Диссертация (1145314), страница 36
Текст из файла (страница 36)
д.). Через π, как обычно, обозначим проекцию, отображающую каждую точку p ∈ VA в соответствующую ей точку V ∪ (то есть на класс эквивалентности,содержащий p). Разумеется, сужение π на любое Vα есть изометрия.1). Что V ∪ — пространство-время, очевидно (формальное доказательство можнополучить с помощью предложения 1.61). Более того, C-пространства Vα образуют егооткрытое покрытие [с этого момента мы перестаём делать различия между Vα и ихобразами π(Vα ) в V ∪ ], и, значит, V ∪ есть C-пространство, см.
критерий 2.3(в).2). Докажем теперь, что, если V ∪ C-расширяемо, то оно выпукло C-расширяемо.Рассмотрим для этого его произвольное C-расширение V e , и произвольное совершеннопростое подмножество D такового. Обозначим через ϕ кривую, лежащую в D ∩ V ∪ (азначит, и в связной компоненте этого множества), а через κ — произвольную времениподобную кривую с теми же концами.
Поскольку ϕ и κ компактны, мы можем выбратьиз цепи {Vα } конечную подцепь {Vαk }Vα1 . . . ⩿ Vαk ⩿ . . .Vαk00такую, что обе эти кривые лежат в kk=1Vαk , а значит, и в любом Vβ , мажорирующемэту подцепь. Но Vβ по предположению выпукло C-расширяемо и, следовательно, κ ⊂(D ∩Vβ ), то есть κ целиком расположена в связной компоненте DVβ (той же, в которойлежит ϕ) пересечения D ∩ Vβ . А значит, и в связной компоненте пересечения D ∩ V ∪ .Это, по определению, и означает, что V ∪ выпукло C-расширяемо.
Таким образом, оноудовлетворяет требованию 24(а).3). Пусть, ` ⊂ V ∪ — замкнутая причинная кривая. Поскольку она компактна, мы,как и в предыдущем пункте, заключаем, что она содержится в любом Vβ , мажори-Sííрующем некоторую — подцепь {Vα }. Это означает (поскольку V β = M ), что в V ∪ нетпричинных петель, которых не было бы в M. Таким образом, и требование 24(б) удовлетворено тоже.Итак, нам остаётся доказать, что у любого C-пространства U есть C-максимальноелибо выпукло C-расширяемое расширение M, не имеющее нарушений причинностивне U.
Рассмотрим для этого множество W всевозможных C-расширений пространства-времени U, имеющих вид V = IV− (U). Очевидно, для любого C-расширения V e такогопространства выполняется включениеV ⊂ IV−e (U)— 164 —Применяя к W только что использованную процедуру, можно показать, что в нём дляотношения порядка ⩿ есть максимальный элемент M.
Допустим, M e есть некотороеC-расширение M. Тогда предыдущее включение в сочетании с максимальностью M вW влечёт за собой равенствоM = IM−e (U)(12)А оно, в частности, означает невозможность для направленной в прошлое времениподобной кривой в M e покинуть M. Следовательно, M причинно выпукло в любом своёмC-расширении. И, значит, M — C-максимальное, либо выпукло C-расширяемое расíширение U. А включение M ⊂ IM− (U) тривиально следует из (12). Что (в сочетании спредложением 24) и доказывает теорему 2.26. Замечание. Наше требование W ⊂ C призвано обеспечить выполнение C в M.
Но изза него максимальность в W гарантирует равенство (12) только для M e ∈ C. Вот почемумы использовали в доказательстве выпукло C-расширяемые пространства, а не их —геометрически, возможно, более естественную — разновидность, которая получаетсяупразднением требования M e ∈ C в определении 3.— 165 —6. Квантовые поправкиДо сих пор наше рассмотрение носило чисто классический характер. Нет, однако, оснований считать такое рассмотрение исчерпывающим даже в начальной глобальногиперболической области M r . Действительно, всякая причинная кривая, покинувшаядостаточно маленькую окрестность U точки из M r , уже не возвратится туда, и в этомсмысле физика в U совпадает с физикой в обычном пространстве Минковского. Нопо мере приближения к горизонту Коши U, чтобы оставаться достаточно малой вэтом смысле, должна быть всё меньше и меньше1) , ср.
4. § 4. Когда соответствующиеразмеры окажутся планковскими, отклонения от классической картины могут стать,как представляется, заметными (см. также [162]). Таким образом, квантово-гравитационные эффекты, вполне возможно, важны для нашего предмета изучения. К сожалению, как именно учитывать эти эффекты, сейчас неясно, и ожидать здесь быстрогопрогресса не приходится. Оптимистичнее выглядит ситуация с «полуклассической»гравитацией, то есть с подходом (предположительно оправданным при размерах Uмного больших, чем планковские), в котором учитываются только поправки, вызванные квантованием материальных полей, в то время как пространство-время считаетсяклассическим. В рамках полуклассической гравитации (см.
[5, 9, 166]) принимается,что метрика по-прежнему удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, а поле, находящееся в чистом квантовом состоянии |Q i, добавляет в их правую часть слагаемое равноеперенормированному среднему оператора ТЭИ в этом состоянии, то есть hQ |Tab |Q iren(для простоты обозначений я буду часто писать h Tab iQ вместо hQ |Tab |Q iren ). Соответственно, уравнения Эйнштейна принимают видGab = 8πTabC + 8πh Tab iQ ,(1)где TabC — это вклад классической материи, то есть материи, квантовыми свойствамикоторой можно пренебречь.
hQ |Tab |Q iren зависит от типа поля и его состояния, но такжеи от глобальной геометрии пространства-времени, что делает уравнение (1) намногоболее сложным, чем (2.1); на сегодня известно всего лишь несколько его решений.Многое может быть сказано как за, так и против полуклассического приближения,1)Разумеется, разговоры о размере области в псевдоевклидовом случае требуют известной осторожности, см., в частности, пункт II) ниже.— 166 —см., например, [5]. Мы не станем прослеживать эту дискуссию и примем уравнение (1)как факт.
Подчеркнём, что даже в макроскопических задачах, а нас интересуют именно они, переход от классических уравнений Эйнштейна к полуклассическим может несводиться к малым численным поправкам:I). Квантовые эффекты способны порождать качественно новые явления. Так,например, мы думаем, см. гипотезу 3.10 и теорему «о защите причинности» [85], обсуждавшуюся сразу за следствием 4.19, что существование компактно порожденныхмашин времени и проходимых кротовин требует нарушения СЭУ.1. Замечание. Под СЭУ мы, по-прежнему, будем понимать условиеGab 3a 3b > 0∀ 3 : 3a 3a 6 0.Для решений классических уравнений Эйнштейна (2.1) оно эквивалентно (2.2), а вполуклассическом случае приобретает видTabC 3a 3b + h Tab iQ 3a 3b > 0∀ 3 : 3a 3a 6 0.(2)Экзотической будет называться материя, нарушающая именно это неравенство.
Альтернативой было бы оставить название СЭУ за неравенством (2.2), а появление дополнительного члена в правой части уравнений Эйнштейна воспринимать, как свидетельство того, что в полуклассическом случае кротовины, лазы и пр. уже не требуютэкзотической материи, а не того, что таковой может стать и обычная материя приучёте её квантовых свойств.Необходимость нарушения СЭУ классической материей означало бы, фактически, запрет соответствующих пространств.
Однако для квантованных полей нарушение любых локальных энергетических условий — вполне рядовая ситуация. Соответствующие явные примеры рассмотрены в 7. § 1 n◦ 3 и в начале главы 9. Независимо отвеличины этих нарушений, а как мы увидим ниже, нарушение СЭУ нелегко охарактеризовать какой-нибудь величиной, сам факт, что плотность энергии может оказаться отрицательной, требует пересмотра представлений о невозможности машинвремени и лазов. И действительно, в главе 8 мы увидим, что квантовые эффектыприводят к проходимости кротовины, считающейся в классическом случае эталономнепроходимости.II). Нет оснований считать квантовые эффекты слабыми, когда речь идет о планковских, скажем, масштабах. А благодаря лоренцовой сигнатуре метрики пространства-времени такие масштабы могут оказаться вовлеченными в по-видимому макроскопическую задачу.
Например, то, что можно назвать «расстоянием между входамив кротовую нору» стремится к нулю даже у макроскопической кротовины в процессееё превращения в машину времени, см. 7. § 1 n◦ 3.— 167 —2. Замечание. В полуклассической гравитации вакуум это не состояние с наинизшейэнергией и не самое симметричное состояние. Грубо говоря, поле представляется комбинацией возбуждений, и вакуумом объявляется всего лишь состояние, в котором нетни одного из этих возбуждений (при этом не имеется в виду, что TabC = 0; слово «вакуум» относится к квантованному полю).
Поэтому нет ничего удивительного в том, чтодовольно часто h Tab iQ0 6= 0, даже когда |Q i — вакуум, явление, называемое «поляризацией вакуума». Таким образом, тензор энергии-импульса вакуума h Tab iQ0 влияет черезуравнения Эйнштейна на геометрию пространства-времени.
Вот почему в полуклассической гравитации плотность энергии вакуума столь важна, хотя от всей остальнойфизике её можно благополучно положить равной нулю. Эта плотность, как правило,настолько превышает вклад отдельных частиц в полный h Tab iQ , что в (1) под |Q i частопонимают именно вакуум, не оговаривая этого специально.Квантовые поля — объект очень развитой и изощрённой науки, из всех результатов и концепций которой нам понадобятся только значения поправок h Tab iQ в нескольких простейших ситуациях. Поэтому мы ограничимся в этой главе изложением — какможно более коротким; детали и обоснования можно найти в таких учебниках, как[5], [9] и [166] — некоторых методов подсчёта h Tab iQ . В ходе изложения будут введены обозначения и формулы, которые понадобятся в дальнейшем. По исполнении этойпрограммы мы обратимся, в § 2 n◦ 2, к анализу некоторого специального метода нахождения h Tab iQ важного тем, что он очень широко используется в работах по машинамвремени.
Как будет показано, метод этот некорректен [98].§1Прямое вычислениеНачнём с основной процедуры, предписываемой квантовой теорией поля для нахождения вакуумного среднего от тензора энергии-импульса в глобально гиперболическом пространстве-времени с поверхностью Коши S.
Ограничимся свободным скалярным полем.В классической теории это поле описывалось бы гладкой функцией φ, удовлетворяющей определённому уравнению движения, а его тензор энергии-импульса былбы некоторой квадратичной комбинацией φ и её производных. Например, для поля «сминимальной связью» уравнением движения является( − m2 ) φ = 0,а тензор энергии-импульса даётся выражениемTab = φ,a φ,b − 21 gab (gcd φ,c φ,d +m2 φ2 ).(3)— 168 —Квантовое же поле описывается «операторнозначной обобщённой функцией» φ, которая рассматривается, как аналог φ. Операторы подчинены определённым коммутационным соотношениям, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
