Диссертация (1145314), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Подставимв (43) формулуZ µ√ − 1 Z √µ2c µ̀2dµ́c µ2 −1= 2ce 2c(44)e dµ̀ ≈ e 2c ,µ00 y(µ́)которая верна (асимптотически) при больших √µ2c (см, например, [22]). ПолучимZZZ µ?µ2e 1 dµ́dµ́ ece 1 dµ́? −1=−≈ (1 − µ1? e 2c ),v0 = û(µ? ) =v0 µ? y(µ́) v0 0 y(µ́)v00 y(µ́)откуда и найдём (в неявном виде) искомую оценку:√µ2? −112c = 1 − h−1 &c.eµ?(45)(46)Из неё, в частности, следует, что µ? очень близко к 11 − µ? < 21 c| ln c|(47)[только для того, чтобы этот вывод был справедлив даже для наименьшего h, мы и√ввели c в (9)] и, значит, в частности, использование (44) было законно.Поздний этап испаренияТеперь рассмотрим участок горизонта с û > v0 .
На нём, в отличие от начального участка, x̄ > 1, так что вместо (38) имеем x̄ − 1 11h(48) ūx̄ = ū (1 − 1/x̄) < v0 = ec v0 .Подставим (33) в определение ξ, см. (34а),2 1 2−µ2 1− −1 6 ξ 6− −1 6.−1 6x̄ x̄µ x̄µКак явствует отсюда,|ξ| 6 max{2/µ − 1, 1} = 2/µ − 1.(49)Подставляя неравенства (48) и (49) в (35) и пренебрегая вкладом отрезка (µ? , 1) в Ξ [мыимеем на это право в силу (43)], получимZZZe µ? |ξ| x̄ − 1 h µ? −1 1 − µ́ 1hh µ? dµ́|Ξ| 6dµ́ 6y+dµ́ 6 Z +.v0 µ y ūx̄ c µµ́µ́cc µ µ́yПренебрежём теперь ещё и первым членом в правой части, см. (42):h|Ξ| 6cZµ?e1/m0µ́2 −12ch 1µ́ dµ́ = e− 2c2c−1Zµ2?2c12cm20eζ ζ −1 dζ ≈h µ2?2c−1e≈ h − 1.µ2?(50)Последнее равенство следует, при учёте (47), из (46), а предпоследнее — из того, чтоZabeµ́ dµ́ eb≈µ́bпри a ≈ 1 и больших b.— 208 —§4Проходимость кротовиныПо мере удаления от E u-координата точек горизонта монотонно растёт, см.
следствие 4. Поэтому û∞ , упоминавшееся в § 2 n◦ 4 — это просто û(µ = 0). Последнее ужелегко оценить из (36), (50) и получить таким образомev0 +hv0Zµ?0dµ0e6 û∞ = û(µ = 0) 6 v0 +0y(µ )(2 − h)v0Z0µ?dµ0y(µ0 )[v0 — это вклад начального участка (µ? , 1)] или, в силу (44) и (46)v0 (2 − h−1 ) 6 û∞ 6 v0 (2 − h)−1 .(51)Нас, как было условлено выше, интересуют только кротовые норы, удовлетворяющиеусловию (9). Среди прочего это подразумевает неравенство h > 1, и, значит, (51) влечётза собой û∞ > v0 . Итак, в соответствии с признаком (15), см. стр. 200, обсуждаемаякротовая нора проходима.В зависимости от значения h её время проходимости варьируется [см. (14) и (51)]отTLtrav = 0при h = 1(мы пренебрегаемTLtrav = αm0 ,√c) до1.3 6 α 6 3.8при h =√5+1.2Вопрос о том, насколько можно доверять полученному результату, то есть насколько наша модель самосогласованна, и предположение слабого испарения справедливо, очень труден.
Мы не будем даже пробовать решить его. Но одно ограничение очевидно: если кротовина испаряется слишком бурно, то может оказаться, что горизонтысближаются настолько быстро, что в конечном счёте пересекаются, делая тем самыммодель внутренне противоречивой [поскольку нарушается предположение (10б)]. Проверим, что этого не происходит во всяком случае при h, удовлетворяющих условию (9),поскольку при таких hû(µ) < v̂(µ),(52)и, значит, весь правый горизонт лежит в правой полуплоскости.
(а левый, соответственно, – в левой). Действительно, это неравенство очевидно выполняется для всехû 6 v0 , то есть для всех µ > µ? . В то же время при µ 6 µ?µ3? −1µ2? −1e 2c1 − h−1e 3c112µ? e 3c (µ? −1) (µ? + 2 ) =û/v 6 û∞ /v(µ? ) 6≡612 − h (2 − h)µ?2−h— 209 —[второе неравенство следует из комбинации (51) и (29), а последнее — из (9). Последнееже равенство получено с помощью (46) и (47)].
Итак, (52) выполняется и горизонты,соответственно, не пересекаются.Время проходимости TLtrav макроскопично. Оно, однако, оказывается очень маленьким: даже для сверхмассивных чёрных дыр, предположительно расположенныхв центрах галактик, речь идёт о минутах. И всего о нескольких микросекундах длянор звёздных масс.7. Замечание. Из нашего рассмотрения не следует, что малое время TLtrav характернодля пустых (сферически симметричных) кротовин вообще.
Просто те из них, для которых это, возможно, не так, нами не рассматривались: вся наша модель построена наидее, что геометрия кротовины слабо отличается от шварцшильдовской. Иначе говоря,малость TLtrav — это не столько результат, сколько изначальное предположение.Как средство сообщения столь быстро разрушающиеся кротовые норы выглядят неслишком многообещающе6) . Тем не менее, их существование — особенно во внутримировой версии — может оказаться чрезвычайно важным. Рассмотрим этот вопросподробней.Для того, чтобы приспособить нашу модель к описанию внутримировой кротовойноры, окружим сначала горловину поверхностьюC = {q ∈ Mwh :r(q) = þ},þ 2m0 .Эта поверхность представляет собой объединение двух непересекающихся цилиндровL1 × S2 , один из которых, CL лежит в левой асимптотически плоской области, а другой,CR — в правой:C = CL ∪ CR ,CL(R) ⊂ II(IV).Мы будем считать пространство-время снаружи от C (оно является, соответственно, объединением двух непересекающихся асимптотически плоских областей ML иMR ) плоским.
Можно надеяться, что порождаемая этим ошибка не слишком важна —пространство-время вдали от тяготеющего тела действительно более или менее плоское. Выберем (декартовы) координаты в ML(R) , направив при этом оси tL(R) параллельнообразующим CL(R) и фиксировав начало отсчёта требованием, чтобы E ∩ ML(R) , были поверхностями tL(R) = 0. Теперь внутримировая кротовая нора получается стандартнымобразом: из ML и MR удаляются, соответственно, полупространства xL > d/2 и xR < −d/2(имеется в виду, что x-координаты точек C не превосходят по модулю þ и что d/2 > þ),6)Заметим, впрочем, что благодаря лоренцовскому сокращению время проходимости будет большимс точки зрения наблюдателя, приближающегося к кротовине [109].— 210 —tt = TLcldt inopt = TLRt outx1Рис.
3: Две волнистые линии изображают мировую линию одного и того же фотона.после чего точки их границ (то есть 3-поверхностей xL = d/2 и xR = −d/2, соответственно), имеющие одинаковые t-, y- и z-координаты, отождествляются. В результате получается, см. рисунок 3, пространство Минковского, в котором внутренность двух параллельных цилиндров (их границы — это CL и CR ) заменены связным пространствомвременем, так что, например, фотон, пересекающий CL в момент tin ∈ (TLop , TLcl ), появляется — в некоторый момент tout — из CR . Единственное отличие этого пространстваот кротовой норы W , рассмотренной в 3.
§ 2 n◦ 1 — зависимость ∆ ⇋ tout − tin от времени.Теперь заметим, что возвращение фотона на CL займёт время d. Таким образом,рассматриваемое пространство-время причинно, только еслиtin < tout + d∀tin ∈ (TLop , TLcl ).(53)Но, меняя κL на κL0 — и оставляя все остальные параметры неизменными — мы, неменяя tout , прибавляем к каждой из величин tin , TLop , и TLcl по ≈ 2m0 ln(κL0 /κL ), см. (8).И если κL0 выбрана достаточно большой, неравенство (?) окажется нарушенным.
А этозначит, что независимо от значения величин m0 , d, h и κR , проходимые внутримировыеиспаряющиеся кротовые норы с достаточно большими κL являются машинами временисо всеми вытекающими отсюда последствиями.— 211 —9. На горизонте и дальшеВ этой главе построением явных контрпримеров — впервые они были предъявлены в [98] — опровергаются часто встречавшиеся в литературе аргументы в пользуквантовой неустойчмашиности формирования машины времени. В конце главы вкратце воспроизводится проведённый в [103] критический анализ предложенного Кэйем,Радзиковским и Уолдом [92, 93] «условия F-локальности», запрещающего нарушенияпричинности.Как следует из всего обсуждавшегося выше, в существовании проходимой кротовой норы с учётом квантовых эффектов нет ничего невероятного.
И точно так же —но пока только на классическом уровне — нет ничего невероятного в её превращениив машину времени. Остаётся проверить, нет ли какого-нибудь квантового эффекта,который всё-таки защищал бы причинность. Основания думать, что такой эффектможет существовать, действительно имеются. Как мы видели, в окрестности любогокомпактно порождённого горизонта Коши есть «опасные» светоподобные геодезические: такая геодезическая возвращается бесконечно много раз — причём все более иболее синей — в одну и ту же (бесконечно малую) область. Существование таких геодезических заставляет подозревать [85], что машины времени с компактно порождёнными горизонтами Коши неустойчивы: бесконечно усиленные квантовые флюктуацииприведут к бесконечной плотности энергии на горизонте.
Эту мысль отчасти подтверждает и поведение безмассового поля вблизи горизонта в пространстве Мизнера, см.4. § 2 n◦ 3. И действительно, Юртсевер показал [171], что у квантовой версии этогополя есть состояние |Q i, в котором h Tab iQ на горизонте расходится. Это, однако, может, как мы уже выясняли в 6. § 2 n◦ 1, свидетельствовать просто о неудачном выбореквантового состояния и не делает машины времени менее «физичными», чем, например, пространство Минковского, см. пример 6.7. О патологии самого пространствавремени (квантовой неустойчивости) такая расходимость могла бы говорить, если быбыла свойственна всем (или «всем физически важным» состояниям).
Удостоверимсяпоэтому, что для пространств мизнеровского типа это не так [98].Начнём со вспомогательного пространства-времени (M, 1̊), являющегося плоскимцилиндром:1̊ :ds2 = −dτ2 + dψ2τ ∈ R,ψ = ψ + ψ0 .(1)— 212 —Вакуум |Ůi безмассового скалярного поля на этом пространстве-времени мы определим, выбрав в качестве базиса Ů = {uk } следующие модыu0 = √ 12|ψ0 |(ςτ + iς−1 ),uk = √ 1|4πk|2πie ψ0(kψ−|k|τ),k ∈ Z,k 6= 0,где ς — вещественная константа. Функция Адамара в этом состоянии имеет видG(1) (Ů; p, p0 ) = |ψ0 |−1 (ς2 ττ0 + ς−2 ) + D(1) (p, p0 ),см. (6.7), гдеD(1) (p, p0 ) ⇋ ∑ uk (p)u∗k (p0 ) + комплексно сопряжённое,k6=0Теперь для нахождения hTab iŮ мы должны были бы применить выражение (6.8). Ксчастью, фактически нам не нужно это делать, так как есть состояние |Di, в которомфункцией Адамара является D(1) , и для которого тензор энергии-импульса хорошоизвестен [5, 4.2]:hTττ iD = hTψψ iD = −π,6ψ20hTτψ iD = 0.Мы не будем заниматься тонкой проблемой определения квантового состояния |Di(в действительности это состояние понимается, как предел некоторого семейства состояний массивного поля при стремлении массы к нулю), поскольку независимо отрезультата (напомним, что Tabdiv не зависит от состояния)hTab iŮ = hTab iD + lim0 2|ψ1 0 | Dab (ς2 ττ0 − ς−2 ),p→pгде Dab даётся равенством (6.6) с m = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
