Диссертация (1145314), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Самоподдерживающаяся кротоваянораВ этой главе строится модель пустой сферически симметричной кротовой норы. Впредположении слабости соответствующих квантовых поправок исследуется её испарение. Оказывается, оно так влияет на метрику, что в некотором диапазоне параметровзадачи кротовина становится проходимой на макроскопическое (хотя и малое в нашеймодели) время [109].§1ВведениеПри изучении обсуждаемых в этой работе проблем одним из центральных является, очевидно, вопрос о существовании проходимых кротовых нор. Подходы к решению этого вопроса, оказывается, сильно различаются в зависимости от того, рассматриваем ли мы всерьёз возможность создания норы некоторой гипотетической высокоразвитой цивилизацией. Если да, то остаётся только удерживать эту нору от коллапса,и к настоящему моменту уже накоплено множество идей, как это можно было бы сделать.
Так, например, кротовина может быть стабилизирована точно подобранными импульсами «чистого фантомного излучения», подаваемыми в кротовину одновременнос обеих сторон [86].Мы можем, однако, оставить высокоразвитую цивилизацию в стороне1) и уточнить вопрос: допустим, во Вселенной есть «вечная» (то есть возникшая тогда же, когдаи вся остальная Вселенная и по тем же причинам) кротовая нора. Проходима ли она (ибыла ли проходима в прошлом)? Но и этот вопрос, как выясняется, поставлен слишкомобщо.
Существует огромное количество более или менее новаторских теорий, в которых слабое энергетическое условие нарушается. Если какая-нибудь из них верна, тов соответствующих условиях у кротовой норы появится шанс просуществовать достаточно долго. Например, статические кротовины оказываются возможными в теориях1)В глобально гиперболическом пространстве-времени новая кротовина возникнуть не может,см. предложение 1.47, а про эволюцию неглобально гиперболических пространств сегодня не известнопрактически ничего, см. обсуждение в 2.
§ 3.— 188 —с участием классических «духов» [61] или классического скалярного поля [35], в «космологии на бране» [43] и т. п. Однако всё это нисколько, на мой взгляд, не прибавляеткротовым норам реалистичности.В этой главе мы подойдём к обсуждаемому вопросу с позиций максимальнойприземлённости и (следуя [152]) сформулируем его так: будет ли проходимой «естественная» кротовина в рамках обычной (полу)классической гравитации без апелляциик сколько-либо экзотическим идеям? Может оказаться, разумеется, что ответ зависитот начальных условий: какой формы была кротовая нора в момент своего появления,чем была заполнена и пр. Сегодня вряд ли можно судить, какие условия более, а какиеменее реалистичны, поэтому их мы тоже выберем максимально простыми (в надежде, что чем проще нора, тем выше шансы, что она похожа на реальную).
А именно,будем считать, что рассматриваемая кротовина Mwh :1) сферически симметрична2) ,2) пуста (в смысле отсутствия классического вещества: TacC = 0) и3) имеет геометрию близкую к той, которую имела бы без учёта квантовых эффектов(то есть, в данном случае к шварцшильдовской). Классически эта кротовина непроходима, см. § 2 n◦ 1, и нам нужно только выяснить, не меняется ли это её свойство засчёт квантовых поправок.1. Замечание. Выбранный набор упрощающих предположений может, естественно,быть оспорен. Действительно, известны по меньшей мере две работы, в которых отрешения требовалась статичность [152], а условия 3) или 2,3), напротив, ослаблялись. Ни одна из этих попыток, однако, не была удачной: кротовина, построенная водной работе [88] имела длину ≈ lPl /2 и радиус горловины ≈ 67lPl , вторая работа [104]содержала существенную математическую ошибку.Для описания появления кротовой норы в Mwh мы в качестве начального условиявведём поверхность E разделяющую пространство-время, и положим ту часть Вселенной, что лежит к будущему от неё, полуклассической, подчиняющейся уравнениям Эйнштейна Gab = 8πh Tab iQ .
Всё остальное считается terra incognita, им мы интересоваться не будем. При этом на самой E геометрия предполагается точно шварцшильдовской. Подчинив E нескольким по-видимому естественным условиям, см. стр. 194, мысведём всё разнообразие рассматриваемых кротовин к 4-параметрическому семейству,члены которого различаются исходными массами m0 , временами появления одного идругого входов (эти времена определяются в некоторой выделенной системе координати никак не связаны друг с другом) и, наконец, некоей величиной h.
Последняя показывает, насколько близка к коллапсу была (бы в классическом случае) новорождённаякротовина. Как выясняется, для самосогласованности построенной модели необходимо, чтобы она появилась уже почти сколлапсировавшей. Отсюда заранее ясно, что эта2)Естественным следующим шагом было бы рассмотреть вращающиеся кротовой норы, см. [94].— 189 —модель не описывает кротовины, время проходимости T trav которых велико. Оказывается, однако, — и это один из важнейших фактов, обсуждаемых в данной работе —что среди кротовых нор, удовлетворяющих этому критерию, есть и проходимые[109].И хотя T trav достаточно мало, оно макроскопическое и, значит, внутримировая версияMwh , мы рассматриваем её в § 4, вполне может угрожать причинности.§2n◦ 1Модель и предположенияШварцшильдовское пространство-времяВопрос о том, может ли проходимая сферически симметричная кротовина бытьпустой, и каковы тогда будут её свойства, сводится в классическом случае к вопросу отом, является ли шварцшильдовское пространство проходимой кротовиной, и каковыего свойства.
Теорема Биркгофа гарантирует, что других (максимальных, односвязных и глобально гиперболических) сферически симметричных решений уравненийЭйнштейна Gab = 0 просто не существует. А поскольку весь наш подход основан наидее, что в полуклассическом приближении пустая кротовина Mwh является возмущением классической, то есть шварцшильдовской, мы начнём с некоторых базовыхфактов, касающихся последней (подробнее о её геометрии можно почитать в [13] и[10, 112], а о поведении квантованных полей на фоне этой геометрии — в [5, 15, 44]).Сделанные на их основе предположения о геометрии Mwh формулируются в следующем пункте.ГеометрияКрускаловским или максимально продолженным шварцшильдовским называется пространство-время MSc с топологией R2 × S2 и метрикойds2 = −F̊ 2 dudv + r̊2 (dϑ2 + cos2 ϑ dϕ)u, v ∈ R,(1)r̊ > 0,где ϕ и ϑ координатизируют сферу, аF̊ 2 ⇋ 16m20 x−1 e−x ,r̊ ⇋ 2m0 x.(2)m0 — положительный3) параметр, называемый массой, а функция x(u, v) определяется(неявно) уравнениемuv = (1 − x)ex .3)(3)Решения, соответствующие m0 6 0, существуют, но они имеют совершенно другую форму и насинтересовать не будут.— 190 —MSc содержит две глобально гиперболических области, в которых радиус r меняется от 2m0 до бесконечности, это II ⇋ {u > 0, v < 0} и IV ⇋ {u < 0, v > 0} (относительнопонятия радиуса см.
замечание 3.7). Перейдём в области IV, см. рисунок 1а, от координат u, v к r̊ и tS ⇋ 2m0 ln(−v/u). Тогда метрика этой области приобретает привычныйKKK11K2(а)2(б)Рис. 1: (а) Сечение ϕ = const, ϑ = const крускаловского пространства-времени. Причинная кривая в любой точке лежит внутри угла со сторонами параллельными осям uи v. Таким образом, квадранты IV и II причинно не связаны. (б) Сечения tK = const,ϕ = const того же пространства. Время c1 лежит в диапазоне (−1, 1).
Видно, что этопространство-время на самом деле представляет собой (эволюционирующую) кротовую нору.видds2 = −(1 − 2mr̊ 0 )dtS2 + (1 − 2mr̊ 0 )−1 dr̊2 + r̊2 (dϑ2 + cos2 ϑ dϕ)tS ∈ R,r̊ > 2m0 ,и мы, в частности, видим, что квадрант IV — асимптотически плоское пространство.Оно статично, и каждое его пространственноподобное сечение tS = const — это (немногодеформированное) евклидово пространство E3 без шара радиуса 2m0 .
В максимальномрасширении под сферой может скрываться сингулярность, или коллапсар, или, как вшварцшильдовском случае, вход в кротовину. Это же верно и для квадранта II, изометричного IV. А значит, шварцшильдовское пространство, действительно, представляет собой межмировую кротовую нору — две статические «вселенные», квадрантыII и IV, соединённые эволюционирующей горловиной, квадранты I ⇋ {u > 0, v > 0} и— 191 —III ⇋ {u < 0, v < 0}.
В этом его качестве пространство Шварцшильда часто называютмостом Эйнштейна–Розена.2. Замечание. Всё пространство-время в целом нестатично. Хотя на нём и действуютизометрииp 7→ p̆,где u( p̆) = Cu(p), v( p̆) = C−1 v(p)∀C > 0,(4)но в I и III соответствующий вектор Киллинга пространственноподобен.Чтобы лучше представить геометрию MSc , рассмотрим его сечения tK ⇋ 21 (u + v) =const. Вначале, то есть когда tK мало, каждое такое сечение есть пара цилиндров R1 × S2с радиусами 2-сфер, варьирующимися в диапазоне (0, ∞), см. сечение tK = c2 на рисунке 1б. Затем, при tK = −1 [это значение легко находится из (3)] цилиндры сливаютсяв единую поверхность — две асимптотически плоские области, соединённые «туннелем», см.
сечение tK = c1 . Радиус «горловины» (самой узкой части «туннеля») растёт от0 до 2m0 (это последнее значение он принимает при tK = 0) и затем начинает убывать.Горловина становится уже и уже, её радиус стремится к нулю при tK → 1. Она разрушается и у нас опять появляется пара несвязаных сингулярных поверхностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
