Диссертация (1145314), страница 35
Текст из файла (страница 35)
§ 6. А именно, вырежем из M e область W , то есть будем рассматривать последнюю, как никуда не вложенное самостоятельное пространство. Если D ∩ H⟜⊸ несвязно [что случится несмотря на(7), если несвязно D ∩ M6 ], перейдём к пространству Wраскл , «расклеив» все компоненты связности кроме DM6 (как и раньше, соответствующие области в Wраскл мы будемпо-прежнему обозначать D и H⟜⊸ ). Тем самым мы гарантируем себе, чтоD ∩ S⌢ = ∅.(8)В качестве последнего шага вспомним, что H⟜⊸ получалось вырезанием поверхностииз пространства H̊, см. § 4 n◦ 2,H⟜⊸ = π♢ (H̊ − Cl S̊⌢ ),— 159 —и заклеим эту щель обратно, то есть образуем новое пространствоW̄¯ ⇋ Wраскл ∪π♢ H̊.W̄¯ по признаку 1.61 есть пространство-время, так как границей Wраскл в W̄¯ являетсяS̊⌢ , а она в силу (8) отделена от границы π♢ (H̊) (которая лежит в D).
Как легко проверить, так определённое W̄¯ , действительно, удовлетворяет всем наложенным на неготребованиям [с π♢ (H̊) в качестве H̄¯ ].ii) Допустим теперь, что µ существует. При рассмотрении этого случая нам будетудобно работать с H̊, чьи «хорошие свойства» не испорчены разрезом. Имея это в виду,определим ξ, как непрерывное отображениеξ:H⟜⊸ ∪ S⌢ → H̊,−1совпадающее на H⟜⊸ (где оно — изометрия) с π♢ , и напомним договорённость, см.примечание 11, писать X̊ в качестве синонима ξ(X).Противоречие, к которому, как мы сейчас покажем, приводит предполагаемоесуществование µ, состоит в том, что κ, вопреки своему определению (6), не можетв этом случае покинуть M6 , а точнее некоторое его подмножество K.
Определениепоследнего начнём с выбора точек, y ∈ D и x ∈ H⟜⊸ таких, чтоκ, µ ⊂ ID− (y),(µ − p) ⊂ IH+⟜⊸ (x),(9)см. рисунок 7. Точки y и x̊ (последняя определяется так же, как x, но с ˚, поставленнымp−+Рис. 7: Множество H⟜⊸ . Светло-серая область — IH⟜⊸ (x). Тёмная — IH⟜⊸ (S⌢ ). Промежуточная — их пересечение K.
Тонкий вертикальный отрезок от µ(s) до S⌢ изображает[γs ), а γ — это геодезическая, которая, как нам нужно показать, не лежит в D. Её−прошлая конечная точка принадлежит I − (S⌢ ) ∩ H⟜(S⌢ ).⊸ , но не IH⟜⊸над каждым множеством в определении) всегда найдутся, так как D и H̊ совершенно— 160 —просты, а лежащие в них, соответственно, µ, κ и µ̊ компактны. C другой стороны IH̊− (µ̊)∩IH̊+ (x̊) целиком входит в H̊⋎ (то есть времениподобные кривые от x̊ до µ̊ не пересекают S̊⌢ ),а следовательно, в область определения π♢ , и мы можем — в согласии с обозначением —выбрать π♢ (x̊), в качестве x, фигурирующего в (9). Теперь, наконец, можно определитьупомянутое множество, захватывающее, как мы докажем, κ:K ⇋ IH−⟜⊸ (S⌢ ) ∩ IH+⟜⊸ (x).Для дальнейшего нам ещё понадобится некоторое семейство геодезических. Аименно, рассмотрим кривую µ̃(s), получаемую сдвигом каждой точки µ(s) при s 6= 0вдоль какой-нибудь направленного в прошлое пути, начинающегося в этой точке иостающегося в ID− (y) ∪ H⟜⊸ (смысл этой манипуляции в том, что µ̃, в отличие от µ непересекает S⌢ , и к ней можно поэтому применить следствия 19, см.
ниже). Образуемновую кривую χ(s), соединив µ̃ с κ:(µ̃(s), при s ∈ [−1, 0];χ(s) ⇋κ(s) при s ∈ [0, 1].Нас будут интересовать направленные в будущее геодезические γs ⊂ D, идущие каждая от χ(s) к y. Констатируем для начала, что γ−1 пересекает S⌢ . Это вытекает изследствия 19, в котором в качестве µ0 , µ1 , λξ1 и λξ2 взяты, соответственно, y, µ̃(−1), γ−1и кривая, составленная из времениподобного отрезка от y до p и упомянутого вышепути от p до µ̃(−1).Будем обозначать через [γs ) — участок γs от χ(s) до первого пересечения с S⌢ , самоэто пересечение (убедиться в его существовании можно с помощью следствия 19, взявна сей раз µ1 ⇋ y, µ0 ⇋ µ̃, и λξ ⇋ γ ξ+1 ) в [γs ) не включается.
Определим Σ, как множество2всех значений параметра s, при которых[γs ) ⊂ K.(10)Тогда, наше утверждение (о том, что κ захвачена K) слабее, чем утверждение, чтоΣ = [−1, 1]. Мы докажем это последнее, продемонстрировав, что Σ замкнуто (его открытость в [−1, 1] вытекает с очевидностью из открытости K, а Σ 6= ∅ следует уже изтого, что по построению χ(−1) = µ̃(−1) ∈ K).Пусть sm ∈ Σ, m = 1, 2, . . . — последовательность, сходящаяся к некоторому s∗ . Геодезическая γs∗ времениподобна (по определению y) и, как мы только что обсуждали,пересекается с S⌢ . Таким образом, χ(s∗ ) ∈ I − (S⌢ ) ∩ H⟜⊸ . В сочетании с (очевидной)принадлежностью χ(s∗ ) ∈ IH+⟜⊸ (x) это почти доказывает наше утверждение (о том, чтоχ(s∗ ) ∈ K, а значит, Σ замкнуто и κ, как следствие, захвачена K).
Проблема состоит втом, что нам нужно доказать принадлежность χ(s∗ ) множеству IH−⟜⊸ (S⌢ ), а оно можетоказаться неравным I − (S⌢ ) ∩ H⟜⊸ . Итак, нам осталось исключить возможность того, чтоγs∗ где-то между S⌢ и χ(s∗ ) покидает H⟜⊸ , см. рисунок 7.— 161 —Выберем на каждой из γsm параметр τ так, чтобыγsm (0) = y,1(3sm (0), V ) = −1,где 3sm ⇋ ∂τ (0), а V — какой-нибудь (неважно какой, но одинаковый для всех m) времениподобный вектор.
Компактность шара{1(3, 3) 6 0, 1(3, V ) = −1}обеспечит существование такой подпоследовательности {s j } ⊂ {sm }, что скорости 3s jсходятся к некоторой 3∗ . Геодезическую, испущенную из y c начальной скоростью3∗ , обозначим γlim . Решения уравнения геодезической от начальных данных зависятнепрерывно, поэтому для любого τγlim (τ) = lim γs j (τ j )приj→∞τ j → τ, s j → s∗ .(11)Выбрав τ j так, чтобы γs j (τ j ) лежали между y и χ, обнаружим, что все точки в правойчасти равенства принадлежат компактному множеству 6χ, y>D , а значит, γlim (τ) ⊂ D.Но D выпукло и y с χ(s∗ ) соединяются единственной лежащей в ней геодезической.Это доказывает, что γlim = γs∗ .Точно так же [γ̊lim ) есть предел — в смысле (11) — последовательности отрезков[γ̊s j ).
Но каждый из них лежит в компактном множестве Cl K̊, а значит в нём же заключён и [γ̊lim ). Более того, последний лежит в C̊ ⇋ Cl K̊ − S̊, поскольку S̊ ахрональна в H̊,а γ̊lim времениподобна. C̊ целиком входит в область определения π♢ и, следовательно,[γlim ) = π♢ [γ̊lim ) ⊂ π♢ C̊ ⊂ H⟜⊸ . Что и требовалось доказать.2) Осталось доказать, что M6 удовлетворяет и второму требованию предложения.Пусть ` ⊂ M6 — замкнутая причинная кривая.
Она не может находиться целиком внеM, так как проекция π6 (см. самое начало раздела n◦ 1) отображала бы её в причиннуюпетлю, лежащую в H, что невозможно, так как последнее совершенно просто. Нораз ` пересекается с M, которое является множеством прошлого в M6 , то ` ⊂ M, см.замечание 1.29.§6Доказательство теоремыПредложение 23 уже довольно близко к тому, что мы хотим доказать. Основныеотличия состоят в следующем:1.
C-расширение, существование которого мы доказали, может быть выпукло C-расширяемым, тогда как теорема утверждает существование C-максимального;2. M выпукло C-расширяемо, а теорема формулируется для произвольного U.— 162 —Соответственно, мы, сначала, усилим должным образом предложение 23 и, затем,покажем, что любое U, будучи максимально продолжено в прошлое, превращается втребуемое M.24. Предложение. У любого выпукло C-расширяемого пространства-времени M естьíC-максимальноеíрасширение M max , в котором M max = M .Идея доказательства близка к использованной Шоке-Брюа и Геароучем в [46]. Мырассмотрим множество всех выпукло C-расширяемых (либо C-максимальных) расширений пространства M, в которых причинность не нарушается вне M, и введём на этоммножестве отношение порядка.
Существующий — по лемме Цорна — максимальныйэлемент этого множества и окажется искомым пространством-временем.Доказательство. Рассмотрим множество V всех пар (V, ζ), где V расширение пространства M, которое(а) C-максимально либо выпукло C-расширяемо,íí(б) имеет V = M ,а ζ — изометрическое вложение M в V . Любые два элемента (V1 , ζ1 ) and (V2 , ζ2 ) множества V определяют изометрию ζ2 ◦ ζ−11 , отображающую ζ1 (M) в ζ2 (M).
Мы введём вV следующее отношение порядка (ср. [27]): (V1 , ζ1 ) ⩿ (V2 , ζ2 ), если ζ2 ◦ ζ−11 может бытьпродолжено до изометрии ζ1,2 , отображающей V1 в V2 .25. Комментарий. Из (V1 , ζ1 ) ⩿ (V2 , ζ2 ) следует, конечно, что V2 есть расширение V1 . Обратное, однако, неверно. Как уже отмечалось в 1. § 1, в общем случае M можно вложитьв V более чем одним способом (некоторые из них могут даже отображать M на одно ито же подмножество V и быть, тем не менее, разными). И вполне может случиться так,что (V1 , ζ1 ) ⪀ (V2 , ζ3 ). Вот почему множество пространств-времён нельзя упорядочитьпросто по включению.Пусть {(Vα , ζα )}, α ∈ A — произвольная цепь в V.
Наша задача — показать, что у этойцепи есть верхняя грань (V ∪ , π ). По лемме Цорна, см. [11], это влечёт за собой сущеMствование в V максимального элемента V ∗ . Таким образом, существование упомянутойверхней грани будет означать, что у M есть C-расширение V ∗ , которое, во-первых, будучи элементом V, удовлетворяет условиям (а), (б) и, во-вторых (из максимальностив V), не может быть расширено до большего C-пространства, удовлетворяющего им.
Азначит, по предложению 23 и до большего C-пространства вообще. Это и означает, чтоV ∗ C-максимально и может быть выбрано в качестве M max .Предостережение. Максимальность элемента в семействе V и максимальность пространства-времени — разные вещи.— 163 —Итак, рассмотрим множество VA ⇋эквивалентности:x∼y⇔∃ α1 , α2 :SA Vαи введём на нём следующее отношениеx = ζα1 ,α2 (y) илиy = ζα1 ,α2 (x).Определим V ∪ , как фактор-пространство V ∪ ⇋ VA \ ∼ (то есть для получения V ∪ мы«вклеиваем» пространство-время в его расширение, потом то расширение — в ещёбольшее и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
