Диссертация (1145314), страница 31
Текст из файла (страница 31)
С точностью до техническихдеталей A ⩿ B означает A ⊂ B.— 139 —§3Выпукло C-расширяемые множестваНачнём с введения понятия, которое играет центральную роль в дальнейшихрассуждениях. «Выпуклая C-расширяемость»— это аналог причинной выпуклости, нов отличие от последней является внутренней характеристикой пространства, а не еговложения в большее пространство, ср. стр.
32, хотя как мы увидим, в значительнойстепени определяет свойства границы соответствующего множества в этом большемпространстве.Пусть C-расширение M e пространства-времени M имеет вид D ∪ M, где D совершенно просто. Обозначим через D⋎ — связную компоненту D ∩ M.3. Определение. M выпукло C-расширяемо, если любое так определённое D⋎ являетсяпричинно выпуклым подмножеством D.Вообще говоря, ни выпуклые, ни внутренне глобально гиперболические множества, даже если они C-расширяемы, не обязаны быть выпукло C-расширяемыми,как доказывают своим существованием, соответственно, прямоугольник на плоскостиМинковского, и множество, построенное в примере 1.51.
Однако4. Предложение. Если внутренне глобально гиперболическое пространство M выпукло и C-расширяемо, то оно и выпукло C-расширяемо.Доказательство. Рассмотрим времениподобную кривую γ ⊂ D, соединяющую пару точекp ≺ p0 ,p, p0 ∈ D⋎(условие, что M C-расширяемо, гарантирует существование обсуждаемых D и D⋎ . Собственно, этим его роль и исчерпывается). Мы должны показать, что вся γ лежит в D⋎или — это равноценно — что непустое и, очевидно, открытое (в топологии γ) множествоγ ∩ D⋎ замкнуто.
Иначе говоря, нам нужно лишь доказать, что если точки сходящейсяпоследовательности sk k = 1, 2 . . . лежат в γ ∩ D⋎ , то там же лежит и s ⇋ lim sk .Для этого заметим сначала, что всякая sk принадлежит множеству 6p, p0 >D⋎ .Действительно, по предложению 1.11 множество D⋎ выпукло. Значит, найдётся геодезическая λ psk ⊂ D⋎ от p до sk . Эта геодезическая причинна и направлена в будущее[поскольку из самого существования γ следует принадлежность sk ∈ ID+ (p) и упомянутая геодезическая, таким образом, в выпуклом множестве D соединяет p с точкой еёхронологического будущего], так что sk ∈ JD+⋎ (p). Аналогично доказывается и принадлежность sk ∈ JD−⋎ (p0 ).Из внутренней глобальной гиперболичности M и D, соответственно, вытекает,что и 6p, p0 >D , и 6p, p0 >M компактны.
А sk , как мы только что показали, принадлежат— 140 —и тому, и другому множеству. Следовательно, s ∈ 6p, p0 >D ∩ 6p, p0 >M и, тем более,s ∈ γ∩D∩M(принадлежность s ∈ γ вытекает просто из замкнутости γ, последняя, будучи непрерывным образом компакта [0, 1] компактна, см. [1, предложение III.3.9]). Все связныекомпоненты D ∩ M открыты. Поэтому та, что содержит s, содержит и некоторые из sk .А значит, это как раз компонента, обозначенная нами D⋎ .5.
Следствие. Если совершенно простое пространство-время C-расширяемо, то оно ивыпукло C-расширяемо.Разумеется, выпукло C-расширяемое пространство должно быть C-расширяемым, но,как мы увидим на примере M6 , может и не быть выпуклым, то есть утверждение обратное доказанному предложению, вообще говоря, неверно.
Одна из причин состоит втом, что выпуклая C-расширяемость является, условно говоря, характеристикой «приповерхностной» (то есть лежащей «около границы») области пространства-времени, ане его «глубин». Это же обстоятельство, влечёт за собой весьма регулярную структуру границы выпукло C-расширяемой области: «в основном» она ахрональна. Точки, вкоторых это даже локально не так (по причине, понятной из рассмотрения области D3на рисунке 1) немногочисленны.6.
Предложение. Пусть M1 есть C-расширение некоторого выпукло C-расширяемогопространства-времени M, а U — произвольная окрестность некоторой точки из BdM1 M.Тогда найдётся совершенно простое подмножество P ⊂ U, и связная компонента P⋎множества P ∩ M такие, что BdP P⋎ является (непустым) замкнутым вложенным ахрональным (n − 1)-мерным C1− подмногообразием в пространстве-времени P.Доказательство. Выберем U совершенно простым (как вытекает из предложения1.59, это не приведёт к потери общности) и обозначим через UM какую-нибудь связнуюкомпоненту U ∩ M. Тогда из выпуклой C-расширяемости M следует (по определению)причинная выпуклость UM в U, то есть равенствоUl = ∅,Ul ⇋ IU+ (UM ) ∩ IU− (UM ) −UM .В пространстве-времени UM могут найтись непродолжимые времениподобные кривые,которые продолжимы как кривые в U.
Множество всех (будущих, и прошлых) конечных точек таких кривых обозначим B+ and B− , соответственно. Очевидно, обамножества лежат в BdU UM , но могут и не исчерпывать его, см. рисунок 2а.Выберем какую-нибудь точку q ∈ B+ (одновременно B+ и B− быть пустыми немогут в силу следствия 1.60, поэтому если B+ = ∅, то с этого места и до конца доказательства заменим «прошлое» ↔ «будущее» и + ↔ −). q лежит в IU+ (UM ), а значит, в этом— 141 —PP(а)(б)Рис. 2: а).
Верхняя их двух кривых, встречающихся в r изображает B+ , а нижняя —B− . Точка r не принадлежит ни одной из них. б) MÀ получается из M приклеиваниемH̊ (при этом получается R) и последующим отклеиванием всех кроме одной связныхкомпонент пересечения приклеенной области с исходным пространством (после чего эта приклеенная область переименовывается в H, чтобы отличать её от P ⊂ M1 исамостоятельного — никуда не вложенного — пространства H̊).же множестве лежит и некоторая её совершенно простая окрестность P.
Эта окрестность не пересекается с B− [поскольку последнее является подмножеством IU− (UM )−UM ,и, следовательно, его пересечение с P должно было бы лежать в — пустом — множестве Ul ]. А это означает, что времениподобные кривые в пространстве P ∩UM , не могутиметь прошлых конечных точек в P.У множества P ∩ M может быть несколько связных компонент. Выберем компоненту P⋎ так, чтобы она лежала в UM .
Тогда, если направленная в прошлое времениподобная кривая, лежащая в P, покидает P⋎ , она обязана покинуть и M, а значит (в силунашего выбора P⋎ ), и P ∩UM . Но последнего она, как мы только что доказали, сделатьне может. Следовательно, P⋎ — множество прошлого в P, и наше утверждение следуетиз предложения 1.28.Множества P и P⋎ , определённые в ходе доказательства, и многочисленные пространства, изометричные им, будут использоваться и в дальнейших построениях. Поэтомуподчеркнём: P отличается от U, в основном, тем, что первое достаточно мало, чтобыполностью лежать в IU+ (UM ). Именно это расположение и позволяет P избежать попадания в неё «изломов» границы M, аналогичных точке r на рисунке 2а.— 142 —§4Построение M6В этом параграфе для произвольного выпукло C-расширяемого пространствавремени M мы строим C-расширение M6 специального вида: M6 тоже выпукло C-расширяемо (это будет доказано позже) и не имеет замкнутых причинных кривых крометех, что лежат в M.
Построение M6 производится в несколько этапов. Сначала мы приклеиваем к M совершенно простую область H, получая таким образом C-расширение,которое мы обозначим MÀ (см. рисунок 2б). Затем к «верхней» (то есть лежащей внеM) части MÀ мы приклеиваем ещё одну копию H (при этом для обеспечения хаусдорфовости получающегося расширения M♢ — оно изображено на рисунке 3а — мы выкидываем соответствующее трёхмерное подмножество). И наконец, меньшее совершеннопростое множество G приклеивается к M♢ , см. рисунок 4. Смысл этих манипуляцийсостоит в следующем. Само пространство-время M выпукло C-расширяемо. Приклеенное к нему H — тоже.
Однако границы этих пространств (в каком-нибудь расширении)могут пресекаться и именно такие пересечения (см. множество D2 на рисунке 1) могутприводить к тому, что MÀ не будет выпукло C-расширяемо. Мы же удалим эти «опасные» точки и расширяем M (чтобы не нарушить условия C, области, приклеиваемые кнему при этом, выбираются изометричными уже имеющимся) до такого пространстваM6 , чтобы удалённые точки отсутствовали в любом расширении M6 (ср.
1. § 6.1. n◦ 2).7. Примечание к обозначениям. Для построения M6 и анализа его структуры нампонадобится огромное количество новых обозначений. Чтобы не запутаться в них(см. также примечание 11), я стараюсь обозначать множества, имеющие «общее происхождение», одинаковыми буквами, снабжёнными разными значками.
Значки приэтом выбираются так, чтобы их форма напоминала об особенности данного множества. Например, M♢ есть объединение M и некоторого совершенно простого множества(оно в простейшем случае имеет форму ромба), а MÀ отличается от M на множество(это «верхняя часть» упомянутого ромба), имеющее в простейшем случае форму треугольника.n◦ 1Пространство-время MÀ .8. Предложение. У любого выпукло C-расширяемого пространства-времени M есть Cрасширение MÀ , такое что:(а) MÀ = M ∪ H, где H совершенно просто, а H⋎ ⇋ M ∩ H связно;(б) M множество прошлого или будущего в MÀ ;(в) Граница S ⇋ BdMÀ M есть связная замкнутая вложенная ахрональная C1− гиперповерхность в MÀ .— 143 —Пусть M1 , U, P⋎ и т. д.
— те же, что и в предложении 6. Идея построения MÀ состоитв том, чтобы вырезать область R ⇋ M ∪ P из M1 , а затем «отклеить» от R все связныекомпоненты P кроме P⋎ , см. рисунок 2. Наша задача состоит в аккуратном осуществлении этой хирургии и попутном введении нескольких объектов, которые пригодятсяпозднее.Доказательство. Пусть M̊ и H̊ — пространства изометричные, соответственно, M и P:φM : M → M̊,φP : P → H̊,φM , φP — изометрии.Тогда, см. 1.
§ 6, только что определённое пространство-время R можно представить,как результат «приклеивания» H̊ к M̊:R = M̊ ∪φMP H̊,φMP ⇋ φM ◦ φP −1 :H̊ → M̊.Сужение φMP на связную компоненту H̊⋎ = φP (P⋎ ) её области определения [которойявляется подмножество φP (P∩M) области H̊] обозначим через φ. Склеив с его помощьюте же H̊ и M̊, мы и получаем искомое пространство MÀ :MÀ = M̊ ∪φ H̊.Далее, поскольку за пределами этого доказательства пространство R нам больше непонадобится, изменим немного обозначения. Условимся, чтоH ⇋ πÀ (H̊),H⋎ ⇋ πÀ (H̊⋎ ),M ⇋ πÀ (M̊),где πÀ — каноническая проекция M̊ ∪ H̊⋎ на MÀ , хотя до сих пор мы обозначали таксоответствующие подмножества R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
