Диссертация (1145314), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ОткудаS⌢ = BdM6 G̃⋏ .Теперь (почти все) указанные свойства этих поверхностей следуют из предложений12 и 1.28.Наша следующая задача — показать, что эти поверхности не могут быть продолженны: грубо говоря, Σ, удалённая из пространства-времени в процессе построенияM6 , не может быть «вклеена» обратно; в этом смысле Σ порождает упомянутую вышесингулярность.14. Предложение. В любом расширении M e пространства-времени M6 множества S⌢ иS⌣ замкнуты.Доказательство. Докажем предложение для поверхности S⌣ , случай S⌢ абсолютноаналогичен. Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что некоторая направленная в прошлое геодезическая γ, проходящая через край S⌣ (если б он былнепуст), должна была бы попасть одновременно и в H⋎ (как предельная кривая одногосемейства геодезических; это геодезические спускающиеся, огибая левый белый кру♢жок на рисунке 3а справа), и в H ⋎ (как предел другого семейства — тех геодезических,что огибают кружок слева), что невозможно: эти две области не пересекаются.Предположим, {pm } — это такая последовательность точек, что, вопреки нашемуутверждению:pm ∈ S⌣ ,lim pm = z ∈ (M e − S⌣ ).m→∞(3)Обозначим через p̀m образы pm в M̀À , то есть p̀m ⇋ ψM (pm ).
Теперь вспомним, что попостроению ClH G компактно, а значит, и ClM̀À G̀ компактно тоже. Следовательно, какего замкнутое подмножество, компактно и Cl[ψM (S⌣ )]. Откуда следует существованиеточки p̀:lim p̀k = p̀ ∈ Σ̀,k→∞где { p̀k } — подпоследовательность { p̀m }, а Σ̀ стоит вместо всего Cl[ψM (S⌣ )], поскольку p̀по предположению (3) не лежит в ψM (S⌣ ).Выберем теперь точку ò в IH̀+ ( p̀) и рассмотрим последовательность геодезическихγ̀k (τ) = expò (τv̀ k ), соединяюших ò с p̀k (существование этих геодезических обеспеченотем, что H̀, в котором лежат и ò, и p̀k , выпукла). Параметр τ выберем на каждой изних так, чтобыγ̀k (1) = expò (v̀ k ) = p̀k .— 150 —Эти геодезические времениподобны (по крайней мере начиная с некоторого k0 ) и поэтому не пересекают S`-- (иначе они бы имели больше чем по одному — включая p̀k —пересечению с ахрональной, см.
предложение 8(в), поверхностью ψM (S)). Поэтому каждая γ̀k лежит в области определения проекции π♢ и отображается ею на геодезическуюγk ⊂ H, которая начинается в o ⇋ π♢ (ò) ⊂ M6 , имеет начальную скорость v k = dπ♢ (v̀ k ) ипри τ = 1 проходит через pk .Поскольку все p̀k , также как и p̀, находятся в выпуклом множестве H̀, а там expявляется диффеоморфизмом, имеемгде v̀ ⇋ exp−1ò ( p̀),lim v̀ k = v̀,k→∞а гладкость π♢ обеспечивает равенствоlim v k = v,где v ⇋ dπ♢ (v̀).k→∞Рассмотрим теперь геодезическиеγ̀(τ) ⇋ expò (τv̀)иγ(τ) ⇋ expo (τv).Пусть — положительное число, столь малое что, во-первых, каждую из этих геодезических можно продолжить до значений параметра τ = 1 + [что эти геодезическиеможно продолжить до каких-то τ > 1 следует из самого существования z = γ(1) иp̀ = γ̀(1)] и, во-вторых, γ̀(1 + ) всё ещё лежит в H̀⋎ .
Тогда по непрерывностиγ(1 + ) = lim γk (1 + ) = lim π♢ [γ̀k (1 + )]k→∞k→∞= π♢ [lim γ̀k (1 + )] = π♢ [γ̀(1 + )] ∈ H⋎ .k→∞Однако, поскольку p̀ ∈ Σ̀, мы можем найти последовательность точекq̀k ∈ S`-- ,lim q̀k = p̀,k→∞♢и, повторив все рассуждения с заменой p̀k на q̀k получить γ(1 + ) ∈ H ⋎ .
Это противоречие и доказывает наше утверждение для S⌣ .Итак, мы установили, что пространство-время M6 содержит неполные геодезические,которые нельзя продолжить ни в каком расширении M6 .15. Следствие. M6 сингулярно.Теперь мы выясним, как времениподобные кривые могут пересекать поверхности S⌢ и S⌣ . К сожалению, про последние нам известно только, что они ахрональны, ане что они пространственноподобны (ср. стр. 28). Поэтому нам придётся доказывать— 151 —некоторые факты, которые были бы очевидными (и даже стандартными) будь S⌢ и S⌣хотя бы C1 .
А именно, мы покажем, что при непрерывной деформации времениподобной кривой количество её пересечений с поверхностями S⌢ и S⌣ остаётся неизменным,пока сама кривая остаётся времениподобной, а её конечные точки не пересекают соответствующую поверхность. Кривая не может ни покинуть S⌣ (то есть левая сплошнаякривая на рисунке 5а не может превратится в пунктирную: ей помешает сингуляр-Рис. 5: Сплошные линии нельзя непрерывно продеформировать в пунктирные, оставляя их всё время времениподобными, а их концы неподвижными. Серая полоска справа — Λ(Q).ность), ни изогнуться так, чтобы породить сразу пару новых пересечений (в силусвоей времениподобности кривая пересекает ахрональную поверхность S⌣ «трансверсально»).16. Определение.
Пусть λ(τ) — времениподобная кривая в расширении M e пространства-времени M6 . Мы назовём _-корнем (или ^-корнем), значение параметра τi , прикотором λ(τi ) принадлежит S⌢ (соответственно, S⌣ ). Количество _- и ^-корней λ будемобозначать i⌢ [λ] и i⌣ [λ], соответственно.Очевидно, для любой лежащей в M6 направленной в будущее кривой λ от a до bвыполняется следующее:(1 при a ∈ ClM6 M, b ∈/ M;i⌣ [λ] =(4а)0 в остальных случаях.(первая строчка следует из равенства S⌣ = BdM6 M, см.
(2), приводящего в этом случаек ограничению i⌣ [λ] > 1 и следствия 13, означающего, что i⌣ [λ] 6 1; вторая — из того,что в силу предложения 1.24, часть λ, лежащая к прошлому от λ ∩ S⌣ , должна лежатьв M, остальная часть, напротив, должна лежать M6 − M). Аналогично,(1 при b ∈ ClM6 G̃⋏ , a ∈/ G̃⋏ ;i⌢ [λ] =(4б)0 в остальных случаях.— 152 —Обозначим черезгомотопиюΛ(ξ, τ) :Q квадрат [0, 1] × [0, 1] на плоскости (τ, ξ) и рассмотрим такуюQ → Me,(5)что для каждой фиксированной ξ0 кривая λξ0 (τ) ⇋ Λ(ξ0 , τ) времениподобна и направлена в будущее. «Горизонтальные» кривые обозначим µτ0 (ξ) ⇋ Λ(ξ, τ0 ).
Выясним дляначала некоторые свойства множества R всех точек (τα , ξα ) ∈ Q таких, что τα являетсякорнем кривой λξα . Очевидно, Λ(R), будучи пересечением двух замкнутых множествΛ(R) = Λ(Q) ∩ (S⌢ ∪ S⌣ ), замкнуто и само [и в M e , и, как следствие, в Λ(Q)]. А значит, понепрерывности R замкнуто в Q.17. Обозначение. По аналогии со знаком ± введём знак . Выражение или утверждение, содержащее этот знак, должно пониматься, как пара выражений (утверждений),соединённых «и»: в одном все следует заменить на ⌣, а во втором — на ⌢.18.
Предложение. Если кривые µ0 и µ1 не пересекают ни S⌢ , ни S⌣ , то R представляетсобой конечное число непересекающихся непрерывных кривых ν m , проходящих от ξ = 0до ξ = 1. Это графики непрерывных функцийτ = r m (ξ),0 < r m < 1m = 1, . . . , m < ∞.Кривая (не обязательно причинная) ψ(s) ⊂ Λ(Q) c концами на кривых ρm 1 ⇋ Λ(ν m1 ) иρm 2 ⇋ Λ(ν m2 ) покидает M6 , если m1 < m2 .Доказательство.
Рассмотрим точку p∗ = (τ∗ , ξ∗ ) ∈ Q и предположим, что τ∗ есть, _для определённости, корень кривой λξ∗ . Тогда, по определению, λξ∗ (τ∗ ) ∈ S⌢ = BdM6 G̃⋏ .Но λξ∗ направлена в будущее, а G̃⋏ — множество будущего в M6 , так что для любоговсё ещё находится в M6 , адостаточно малого δ 6= 0 (настолько малого, что λ|τ−τ∗ |6δ0 < τ∗ ± δ < 1)λξ∗τ∗ −δ<τ6τ∗⊂ M6 − ClM6 G̃⋏ ,λξ∗τ∗ <τ6τ∗ +δ⊂ G̃⋏ ,см. предложение 1.24. Отсюда, в силу непрерывности Λ найдётся такое = (δ) 6= 0,что при |ξ − ξ∗ | 6 любой отрезок λξтоже начинается вне G̃⋏ , проходит по M6 и|τ−τ∗ |6δкончается в G̃⋏ . Пользуясь (4), заключаем, что в прямоугольнике<=δ ⇋ {τ, ξ : τ, ξ ∈ [0, 1], |τ − τ∗ | < δ, |ξ − ξ∗ | < }для каждого ξ есть ровно по одному корню3) .
Откуда немедленно следует, чтоа) R ∩ <=δ есть график некоторой непрерывной (ведь мы можем выбрать сколь угодноИменно это и есть тот факт, ради которого мы требуем, чтобы λ были времениподобны, а не простопричинны.3)— 153 —малую δ) функции τ = r⌢m (ξ) с областью определения |ξ − ξ∗ | 6 ;б) количество корней λξ∗ конечно. Действительно, в противном случае они имели быточку конденсации в некоторой τ∞ ∈ [0, 1], причём τ∞ , в силу замкнутости R, былобы корнем, а это противоречило бы либо условиям предложения (при τ∞ = 0, 1), либосуществованию <=δ (при τ∞ 6= 0, 1);в) ν m с разными m не пересекаются.Установим теперь, что область определения каждой из функций r⌢m — это весь интервал [0, 1] или, эквивалентно, что эта область определения замкнута (что она открыта, мы только что видели — каждая точка входит в неё с некоторой окрестностью).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
