откуда явствует, что M не является выпукло C-расширяемым. В первом же случае можно «отклеить» от M (и тем самым от R) верхнююсвязную компоненту этого пересечения (так что самую тёмную область на рисункеследует теперь рассматривать как часть M, видимую сквозь D1 ). M ∩ D1 в этом случаеíбудет причинно выпуклым, а MÀ = M ∪ D1 не будет иметь новых, не входящих в M ,причинных петель.2). Если же D ∩ M несвязно, то искомое MÀ легко получается из R: нужно только«отклеить» от M (см.

1. § 6 n◦ 2) все компоненты D ∩ M кроме одной. После этого мыоказываемся в условиях предыдущего случая.Итак, выпукло C-расширяемые пространства можно расширять не нарушая свойства C и в то же время не порождая новых причинных петель. Это, однако, не слишком продвигает нас в сторону завершения первого этапа доказательства, поскольку MÀвполне может оказаться всё ещё C-расширяемым, но уже не выпукло C-расширяемым(что не позволит нам, повторив процедуру, построить MÀ (MÀ ), MÀ [MÀ (MÀ )] и т.д.). Чтобы справиться с этой проблемой мы найдём в § 4 ещё одно расширение произвольноговыпукло C-расширяемого пространства M.

Это новое расширение, обозначаемое (M)6или просто M6 , строится из MÀ с помощью разрезаний и склеиваний и обладает следующими свойствами (именно доказательство последнего из них и составляет наиболееутомительную часть данной главы):1. M6 есть C-пространство (по признаку 2.3(б) это вытекает из того, что оно локально изометрично пространству MÀ , которое в свою очередь было частью M e );2. M6 , как и MÀ , не имеет причинных петель кроме тех, что целиком лежат в M;3.

Если M6 C-расширяемо, то оно в отличие от MÀ , обязательно выпукло C-расширяемо.— 138 —Семейство пространств, обладающих этими тремя свойствами мы обозначим V.Теперь нам нужно только найти пространство, которое обладало бы первымидвумя свойствами, но было бы C-максимальным. Поступим для этого следующим образом. Выберем в V какое-нибудь пространство M, обозначаемое также V0 , у которогопричинность соблюдается везде вне IM− (U) (существование такого M — нетривиальныйфакт, требующий отдельного обсуждения, см. ниже).

Если V0 C-расширяемо, найдёмкакое-нибудь его расширение V1 ∈ V (оно обязательно существует потому, что таково,в частноcти, M6 ). Если и V1 окажется C-расширяемым, перейдём к его выпукло C-расширяемому расширению V2 (например, выбрав V2 ⇋ (V1 )6 ) и т. д. В результате мы либонайдём на каком-то шаге C-максимальное Vk , и оно своим существованием докажеттеорему, либо получим бесконечную цепь пространств{Vk }, k = 0, 1, . .

. ,∀k Vk ∈ V,каждое из которых вложено в следующее. Из такой цепи легко строится пространство-время V ∪ ∈ V, в которое они вкладываются сразу все. А отсюда по лемме Цорнав V должен найтись максимальный1) элемент V ∗ . Такой элемент не имеет расширенияв классе V. Значит, его, в частности, нельзя расширить и до (V ∗ )6 , а это означает,что V ∗ C-максимально. Теорема тем самым доказана, так как V ∗ удовлетворяет всемтребованиям, предъявляемым к M max .Итак, остаётся только убедиться в (предположенном ранее) существовании подходящего M для произвольного начального пространства-времени U, то есть показать,что любое C-расширяемое U имеет выпукло C-расширяемое (или C-максимальное) расширение M, не содержащее причинных петель вне IM− (U).

Мы сделаем это так. ПустьW — множество всех возможных C-пространств вида V = IV− (U). Ясно, чтоíV ⊂ IV− (U)∀V ∈ W.Поэтому всё, что нам нужно — это найти среди элементов W выпукло C-расширяемый(или C-максимальный) и объявить его искомым M. Мы добьёмся этого, показав (опять спомощью леммы Цорна), что в W существует максимальный элемент V m . Направленнаяв прошлое причинная кривая не может покинуть V m , даже если последнее — это частьбольшего C-пространства (иначе V m не было бы максимальным). Откуда следует, чтоV m выпукло C-расширяемо или C-максимально и, следовательно, может быть выбранов качестве начального M.1)В смысле некоторого отношения порядка ⩿, которое мы введём в V.

Характеристики

Список файлов диссертации