Диссертация (1145314), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Пример. Выберем какую-нибудь гладкую функцию f и на плоскости с координатами ψ, τ, использованными в (12)], определим новые координаты α ⇋ ψ + τ, β ⇋ f (ψ − τ).Тогда обычная метрика Минковского на этой плоскости — обозначим её η(ψ,τ) — приметвидη(ψ,τ) = Ω2 (β)η(α,β) ,η(α,β) :Ω ⇋ ( f 0 )−1/2 игдеds2 = dαdβ.Для состояния U, конформно связанного со стандартным вакуумом плоскости (α, β),первый и третий члены в (13) исчезают, а второй — нет. И мы видим, что даже впространстве Минковского вакуумное среднее от тензора энергии-импульса можетоказаться ненулевым (при соответствующем выборе вакуума).

Более того, подходящим выбором f можно добиться, чтобы множитель Ω обращался в бесконечность нанекоторой прямой ψ − τ = c < ∞. Тогда hTab (p)iU будет расходиться по мере приближения p к этой прямой. Очевидно, это свидетельствует о некоторой патологии |Ui какквантового состояния5) в пространстве Минковского, а не самого этого пространства.n◦ 2Метод изображенийПусть M — неодносвязное пространство-время. Представим его в виде факторΓe ∼,e — универсальное накрывающее M, а Γ — соответствупространства M = M/где Me→Me (ср. 4. § 2). Поскольку Me односвязно, то иногда легчеющая группа изометрий Me чем такого же (то есть подчиняющегосяисследовать какое-либо свойство поля φ̃ в M,тому же уравнению движения) поля φ в M.

Важно поэтому выяснить, существует ли —и если да, то какая в точности — связь между этими двумя полями. Это мы и обсудимв данном пункте.e — некоторое (вакуумное) состояние поля φ̃, а G(1) (U;e q, q0 ) — соответствуПусть |Uiющая ему функция Адамара. Предположим, что эта функция обладает симметриямиe а именно, что выполняется следующее равенствоM,G(1) (γq, q0 ) = G(1) (q, γ−1 q0 ),∀ γ ∈ Γ,eq, q0 ∈ M.(14)Тогда — при условии, что соответствующий ряд сходится — естественная проекцияe → M порождает на M функцию GΣ (p, p0 ):π: Me q, γq0 ),GΣ (p, p0 ) ⇋ ∑ G(1) (U;p ⇋ π(q),p0 ⇋ π(q0 ).(15)γ∈ΓКак и функция Адамара, GΣ симметрична и по обеим переменным удовлетворяет уравнению движения поля φ (речь идёт о свободном поле и, соответственно, линейномуравнении).

Подставляя GΣ в (8) вместо G(1) (U; p, p0 ), получим величину Tab? . Аналогия5)Другой (более известный, но и более сложный) пример — вакуумы Бульвара и Анру в пространствеШварцшильда.— 174 —с электростатикой (именно из неё заимствовано название метода) наводит на мысль,что эта величина и есть вакуумное ожидание тензора энергии-импульса. «Метод изображений» — это подход к расчету квантовых эффектов, основанный на вере в то, чтоуказанную аналогию можно продолжить до строгого результата, и что, соответственно, GΣ является функцией Адамара некоторого состояние поля φ, а Tab? — средним оттензора энергии-импульса в этом состоянии.

Метод этот восходит к [57], и к машинамe иMвремени был впервые применён, по-видимому, в работе [87], где вселенными Mслужили пространства Минковского и Мизнера, соответственно, а (скалярное) полеe выбирался стандартныйφ̃ предполагалось безмассовым; в качестве его состояния |Uiвакуум |0i пространства Минковского (см.

замечание 4). Оказывается, величина Tab? вэтих условиях расходится на горизонте Коши, из чего в [87] делается вывод, что влучшем приближении к полномасштабной квантовой гравитации горизонт окажетсясингулярностью. Позднее с помощью «метода изображений» был исследован ещё рядпространств и результаты оказывались примерно такими же. Существует, однако, рядвопросов, заставляющих усомниться в ценности этих результатов.e найдётся такое |Ui, что Tab? = hTab iU (а если8.

Вопрос. Действительно ли для любого |Uiне для любого, то для какого: в случае, когда |Ui не существует, непонятно, что такоеTab? , и о чём свидетельствует его расходимость)?Ответ на этот вопрос, по-видимому, отрицателен. Действительно, при определении GΣсущественна справедливость (14). Полный прообраз π−1 (p) состоит из бесконечногочисла точек и именно (14) гарантирует, что сумма ряда в (15) не зависит от того, какаяиз них выбрана в качестве q. (Во избежание этой проблемы можно было бы рассматe γq, γ0 q0 ), но, когда |Γ| = ∞,ривать вместо GΣ более симметричный объект ∑γ,γ0 ∈Γ G(1) (U;такой ряд едва ли сойдётся.) Однако (14) не всегда справедливо даже в простейшемслучае плоского двумерного пространства-времени и конечной |Γ|.e — цилиндр (мы опускаем требование односвязности M,e чтобы9. Пример.

Пусть Mсделать |Γ| конечной) с координатами τ, ψ, метрикой (12) и правилом отождествления (τ, ψ) = (τ, ψ + ψ0 ). Пусть, далее, |Fe i — какой-нибудь вакуум (ср. состояние |Ůi,построенное на стр. 211), определяемый базисом {uk } сu2 =√1 e−2iβ ,8πгде β ⇋2π(τ − ψ).ψ0e i, определим выбором другого набора мод в качестве базиса. АДругой же вакуум, |Vименно, набора {3k } с√3k ⇋ uk , k 6= 2,32 ⇋ 2u2 + u∗2 .— 175 —Из уравнения (7) немедленно следует, чтоe ; q, q0 ) − G(1) (Fe ; q, q0 ) =∆G(q, q0 ) ⇋ G(1) (V√1cos 2(β − β0 ) + 2 cos 2(β + β0 )4πВыбрав теперь в качестве Γ группу, порождаемую трансляцией=γ:ψ 7→ ψ + ψ0 /8e ),(так что M — это просто ввосьмеро более узкий цилиндр), мы видим, что либо G(1) (Vлибо G(1) (Fe ) нарушает (14), поскольку√2∆G(γq, q0 ) − ∆G(q, γ−1 q0 ) =cos 2(β + β0 + 14 π) 6= 0.2π10.

Вопрос. Допустим, ответ на вопрос 8 положителен. Тогда какой именно вакуумe следует выбрать для подсчёта Tab? , чтобы по ограниченности последнего судить о|Uiрегулярности горизонта Коши в полномасштабной квантовой гравитации?Действительно, физическая система, которую мы исследуем, это поле φ в пространe |Uie и φ̃ играют роль фиктивных вспомогательныхстве-времени M, в то время как M,сущностей. Никакого физического смысла они не имеют.

Непонятно поэтому, чем можe Например, состояние |0i в упомянутойно было бы руководствоваться при выборе |Ui.работе [87] выделено тем, что обладает всеми симметриями пространства Минковского, но «физическое» пространство M (то есть пространство Мизнера) этими симметриями не обладает. Аналогично, |0i обладает некоторым свойствами, желательнымидля вакуума в статическом пространстве-времени [166], но пространство Мизнера нестатично (и даже не стационарно). И так далее.Ответ на вопрос 10 критически важен: как мы видели, расходимость вакуумнойплотности энергии для какого-то вакуума ничего не говорит о реалистичности исследуемого пространства-времени и присутствует даже в пространстве Минковского,см.

пример 7. Проблема, конечно, была бы решена, если б удалось показать, что обсуждаемая расходимость присуща всем вакуумам. Такая стратегия была использованаФроловым [72]. Предположив (неявно), что для любого вакуума |Ui физического проe такой, что тензор энергии импульсаe в накрытии Mстранства M найдётся вакуум |Uieдля |Ui есть, как раз, Tab? (U)e:∀U ∃UehTab iU = Tab? (U)(это не положительный ответ на вопрос 8; здесь кванторы стоят в другом порядке), онпредпринял попытку доказать, что Tab? расходится на горизонте Коши любой машиныe а значит, и U. Ошибочность этого утверждения мывремени независимо от выбора U,продемонстрируем в главе 9 на конкретном примере6) .6)Подробный критический анализ допущений, сделанных в [72], можно найти в [98].— 176 —К настоящему времени «методом изображений» получено значительное количество результатов. Однако ни одна из указанных проблем, насколько мне известно, нерешена (хотя некоторое рассмотрение существует для случая конечной |Γ|, см.

[34]).Поэтому обсуждать эти результаты мы не станем.11. Замечание. Выше мы рассматривали две теории: одна описывала поле φ (или егоe Перваяквантовый аналог φ) в пространстве-времени M, другая — поле φ̃ в накрытии M.теория, очевидно, получается из второй, если поле поле φ определить с помощьюестественной проекции:φ(p) = φ̃[π−1 (p)],и наложить на φ̃ дополнительное условиеπ(q) = π(q0 )⇒φ̃(q) = φ̃(q0 )e∀q, q0 ∈ MЭто условие необходимо для самосогласованности: если мы хотим, чтобы φ была (однозначной) функцией точки, то при обходе по замкнутому контуру она не должнаменяться.

Можно, однако, принять точку зрения, согласно которой физическое полеописывается однозначной функцией только локально. Тогда первая теория допускаетлюбопытное обобщение. Оно получается заменой условия (∗) наπ(q) = π(q0 )⇒|φ̃(q)| = |φ̃(q0 )|e∀q, q0 ∈ M.Функция φ, определяемая равенством (∗), теперь многозначна — при обходе по замкнутому контуру фаза φ может измениться.

Описываемые такими функциями поля — ониназываются автоморфными — локально не отличаются от «обычных» (считается, чтодля локальных свойств поля изменение фазы поля на константу несуществено), нотеория тем не менее будет содержать в себе нетривиальные глобальные эффекты,см. [5]. Эти эффекты необходимо учитывать и при подсчёте плотности вакуумнойэнергии вблизи горизонта Коши неодносвязных машин времени [154].— 177 —7. Ограничения, налагаемыеположительностью энергииДо сих пор уравнения Эйнштейна не играли большой роли в нашем рассмотрении:выяснялась сама «кинематическая» возможность сверхсветовых перемещений и перемещений в прошлое.

Естественным следующим шагом было бы выяснить, нет лисреди соответствующих пространств решений уравнений Эйнштейна с реалистичнойправой частью. Вообще, любая закономерность в свойствах материи, заполняющейэти пространства была бы интересна. На сегодняшний день известна, как кажется,единственная такая закономерность: геометрия пространств-времён, содержащих лазы и/или машины времени часто1) требует нарушения слабого энергетического условия. В данной главе анализируется широко обсуждавшееся в литературе «квантовоенеравенство».

Будучи ещё одной — в дополнение к эйнштейновской — связью междутензором энергии-импульса материи и геометрией пространства, заполненного этойматерией, это неравенство налагает очень жёсткие ограничения на возможную метрику пространства-времени. В частности, если оно верно (что пока не доказано), тов некоторых «естественных» предположениях практически исключены все лазы, рассматривающиеся в этой работе. Соответствующие запреты воспроизведены в § 1, аспособы обойти их, предложенные в [107] указаны в § 2.В литературе можно найти множество кандидатов в экзотическую материю (ср.раздел 8. § 1), но в этой работе мы будем придерживаться консервативного подхода,в соответствии с которым все эти кандидаты слишком экзотичны.

Соответственно,нарушения СЭУ, если и возможны, то только за счёт квантовых эффектов — членаhTab iQ в (6.2). И наша задача в данной главе — проверить не запрещает ли этот фактэкзотические пространства так же, как и классическое СЭУ (2.2).Основания для подобных опасений существуют. Так, было показано, что в некоторых предположениях (ниже мы их подробно проанализируем) для поддержанияпузыря Алькубиерре диаметром в 100 м может понадобиться −1067 г ≈ − 12 1034 M⊙ экзотической материи [143].

Похожий результат был получен [64] для трубы Красникова1)Что значит «часто» — отдельный вопрос; как мы уже констатировали выше, соответствующие строгие утверждения ещё предстоит сформулировать и доказать.— 178 —и, как мы увидим, верен в той же мере и для проходимой кротовины [107]. Разумеется, такие огромные цифры превращают техническую проблему в принципиальную и,по существу, делают перечисленные лазы невозможными. Конечно, упомянутые расчёты не следует воспринимать слишком серьёзно: а) предположения, в которых ониполучены весьма спорны, см.

ниже, и б) обсуждаемые пространства-времена былипредложены, как иллюстрации к концепции сверхсветовых перемещений. Поэтому,один из критериев, которым они были призваны соответствовать — простота. Вполнеможно заподозрить, что именно эта простота конструкции и имеет побочным следствием нежелательные свойства источников. Тем не менее аргументы, приводящие кстоль впечатляющим оценкам, заслуживают самого внимательного анализа. B в данной главе, следуя в основном [107, 108], мы показываем их несостояткльность.§1Квантовые ограничения на лазыn◦ 1Квантовое неравенствоПредставим, что наблюдатель, свободно падающий в пространстве-времени M,измеряет (перенормированное) вакуумное ожидание плотности энергии % ⇋ hT0̂0̂ iV некоторого квантового поля.

Характеристики

Список файлов диссертации