Диссертация (1145314), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При отсутствии ограничений типа (2б) в таком пространстве-времени всегда можно найти γ достаточнодлинную для того, чтобы неравенство (3) нарушилось.С другой стороны, (2б) не позволяет получить ограничения типа (6), а значит, и(8) на самые интересные (с точки зрения использования в качестве лазов) кротовые норы. Действительно, рассмотрим геодезическую, расположенную между входами в статическую кротовину (пусть это будет вертикальная геодезическая γ на рисунке 3.3б).Отрезок γ может быть сколь угодно коротким, но если ∆ достаточно близка к d (а как— 183 —обсуждалось в замечании 3.11, именно кротовины с ∆ ∼ d являются наилучшим средством межзвёздного сообщения), то конечные точки γ будут соединены причиннойкривой λ. Эта кривая проходит через кротовину и поэтому негомотопна γ, см.
рисунок 3.3б. Существование такой λ гарантирует, что J + (γ) ∩ J − (γ) топологически неявляется шаром и, следовательно, условие (2б) нарушено. Итак, выбирая подходящую∆, можно сделать максимальную длину γ, допускаемую условием (2б), произвольномалой. Это разрушит весь вывод (6), который основывался на предположении, что|τ2 − τ1 | ≈ T, см. оговорку, сделанную между (4) и (5).Дополнительным достоинством кротовых нор с ∆ ∼ d, является то, что, как можно предположить по аналогии с пространствами L3 × S1 , см. ур. (9) и замечание 3,поляризация вакуума приводит к появлению большой — порядка (∆2 − d 2 )−2 — отрицательной плотности энергии, что избавляет от необходимости искать дополнительныеисточники экзотической материи.
Итак, чем перспективней кротовая нора как лаз,тем меньшие ограничения накладывает на неё квантовое неравенство.n◦ 3«Экономные» лазыТеперь покажем, что планковские плотности энергии, если они и характеризуют лаз, ещё не подразумевают с необходимостью энергий порядка той, что указанав (8). Даже если все предположения, сделанные в § 1 верны, можно предъявить проходимую кротовую нору, поддерживаемую экзотической материей в количестве всего−лишь Etot≈ 10−2 M⊙ . Более того, вопреки наивным ожиданиям [ср.
рассуждения надформулой (8)] макроскопическое тело может, в принципе, быть переправлено черезмикроскопическую кротовую нору (или лаз другого типа), что позволяет снизить зна−чение необходимой Etotдо скромной величины в ≈ 10−4 г.«Портал»Нарушение слабого энергетического условие в кротовой норе, как мы выясняли вконце 3. § 2 n◦ 1, неизбежно, постольку поскольку в ней обязательно есть области, гдесходящаяся конгруэнция световых лучей становится расходящейся. Сейчас, однако,наша задача — найти пути не соблюдения СЭУ, а всего лишь минимизации его нарушения.
В частности, в кротовой норе W это нарушение происходит в горловине —области, в которой сфера Σt отождествляется с Σt0 0 , причём «внутренняя поверхность»одной становится «внешней поверхностью» другой, см. рисунок 3.4. Очевидно поэтому, что искать «наименее экзотические» кротовины стоит среди тех, у которых Σ привыворачивании наизнанку (то есть, при превращении в Σ0 ) меняет форму как можноменьше.
Исходя из этих — пусть и несколько расплывчатых — соображений мы рассмотрим в данном параграфе особую разновидность пространств-времён — порталы.Так мы назовём статические пространства с поверхностями Коши типа изображённых— 184 —на рисунках 1 и 2. В (2+1)-мерном случае это поверхность, которую можно построить,aРис. 1: Поверхность одновременности (2+1)-мерного портала.точно как пространство W из примера 3.2, только B и B0 теперь не круги, а овалы (тоесть, длинные стороны отверстий на рисунке 1 — это отрезки). Поверхности Коши в(3+1)-мерном случае получаются из двумерных вращением относительно оси a или,что то же самое, заменой шаров B и B0 , использованных в описании W , см.
3. § 2 n◦ 1и особенно рисунок 3.4, на цилиндры («донышки» у цилиндров плоские, но места ихсоединения со стенками должны быть сглажены, именно там пространство и искривлено).Рис. 2: «Расстояние между обручами» (определённое, например, как длина змеи) равноd. Радиус каждого из них есть ρ0 , а толщина — h.Портал можно рассматривать и как некоторое приближение к предельному случаю — пространству-времени H, которое строится так. Из евклидова пространстваE(n−1) удаляются два одинаковых (n−2)-мерных диска, лежащих в параллельных плоскостях (пусть эти плоскости будут перпендикулярны отрезку, соединяющему центрыдисков).
Далее, правый берег каждого из разрезов склеивается с левым берегом другого. Получившееся пространство A (с точностью до сигнатуры метрики это пространство ДП) и есть пространственноподобное сечение искомого H = L1 × A. Последнееназвано в [161] «диэдральной кротовой норой» и, действительно, во многих отношениях напоминает таковую. От кротовин, которые мы рассматривали до сих пор, оноотличается двумя важными особенностями:— 185 —(а). H всюду плоское. Таким образом, оно вообще не нуждается в экзотической мате−рии: Etot= 0;(б).
H не глобально гиперболично: оно имеет замкнутую струноподобную сингулярность3) . Так что H по определению не является лазом.Чтобы на основе H построить портал, вырежем из A узкую окрестность сингулярности и заменим её полноторием (явное выражение для метрики приведено в A. § 4) поаналогии с тем, как «регуляризуют» коническую сингулярность, заменяя ее гладкойзакруглённой «шапочкой». Полноторие уже не плоское, однако его толщина h очень−мала, и величина Etotоказывается умеренной.
Её можно грубо оценить исходя из того,1G00 растёт, как h−2 (поскольку тензор Эйнштейчто, когда h стремится к нулю, % = 8πна состоит из вторых производных метрики). В то же время объём полнотория прификсированной длине убывает, как h2 . Поэтому полное количество энергии, сосредоточенной в обруче, остаётся при таком стремлении примерно постоянным, и значитможет быть найдено, если положить h и % равными единице. Таким образом для под−дерржания кротовой норы рассматриваемого типа достаточно eEtot≈ 1 m ≈ 10−3 M⊙ экзотической материи. Эта ничтожная [в сравнении с (8)] величина соизмерима с энергиейсверхновой.Приём Ван Ден Брука−На самом деле, Etotможно уменьшить ещё на десятки порядков. Идея [159] состоит втом, чтобы воспользоваться капсулой, которая была бы, с одной стороны, достаточновместительной для транспортировки человека, но, с другой стороны, достаточно маленькой для перемещения её с помощью микроскопических [то есть с þ ≈ 1, см.
(8)]лазов. Как ни странно, оба эти требования могут быть удовлетворены одновременно,и это не потребует больших количеств экзотической материи.Рассмотрим метрикуds2 = −dt 2 + dl 2 + r(l)2 (dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 ),l > 0.(10)При l = 0 точки с разными ϑ и ϕ, но одинаковыми t отождествляются, так что этопространство-время является не кротовой норой, а всего лишь R4 в сферических координатах.
Тензор Эйнштейна для метрики (10) легко найти с помощью, например,формул (14.52) книги [13]:1 − r0 2 − 2rr00,Gtˆtˆ =r22r00Gtˆtˆ + Gr̂r̂ = −,r1 − r0 2 − rr00Gtˆtˆ + Gν̂ν̂ =,r2где ν ⇋ ϕ, ϑ.3)Вообще говоря, сингулярности нельзя приписать определённую форму, но в данном — исключительно простом — случае это, по-видимому, можно сделать строго [110].— 186 —(а)(б)Рис.
3: (а) Изменение радиуса капсулы с расстоянием до центра. (б) С помощью всеголишь ≈ MPl экзотической материи капсулу планковского (с точки зрения внешнегонаблюдателя) размера можно сделать сколь угодно вместительной.Зададимся тремя положительными числами l0 < l1 < l2 , и выберем гладкую неотрицательную функцию r(l), вогнутe. при и только при l ∈ (l1 , l2 ) и имеющую — единственный — корень в l = 0. Подчиним её дополнительному условию|r0 | 6 1при l ∈ (l0 , l1 ),r0 = 1при l ∈/ (l0 , l2 ),см. рисунок 3б.
При такой r, как легко видеть, СЭУ нарушается в и только в сферическом слое N : l ∈ (l1 , l2 ). Очевидно, «внешний радиус» r(l2 ) этого слоя и его объём V (N)могут быть планковских размеров, даже когда «внутренний радиус» l0 макроскопичен.−В простейшем случае потребуется всего Etot≈ MPl ≈ 10−7 кг экзотической материи дляподдержания такого пространства-времени [107] (хотя, конечно, ни о какой его «реалистичности» речь не идёт). Более того, если мы снимем (временно) требование, чтобыпространство было плоским при больших l, то такой «карман» можно будет построитьвообще без экзотической материи [91].Замечание. Мы использовали пространство Ван Ден Брука не как лаз, а лишь какоправдание для рассмотрения микроскопических — и, значит, экономных — лазов.Можно, однако, использовать подобный приём и для непосредственной модификациилазов. Например, количество экзотической материи необходимое для поддержания−трубы Красникова, было уменьшено таким способом до Etot≈ 1030 г [81].— 187 —8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
