Диссертация (1145314), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ниже, а чтобы задать состояние, в котором находится поле,нужно построить представление для этих соотношений. Пространство этого представления (пространство Фока) строится, например, так. Найдём набор U = {uk } функцийuk (они называются модами), которые удовлетворяют условиям «ортонормальности»2(ul , um ) = δlm ,2(ul , u∗m ) = 0,Zгде2( f , g) ⇋ iS(g∗ ∇a f − f ∇a g∗ ) dSaи «полноты». Последнее означает, что любое гладкое комплексное решение уравненийдвижения для φ представимо суммой двух функций, одна из которых принадлежитпространству HU , а вторая — комплексно сопряжённому ему.
HU — это Гильбертовопространство с базисом U ⇋ {un } и внутренним произведением 2 (которое выбираетсяс учётом динамики, и приведённый вид имеет только в случае поля, подчиняющегосяуравнению Клейна–Гордона). Выбор базиса U фиксирует разложение φ по операторамрождения и уничтожения:φ = ∑[ak uk + a†k u∗k ]k(вспомним, что φ — распределение, поэтому и сходимость понимается в смысле обобщённых функций).
Операторы подчиняются коммутационным соотношениям[ak , ak0 ] = [a†k , a†k0 ] = 0,[ak , a†k0 ] = δkk0 ,(4)которые либо постулируются, либо получаются из соотношений, накладываемых наφ (как правило, по принципу «скобки Пуассона 7→ коммутаторы»). Вакуум |Ui теперьопределяется равенствомak |Ui = 0,∀k,а пространство Фока FU строится действием всевозможных комбинаций оператороврождения a†k на |Ui.3. Замечание.
Мы рассматриваем вакуумы, отвечающие разным выборам базиса, какразные (вот почему вакуум будет помечаться буквой, сообщающей о выбранном базисе: базису U соответствует вакуум |Ui). Однако на самом деле получающиеся теорииэквивалентны для некоторых наборов мод, а именно, для всех наборов, определяющиходно и то же гильбертово пространство HU .Могло бы показаться естественным определить тензор энергии-импульса, какрезультат подстановки φ → φ в классическое выражение. Однако φ, в отличие от φ— обобщённые функции, поэтому квадратичные комбинации типа φ2 не определены.— 169 —Возможный выход из положения — принять за тензор энергии-импульса предел какойнибудь2) хорошо определенной величины. Например, в классическом случае0Tab (p) = limDφ(p)φ(p),ab0p →p(5)где Dab — соответствующий дифференциальный оператор.
Легко проверить, в частности, что для поля (3)0cDab ⇋ ∇xa ∇x0b − 12 gab (∇xc ∇x + m2 )(6)(здесь подразумевается, что p и p0 суть точки с координатами xa и x0a , соответственно).Поэтому можно было бы наивно ожидать, что h Tab iU , где |Ui — какой-нибудь вакуум (смысл уточнения «какой-нибудь» будет расшифрован ниже) получится заменойφ(p)φ(p0 ) в (5) на h φ(p)φ(p0 )iU , или, что эквивалентно, на 12 G(1) (U; p, p0 ), где G(1) естьфункция АдамараG(1) (U; p, p0 ) ⇋ |φ(p)φ(p0 ) + φ(p0 )φ(p) U ,которая легко находится3) из канонических коммутационных соотношений (4),G(1) (U; p, p0 ) = ∑ un (p)u∗n (p0 ) + комплексно сопряжённое,(7)nОднако Dab G(1) расходится при p0 → p, и в действительности h Tab iU определяют, какрезультат вычитания из 12 Dab G(1) некоторой величины Tabdiv , которая тоже расходится вэтом пределе:hU|Tab |Uiren (p) ⇋ lim[ 21 Dab G(1) (U; p, p0 ) − Tabdiv (p, p0 )].0p →p(8)Выбор подходящего Tabdiv и оправдание этого выбора являются центральными проблемами теории перенормировок, и мы не станем в них вдаваться.
Отметим только дваособенно важных момента:I). Tabdiv не зависит от состояния поля и поэтому нет нужды искать его при вычислении разностей типа hTab iU − hTab iV .4. Замечание. Указанная независимость в сочетании с уравнением (8) означает, чтоhTab iU существенно зависит от выбора U, (или, вернее, гильбертова пространства HU ,ср. замечание 3), так как от него зависит функция Адамара. Следует поэтому подчеркнуть, что вообще говоря есть бесконечно много способов выбрать базис или, что2)Есть разные способы регуляризации.Заметим, что G(1) (U) может не быть регулярной функцией. Довольно часто её достаточно определить, как «бираспределение», то есть как функционал на D(M) × D(M) [где D(M) — пространствоосновных функций на M], который линеен и непрерывен по каждой из двух переменных.3)— 170 —то же самое, вакуум, и ни один из этих способов не является «предпочтительным» или «естественным».
Таким образом, вакуумное ожидание тензора энергииимпульса есть величина неопределённая, пока не конкретизировано, какой именновакуум имеется в виду. В случае пространства Минковского часто говорят просто овакууме, или о «стандартном вакууме», имея в виду вакуум |0i, определяемый набором√aмод ∼ eik xa −iωt , где ω = ka ka + m2 . По очевидным причинам считается (а это на самомделе — требование на Tabdiv ), что h Tab i0 =0.II). Tabdiv зависит от геометрии пространства-времени.
И, к сожалению, эта зависимость точно не известна. Поэтому столь важны немногочисленные случаи, в которых соответствующую неоднозначность удаётся преодолеть благодаря высокой симметрии или «случайным» сокращениям (ср. замечание 6).§2Вспомогательные пространства-временаПрямые вычисления hU|Tab |Uiren обычно чрезвычайно трудны.
Для их упрощения иногда используют вспомогательные, нефизические пространства. Соответствующие величины сначала находят в этих пространствах (подбирая последние так, чтобыупростить задачу) и лишь затем связывают результаты со значениями искомых величин в «настоящем» пространстве-времени. В данном параграфе обсуждаются дватаких построения.n◦ 1Конформная связьРассмотрим пару пространств-времён — (M, 1̊) и (M, 1), где 1 = Ω2 1̊, а Ω — гладкаяположительная функция на M. В общем случае нет никаких простых соотношениймежду материальными полями в этих двух вселенных. Существует, однако, важноеисключение.
Это так называемые конформно-инвариантные поля, к каковым, в частности, относится скалярное поле, подчиняющееся уравнениюn−2R φ = 0,(9) − 4(n−1)где R — скалярная кривизна, а n — размерность пространства-времени. Прямые вычисления (см. раздел 3.1 в [5]) показывают, что φ(x) удовлетворяет уравнению (9) в (M, 1),если и только если φ̊(x) ⇋ Ωn/2−1 φ(x) удовлетворяет ему в (M, 1̊). Иными словами, еслимы меняем масштабы в каждой точке M (но больше не вносим никаких изменений),то форма решений остаётся неизменной. Кроме скалярного поля (9), таким свойствомобладает, например, электромагнитное поле (правда, только при n = 4).5.
Определение. Пусть значения функционала SΩ [φ̊, 1̊, Ω] есть результат подстановки1 = Ω2 1̊,φ = Ω1−n/2 φ̊— 171 —в действие S[φ, 1]. Поле φ(x) конформно-инвариантно, если δSΩ /δΩ = 0.Независимость SΩ от Ω ведёт, среди прочего, к бесследовости тензора энергии-импульса:0=−√δSΩδSδSδS= 2gac ac + (1 − n/2)φ = 2gac ac = −g T a aδ(ln Ω)δgδφδg(предпоследнее равенство в этой цепочке есть уравнение движения поля, а обсуждениепоследнего равенства см. в [133, §21.3]). Между тем, прямые вычисления показывают,что в общем случае hT a a iU 6= 0. Это загадочное на первый взгляд явление называется конформной аномалией. Аномальный след hT a a iU зависит от трансформационныхсвойств поля и от геометрии пространства-времени (к сожалению, он модет в некоторой степени зависеть и от применяемой схемы перенормировки [5, 17]), но не отсостояния |Ui.У любого вакуума |Ůi, определяемого в (M, 1̊) набором мод {ůn }, есть соответствующее ему квантовое состояние |Ui in (M, 1), определённое набором {un = Ω1−n/2 ůn }.Состояния |Ůi и |Ui называются конформно связанными.
Поскольку величины hTab iU иhTab iŮ заданы на одном многообразии, их можно поточечно сравнивать. И оказывается[139], в четырёхмерном случаеhTâĉ iU = Ω−4 hTâĉ iŮ − c1 Ω−4 (C j âiĉ ln Ω); j i + 21 R jiC jâiĉ ln Ω+ c2 (2R jiC jâiĉ − Hâĉ ) − Ω−4 (2R̊ jiC̊ jâiĉ − H̊âĉ ) + c3 Iâĉ − Ω−4 I˚âĉ , (10)гдеHâĉ ⇋ −Râ i Riĉ + 23 RRâĉ + ( 12 Ri d Rd i − 41 R2 )gâĉ ,Iâĉ ⇋ 2R;âĉ − 2RRâĉ + ( 12 R2 − 2 R)gâĉ ,ковариантные производные справа взяты относительно метрики 1̊, а ck суть некоторыеконстанты, характеризующие поле. Значок ˚ над тензором показывает, что он найдендля метрики 1̊, а шляпки, стоящие над некоторыми индексами, означают, что соответствующая компонента найдена в (фиксированном раз и навсегда) ортонормированномбазисе (орты двух базисов — относящегося к (M, 1̊) и относящегося к (M, 1) — связаны:первые получены из последних умножением на Ω).
В специальном случае, когдаGab = 0и Ω = const,имеемR;ac = R̊;ac = 0,R = R̊ = 0,C̊ j aic ; j = R̊a[c ;i] − 16 g̊a[c R̊;i] = 0,и соотношение (10) приобретает замечательно простую формуhTac iU = Ω−2 hTac iŮ(11)— 172 —(в показателе степени стоит 2, а не 4 потому, что мы теперь используем индексы безшляпок).6.
Замечание. Равенство (11) может показаться тривиальным. Действительно, конформное преобразование метрики с постоянной Ω равносильно переходу к другимединицам измерения длины (а значит, и энергии), и (11) можно, казалось бы, написатьпросто из соображений размерности. Это, однако, иллюзия: как видно из (10), в общем случае, когда, в частности, Gab 6= 0, равенство (11) места не имеет. Природа этогоконтринтуитивного поведения hTac iU примерно та же, что и у конформной аномалии:фиксация неоднозначности в hTac iU приводит к появлению в нём члена, содержащего константу размерности массы, и теория, таким образом перестаёт (в результатеквантования) быть масштабно инвариантной.
К счастью, константа эта входит с множителем, который обращается в ноль в пространствах Эйнштейна (ситуация, упоминавшаяся в конце § 1).Связь между hTâĉ iU и hTâĉ iŮ приводит к важному результату и в двумерном случае.Дело в том, что все двумерные пространства-времена конформно плоски. Поэтомумы всегда можем выбрать (M, 1̊) плоским и, следовательно, имеющим — локально, вовсяком случае — метрику1̊ :ds2 = −dτ2 + dψ2(12)в подходящих координатах. Тогда для конформно инвариантного поля, см. уравнение (6.136) в [5]4) ,1Rgab ,hTab iU = hTab iŮ − ϑab + 48π(13)где ϑab — тензор со следующими компонентами в координатном базисеϑτψ = ϑψτ =1Ω ∂ψ ∂τ Ω−1 ,12πϑττ = ϑψψ =1Ω (∂2ψ + ∂2τ )Ω−1 .24πВ начале 90-х весьма популярной была идея, что доказать неосуществимостьпутешествий во времени можно, продемонстрировав, что с точки зрения некотороговполне «физичного» наблюдателя, плотность энергии вакуума расходится при приближении к горизонту Коши.
Изъян (по-видимому, фатальный) этой идеи состоит в том,что величина hTab iU характеризует не пространство-время, а пару — пространствовремя и квантовое состояние. В пространствах с машиной времени есть состояния срасходящейся плотностью энергии и есть с ограниченной (примеры того и другогобудут построены в главе 9). Но в точности то же самое верно даже для пространстваМинковского, а значит, не может служить признаком «защиты причинности». Соотношение (13) позволяет проиллюстрировать вышесказанное на очень простом примере.4)Разница в знаках при последнем члене объясняется тем, что в [5] иначе выбрана сигнатура метрики.— 173 —7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
