Диссертация (1145314), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

[39], поскольку при фиксированныхначальных данных она определяется уравнениями Максвелла.— 228 —равномерно по z. Это же [поскольку λ(x) 6 λ(−1) + (x + 1)(λ0 )max ] верно и для λ. С другойстороны, λ, как мы установили выше, положительна. В силу уравнения (28а) толькочто доказанная ограниченность λ влечёт за собой ограниченность и λ0 (теперь уже нетолько сверху, но и снизу), причём по-прежнеиу равномерную по z.Теперь мы можем найти предельные значения αl . Действительно,ln0 z− (z) = λ(z) + 1 = λ(−z) + 1/(1 + z) + 2zλ0 (xz ) = l + 2 + O(z),где xz некоторое число из интервала (−z, z), а роль предложения 6 состоит в том, чтооно оправдывает последнее равенство. Подставив полученную оценку в (12), получимαl →1−(2l + 2) + (2l + 1)=−.2l + 22(l + 1)Знание этого предела позволяет, в свою очередь, найти силу, действующую на точечный заряд.

Как вытекает из (27), она представляет собой сумму «кулоновского»r самой кротовины и самодействия F s−i . Последнее направлено радивоздействия Q̃qr∗3 ∗ально иFrs−i∞q2αl (l + 1) q2 ∞ l limz→0 αl−1q2 ∞ 1−q2−−→ lim ∑ 2l+2 = ∑=−=∑z→0 r∗ z→0r∗r∗ l=2r∗2l2r∗ l=2 r∗2l 2r∗3 (r∗2 − 1)l=1(перестановка lim и ∑ оправдана тем, что в силу (13) ряд сходится равномерно по z).Заряд, как мы видим, сам себя «затягивает» в кротовую нору. Причём сила, с которойон это делает, вовсе не мала.— 229 —§2Лаз в искривлённом пространствеВ этом параграфе мы собираемся продемонстрировать на конкретном примере,что пространство-время похожее на лаз может удовлетворять слабому энергетическому условию, если снаружи от U (см.

определение 3.4) оно является пространствомШварцшильда, а не Минковского [107]. То есть вполне возможно, что экзотическаяматерия нужна не для превышения скорости света, а только для того, чтобы соответствующая область оказалась безмассовой, что, в свою очередь, требуется всего лишьдля удовлетворения неудачному определению.Ситуация, которую мы хотим смоделировать, напоминает рассматривавшуюся всвязи с гравитационными сигналами в 2.

§ 2 n◦ 5. Исследователь E , находящийся наЗемле, в момент времени t = 0 решает — это событие мы обозначим s — связаться синопланетянином K . Пространство, разделяющее их мы больше не считаем пустыми, как следствие, плоским. Оно заполнено веществом, которое мы для простоты будемсчитать собранным в одно шаровое скопление B с центром, находящимся точно междуE и K . Землянин опять рассматривает два сценария:1. Он посылает фотон, который, пройдя через скопление, достигает K . Последнийизлучает — в обратном направлении — ответный фотон, и тот прибывает наЗемлю в некоторый момент3) t(4).2. Вместо «пробного тела», фотона, с Земли отправляется корабль, который по дороге к цели вызывает всевозможные возмущения метрики (взрывая окрестныезвёзды, меняя их траектории и т.

д.). В результате, он прибывает к K не раньше,чем прибыл бы фотон, но зато метрика в B к этому моменту будет уже другой(хотя снаружи от скопления она останется шварцшильдовской). Представляетсявполне очевидным, что время возвращения корабля t(40 ) будет в общем случае отличаться от t(4). И, в частности, может оказаться, что t(40 ) < t(4). Тогда обратныйполёт корабля будет сверхсветовым в смысле, обсуждавшемся в 3. § 1.Пространство-время, отвечающее второму сценарию, по существу — лаз, но роль пространства Минковского играет теперь пространство Шварцшильда.

Цель данного параграфа — убедиться, что слабое энергетическое условие не запрещает такие лазы[107].Моделью описанной ситуации мы выберем сферически симметричное пространство-время (M, 1) со следующими свойствами:1. Снаружи от цилиндра U ⇋ {p : r(p) < r0 } оно является пространством Шварцшильда, а r — стандартной радиальной координатой в нём;3)Обозначения имитируют те, что использовались в главе 3.— 230 —2. Везде в M выполняется слабое энергетическое условие;3.

Минимальное время необходимое для путешествие сквозь U от точки с r > r0 додиаметрально противоположной точки убывает со временем.Существование описанного пространства-времени докажем явным построением.Для этого, зададимся сначала тремя положительными постоянными: m0 , rh и r0 > rh .Выберем далее две гладкие функции, ψ и Θ, подчинённые следующим условиям:ψ > 0,= 10,Θ= 1,Θr<rhr>r0Θ0 6 0.С их помощью определим ещё две функции:m(r) ⇋ m0 r−1/3rΘ(x) dx,3x(29)x2 [m0 (x)x−2 ]0ψ(x) dx.x − 2m(x)(30)Zexprh(r) ⇋rZ(r − x)r0Для будущих нужд отметим некоторые свойства функций m(r) и (r). Во-первых,−10/3 3m(r)r<rh= m0 rhr,= const,m(r)(31а)r>r0то есть m ведёт себя, как масса нерелятивистского шара, радиус которого лежит междуrh и r0 , а плотность постоянна при r < rh .

Во-вторых, её производные подчиняютсянеравенствамm0 (r) =(Θ − 1)m(r)> 0,3r(31б)и[m0 (r)/r2 ]0 =m(r)[3rΘ0 + (Θ − 1)(Θ − 10)] 6 0,9r4(31в)причём, очевидно, в последнем из них при r ∈/ (rh , r0 ) имеет место равенство. Этот фактвместе с определением (30) влечёт за собой0= const,r<rh= 0.(31г)r>r0Константу m0 выберем настолько малой [возможность такого выбора явствует из (29)и (31а)], чтобы выполнялось соотношениеr > 2m(r),а значит, и 0 > 0.(32)Второе неравенство здесь получается из первого после дифференцирования (30) ииспользования (31в) с учётом того, что в области U верхний предел интеграла (30)меньше, чем нижний, а вне её = 0.— 231 —Рассмотрим теперь на M метрикуds2 = −e2 (1 − 2m/r)dt 2 + (1 − 2m/r)−1 dr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 ).(33)Она статична и является вспомогательной, окончательную мы получим, добавив зависимость от времени.

Вне U («снаружи от скопления») = 0 и m = const, так что (33)становится просто метрикой Шварцшильда снаружи от горизонта [последнее гарантируется (32)]. Проверим, что при подходящем выборе — до сих пор почти произвольной— функции ψ метрика (33) удовлетворяет слабому энергетическому условию. Прощевсего это сделать, используя выведенные в [13] уравнения (14.43), из которых находимв ортонормированном базисе с ортами e(0) ∼ ∂t , e(1) ∼ ∂r , e(2,3) ∼ ∂ϑ,ϕG0̂0̂ = 2r−2 m0 > 0(34)иG0̂0̂ + G1̂1̂ = 2r − 2m 0 > 0.r2(35)Наконец, для i = 2, 3ihm0 r − m r20 21−3+ 00 −(m0 /r2 )0 .G0̂0̂ + Gı̂ı̂ = (1 − 2m/r) 0 +rr − 2mr − 2mПервый член в квадратных скобках неотрицателен, а при достаточно малом m0 и второй.

Отсюда, дважды продифференцировав (30), получимG0̂0̂ + Gı̂ı̂ > (ψ − 1)r2(m0 /r2 )0 .r − 2m(36)Правая часть неотрицательна, см. (31б), когда ψ < 1.Таким образом, когда m достаточно мало, метрика (33) удовлетворяет СЭУ прилюбой ψ < 1. Более того, легко видеть, что в некотором интервале (r1 , r2 ) ⊂ (rh , ri ) неравенства (34–36) можно заменить на строгие, то есть СЭУ выполняется «с запасом».А значит, оно выполняется также и для метрики (33), в которой ψ(r), заменена нафункцию ψ(r) − κ(t)ψ1 (r), где κ и ψ1 неотрицательны, supp ψ1 ⊂ (r1 , r2 ) и κ, κ̇, κ̈ достаточномалы (производные κ более высоких порядков в тензор Эйнштейна не входят).

Рассмотрим такую метрику в случае, когда κ(t) растёт (и, соответственно, — который,как следует из (31г), (32), неположителен и чей модуль в силу определения (30) убывает — растёт тоже). В этой метрике причинные кривые γ ⊂ U обладают следующимсвойством. Любая γ̃, полученная из γ переносом каждой точки в будущее вдоль линийt на одинаковое ∆t, будет по-прежнему причинной, но будет включать и времениподобные участки (там, где |g00 | выросла). А значит, согласно предложению 1.20(г) еёможно продеформировать так, что начало останется неподвижным, кривая останетсяпричинной, а конец сдвинется в прошлое.— 232 —Итак, несмотря на то, что метрика снаружи от B остаётся шварцшильдовской,полёт сквозь него занимает тем меньше времени (по земным, то есть шварцшильдовским, часам), чем позже корабль стартует или, что то же самое, обратный перелёттребует меньше времени, чем прямой.— 233 —§3Эволюция топологииМожет ли пространство-время в ходе эволюции изменить свою топологию? Ответпрост в двух крайних случаях:1) если рассматриваются только глобально гиперболические пространства, то появляется возможность поставить вопрос строго: под топологией эволюционирующего пространства в этом случае естественно понимать топологию поверхностей Коши.Невозможность изменения топологии следует теперь из теоремы Геароуча о расщеплении, см.

предложение 1.47(б).2) если мы рассматриваем произвольные пространства-времена, то проблемы возникают уже с выбором объекта топологию которого следует выяснять. Нельзя, например, просто заменить поверхности Коши на какие-то связные ахрональные поверхности и объявить топологию изменившейся, если найдутся две таких поверхности,содержащие причинно связанные точки, но при этом негомеоморфные друг другу[97]. Иначе пришлось бы признать топологию меняющейся даже в — глобально гиперболическом — пространстве де Ситтера. Кажется, что эту проблему можно решитьследующей модификацией [97]: топология пространства-времени будет считаться меняющейся, если найдутся причинно связанные точки p, q и ахрональная поверхностьP 3 p такие, что среди ахрональных поверхностей, проходящих через q ни одна не гомеоморфна P.

Согласно этому определению топология не меняется ни в пространстведе Ситтера, ни в пространстве Бардина (метрику последнего можно найти в [132], аописание его глобальной структуры в [27]). Тем не менее, легко предъявить простыепространства с эволюционирующей топологией, см. пример 2.26 (более изощрённыепереходы см. в [170]).Интересно поэтому несколько переформулировать вопрос и выяснить, может литопология меняться в «физически реализуемых» ситуациях или, иначе говоря, какогорода патологии неизбежны в пространствах, топология которых меняется. Важныерезультаты в этом направлении были получены в работах [76, 156], где доказано, чтотакие изменения невозможны в пространствах-временах определённого вида. А именно, в таких, где некоторые подмножества (описывающие, грубо говоря, «место, в котором меняется топология») компактны и где (в случае [156]) выполняются некоторыеэнергетические условия, включая слабое.

Характеристики

Список файлов диссертации