Диссертация (1145314), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Рассмотрим для этого величину τ∗∗ , не являющуюся корнем λξ∗ . Тогда точка p∗∗ = λξ∗ (τ∗∗ )не принадлежит множеству S . Но последнее замкнуто (по предложению 14), и, следовательно, некоторая окрестность U 3 p∗∗ тоже не пересекает S . Поэтому найдётсяпрямоугольник <=δ0 0 вокруг p∗∗ , который не содержит точек R.
А значит, дополнениек области определения r⌢m оказывается открытым.Для анализа последнего утверждения, рассмотрим участок ψ между ρm⌣ 1 и ρm⌣ 1 +1(случай ρ⌢ , естественно, абсолютно аналогичен). Будем считать для определённости,что λ направлены в будущее, а номера корней растут с τ. Тогда на одном конце, а именно, вблизи ρm⌣ 1 на ψ есть точки из M6 − M, а на другом конце — из M6 . Сопоставлениеэтого факта с (2) и завершает доказательство.19. Следствие.
В условиях предложения 18i [λξ1 ] = i [λξ2 ]∀ ξ1 , ξ2 ∈ [0, 1].В частности, обсуждаемая гомотопия не может перевести сплошные кривые на рисунке 5а в пунктирные или наоборот.Итак, числа i⌢ и i⌣ — это аналоги индексов пересечения, где времениподобностьсоответствующих кривых, играет роль их трансверсальности поверхностям S .
Числаi не меняются при гомотопии, пока кривая остаётся времениподобной, а её концынеподвижными. Но в выпуклой окрестности все времениподобные кривые с общимиконцами можно связать гомотопией такого типа4) . Поэтому, если у нас есть выпуклаяокрестность O ⊂ M e , то парам точек p, q, если они связаны какой-нибудь времениподобной кривой λ pq ⊂ O, можно приписать числа i [pq]:i [pq] ⇋ i [λ pq ],4)∀p, q : p ∈ IO± (q).Действительно, каждая из них переводится такой гомотопией в геодезическую, соединяющую еёконцы: достаточно определить λξ∗ , как геодезический отрезок от λ0 (0) до λ0 (τ = ξ∗ ), соединённый сотрезком λ0.ξ∗ <τ61— 154 —n◦ 2Выпуклая C-расширяемость M6Пусть D — это совершенно простое подмножество некоторого расширения M eпространства M6 , а DM6 — связная компонента D ∩ M6 .
Чтобы доказать выпуклую Cрасширяемость M6 , нам нужно установить причинную выпуклость DM6 в D, то естьтот факт, что никакая времениподобная кривая κ ⊂ D, оба конца которой лежат вмножестве DM6 , его не покидает. А нам известно (из выпуклой C-расширяемости, соответствующих множеств), что таким свойством обладают кривые, начинающиеся икончающиеся в связных компонентах пересечений D ∩ A, где A ⇋ M, G̃ или H (последнее входит в этот список несколько условно, так как в M6 есть только область H⟜⊸,отличающаяся от H разрезом).
Наше доказательство поэтому будет основано на установлении того, что упомянутая выше κ как раз попадает в этот класс, то есть обаеё конца неизбежно лежат в одной какой-нибудь компоненте D ∩ A (во всяком случае,когда κ не пересекает S , то есть когда различие между H⟜⊸ и H несущественно). Дляэтого мы показываем в предложении 20, что κ кончается в том же A, где началась,а в предложении 21, что DM6 ∩ M и DM6 ∩ G̃⋏ связны (это не следует автоматическииз связности DM6 : пересечение двух связных множеств не обязано, разумеется, бытьсвязным). Совокупность этих двух предложений и доказывает (кроме случая A = H),что κ должна вернуться в ту же компоненту D ∩ A, откуда вышла. Остаётся показать,это сделано в предложении 23 (с использованием, конечно, выпуклой C-расширяемостиH), что и в последнем случае, то есть когда кривая начинается и кончается в DM6 ∩ H⟜⊸,эта кривая не покидает DM6 .20.
Предложение. Если точки a, b ∈ DM6 соединяются времениподобной кривой κ ⊂ D,не пересекающей ни S⌢ , ни S⌣ , то они лежат вместе в одном из трёх множеств: M, H⟜⊸или G̃⋏ .Доказательство. Соединим a и b кривой ϕ, которая — в отличие, возможно, от κ— лежит целиком в DM6 (существование такой ϕ гарантируется самим определениемDM6 ). Чтобы доказать предложение, мы покажем, что подходящим образом выбраннаяϕ, если и пересекает S в одном направлении, то потом обязательно возвращается.Но ϕ лежит в M6 , а там, что очевидно, невозможно попасть в одно из обсуждаемыхмножеств A из другого избежав безвозвратного пресечения S⌢ или S⌣ .Мы уже рассматривали пересечения поверхностей S кривыми, но речь шла только о времениподобных кривых.
Поэтому первое, что мы сделаем — это заменим произвольную ϕ на ломанную с времениподобными звеньями. Покроем для этого ϕ конечным набором совершенно простых множеств Fk ⊂ DM6 , k = 1, . . . , K, пронумерованныхсогласно правилуϕ⊂[kFk ,Fk−1 ∩ Fk 6= ∅,a ∈ F1 ,b ∈ FK ,— 155 —Рис. 6: Концы κ ⊂ D лежат в DM6 , но сама она может покидать M6 .и выберем K + 1 точку fk , так чтобы:f1 = a,fK+1 = b,fk ∈ Fk−1 ∩ Fk ,k 6= 1, K + 1,см. рисунок 6. Каждая пара fk , fk+1 лежит в общем совершенно простом множестве Fk ,и поэтому для неё найдётся точкаpk ∈ IF+k ( fk ) ∩ IF+k ( fk+1 ),pk ∈/ S .Соединив при каждом k точку pk с fk и fk+1 времениподобными кривыми σk , ηk ⊂ Fk , соответственно, мы построим непрерывную ломанную от a до b.
Поскольку эта ломаннаялежит в M6 , то её можно использовать вместо ϕ в том смысле, что для доказательства предложения достаточно убедиться, что она либо вообще не пересекает S , либопересекает равное число раз в обоих направлениях.Пусть x ∈ D — это такая точка, чтоfk , pk ∈ ID+ (x) ∀k(x существует, поскольку D совершенно просто). Из очевидного равенстваi [x, fk ] + i [σk ] = i [x, pk ] = i [x, fk+1 ] + i [ηk ]— 156 —получимi [x, fk+1 ] − i [x, fk ] = i [σk ] − i [ηk ],откуда по индукцииKKi [ f1 , fK+1 ] = i [x, fK+1 ] − i [x, f1 ] = ∑ i [σk ] − ∑ i [ηk ].k=1k=1А с другой стороны, i [ f1 , fK+1 ] = i [κ] = 0; последнее равенство вытекает из того, чтопо предположению κ не пересекает S . Следовательно,KK∑ i [σk ] = ∑ i [ηk ].k=1k=1Это равенство означает, см.
(4), что сколько раз рассматриваемая ломанная пересекаетS на участках, направленных из A, столько же раз она пресекает её и в обратномнаправлении.21. Предложение. Множества DM6 ∩ M и DM6 ∩ G̃⋏ связны.Доказательство. Докажем предложение для DM6 ∩ M. Связность DM6 ∩ G̃⋏ доказывается совершенно аналогично.Пусть a, b — пара любых точек в DM6 ∩ M. Для доказательства предложения намдостаточно было бы найти кривую ϕ ⊂ D, соединяющую a с b и целиком лежащую в M(такая кривая лежит не просто в D ∩ M, но — как следует из самого её существования— в его связной компоненте, а значит, и в DM6 , а значит, и в DM6 ∩ M). Выберем дляэтого какую-нибудь кривуюϕ0 (ξ) : [0, 1] → DM6от a до b и пару точек x, y, таких чтоϕ0 ⊂ <x, y>D[ϕ0 существует, поскольку по определению DM6 связно, а x и y — поскольку D совершенно просто, см.
замечание 1.56(в)]. Мы построим искомую ϕ, «проецируя» ϕ0 − M на S⌣ . Аименно, предположим, ϕ0 покидает M и обозначим через p и q, соответственно, первуюи последнюю точки ϕ0 , которые не принадлежат M. Рассмотрим гомотопию (5) доопределённую условием, что λξ при каждом ξ есть кривая в D от x до y, проходящая черезϕ0 (ξ) [в качестве λξ можно взять, например, ломанную состоящую из геодезическихв D: от x до ϕ0 (ξ) и от ϕ0 (ξ) до y]. Тогда из предложения 18 вытекает, что, посколькуϕ0 не покидает M6 , то обе точки, p и q, принадлежат одной кривой — это Λ(ρc⌣ ) для— 157 —некоторого c ∈ Z — лежащей в S⌣ ∩ D . Ломанная, составленная из отрезка ϕ0 от a до p,отрезка Λ(ρc⌣ ) от p до q и отрезка ϕ0 от q до b содержится в ClM6 M и малой вариацией(сдвигающей все внутренние точки этой ломанной немного в прошлое) преобразуетсяв искомую кривую ϕ.Наш план, как объяснялось в начале n◦ 2, состоит в том, чтобы вывести интересующее нас свойство κ (её неспособность вернуться в связную компоненту D ∩ M6 ,которую она покинула) из аналогичного свойства множеств A ⇋ M, G̃.
Препятствием косуществлению этого плана могли бы стать κ, у которых оба конца лежат в DM6 ∩ A,но при этом в разных компонентах связности D ∩ A. Именно существование таких κ иисключает только что доказанное предложение.22. Следствие. DM6 ∩ M и DM6 ∩ G̃⋏ суть компоненты связности (необязательно единственные, D ∩ M6 может и не быть связным) пространств D ∩ M и D ∩ G̃⋏ , соответственно.23. Предложение.
У любого выпукло C-расширяемого пространства-времени M существует расширение, которое 1) C-максимально либо выпукло C-расширяемо и 2) имеетíмножество, нарушающее причинность, совпадающее с M .Доказательство. Покажем, что указанными свойствами обладает расширение M6 .I) Сосредоточимся сначала на первом из них. Предположим, что M6 им не обладает,то есть имеет C-расширение, в совершенно простом подмножестве D которого содержится направленная в будущее времениподобная кривая κ(s) от a = κ(0) до b = κ(1),покидающая M6 :a, b ∈ DM6 ,κ 6⊂ M6(6)(поскольку κ ⊂ D, то κ 6⊂ M6 равносильно κ 6⊂ DM6 ).
Без потери общности можно считать, что κ не пересекает S : действительно, удалим из κ маленькие (то есть лежащиевместе со своим замыканием в M6 ) открытые кусочки вокруг каждого из имеющихсяпересечений κ ∩ S . От κ останется конечный (см. предложение 18) набор сегментов,не пересекающих S .
Хотя бы один из них должен удовлетворять (6). Его и выберем вкачестве нового κ.В соответствии с предложением 20 оба конца κ лежат в каком-то одном из трёхмножеств: M, G̃⋏ или H⟜⊸ . Но M и G̃ выпукло C-расширяемы, и значит, концы κ,покидающей M6 , не могут лежать в связных компонентах D ∩ M, или D ∩ G̃⋏ , а значит,в силу следствия 22, и в DM6 ∩ M, или DM6 ∩ G̃⋏ .
Следовательно,a, b ∈ DM6 ∩ H⟜⊸ .— 158 —Эту последнюю возможность мы не можем исключить тем же способом, потому что,во-первых, H⟜⊸ — в отличие от M и G̃ — не является выпукло C-расширяемым. В этомлегко убедиться, взяв H̊ в качестве его C-расширения и любую совершенно простуюокрестность какой-нибудь точки из Σ̊ — в качестве пробного совершенно простогомножества.
А, во-вторых, для H⟜⊸ не установлена связность его пересечения с DM6 .И можно представить себе, что a и b лежат в разных компонентах этого пересечения,см. обсуждение над следствием 22. Решать эти проблемы мы будем по-разному взависимости от того, пересекает ли та компонента D ∩ H⟜⊸ , которая содержит a —будем её обозначать DH⟜⊸ — поверхности S , или, что равносильно, существует криваяµ(s) : [−1, 0] → D такая, чтоµ(−1) = p ∈ S⌢ ,µ(s) ⊂ H⟜⊸при − 1 < s < 0,µ(0) = a(случай, получающийся заменой S⌢ ↔ S⌣ , совершенно аналогичен, и мы его отдельнорассматривать не будем). Если такой кривой нет, то, как мы увидим, наличие разрезав S̊⌢ ни на чём не сказывается.
Если же она существует, то положение D жёсткоограничено необходимостью избегать сингулярность, возникшую на месте удалённогомножества Σ̊. Ограничение оказывается настолько сильным, что у κ — а она, вспомним,направлена в будущее и не может пересекать S⌢ — не остаётся возможности покинутьH⟜⊸.i) Итак, предположим, определённой выше µ не существует. Это означает, чтоDM6 (мы, как обычно, обозначили так именно ту компоненту D ∩ M6 , которая содержитa) полностью лежит в H⟜⊸ . И, значит,DM6 ∩ H⟜⊸ = DH⟜⊸(7)(ср. cледствие 22).
Чтобы показать, что допущение (6) ведёт к противоречию, нам¯¯¯теперь достаточно расширить W ⇋ D ∪ H⟜⊸ до пространства W̄ = D ∪ H̄ , где H̄ — какое¯нибудь выпукло C-расширяемое расширение H⟜⊸ , притом что H̄ ∩ D = H⟜⊸ ∩ D.Будем строить искомое W̄¯ методом «кройки и шитья», см. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
