Диссертация (1145314), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Полиномы Лежандра определяются так:Pl (µ) ⇋1 dl 2(µ − 1)l ,2l l! dµlµ ∈ [−1, 1],l = 0, 1 . . . .Нам понадобятся следующие факты [19] (штрихом временно обозначим производнуюпо µ):(1 − µ2 )Pl00 − 2µPl0 + l(l + 1)Pl = 0;|Pl | 6 1,(16)Pl (1) = 1;(17)0Pl+1− µPl0 = (l + 1)Pl .Из (16) немедленно вытекаетhi2 2∆Ω Pl (cos ϑ) = (1 − µ )∂µ − 2µ∂µ Pl (µ)(18)µ=cos ϑ= −l(l + 1)Pl (cos ϑ),(19)и, соответственно, для z, решающих уравнение (6), выполняетсяh2r0∆Ω iz(l, x)2∂x + ∂x + 2 Pl (cos ϑ)=rrrh2r0l(l + 1) i z(l, x)= Pl (cos ϑ) ∂2x + ∂x −=rr2r= Pl (cos ϑ)1 h 2 r00 l(l + 1) i∂ − −z(l, x) = 0 (20)r x rr2[при переходе к нижней строчке использовано тождество (7)].
Отсюда, в частности,следует, что∆[Pl (cos ϑ)r−l−1 ] = 0.(21)— 223 —С помощью полиномов Лежандра определяются сферические функции [3]s|m| d|m|2l + 1 (l − |m|)! imϕYlm (ϕ, ϑ) ⇋,e (1 − µ2 ) 2Pl (µ)4π (l + |m|)!dµ|m|µ=cos ϑкоторые удовлетворяют уравнению∆ΩYlm = −l(l + 1)Ylm(22)[при m = 0 это следует из (19)]. Эти функции образуют полный ортонормированный базис в пространстве L2 (S2 ), то есть любая функция f из этого пространства представима[7] в виде∞f (ϕ, ϑ) = ∑l∑(m)f˜l Ylm (ϕ, ϑ),(m)где f˜l ⇋Zdϕdϑ sin ϑ Ȳ ml (ϕ, ϑ) f (ϕ, ϑ).(23)l=0 m=−lКроме того для p, p∗ ∈ E3 , а значит, и для p, p∗ ∈ F+ справедлива формула (см., например,[3, (П 2.13)])11 ∞= ∑[H(x − x∗ )(r∗ /r)l + H(x∗ − x)(r/r∗ )l+1 ]Pl (cos θ),|p, p∗ | r l=0(24)где |p, p∗ | определено в конце n◦ 1.Доказательство.
Мы разобьём доказательство предложения 5 на две части. В первойдокажем, что Φ (вернее, Φinh , поскольку два последних слагаемых, как мы увидимво второй части доказательства, — гармонические функции) удовлетворяет уравнениям (3), а во второй — что и любые его решения имеют такой вид, отличаясь толькозначениями Q и Φ0 .ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯПоложим l достаточно большим и рассмотрим по отдельности два случая:1) Пусть x < x∗∗ ⇋ 12 (x∗ + z). Тогда по определению ν с учётом того, что x < x∗ имеем[первое неравенство следует из монотонного роста z− , см. предложение 3, а второе —из неравенства (13)]|vl (x)| = |(Cl r∗ )−1 z− (l, x)z+ (l, x∗ )| < |(Cl r∗ )−1 z− (l, x∗∗ )z+ (l, x∗ )| =l+1−l −l−16 (r∗∗ /r∗ )l+1 + 2(r(z)/r∗∗ )l (r(z)/r∗ )l+1 .= |r∗∗+ αl r∗∗|r∗Далее, z0− тоже монотонно растёт.
Поэтому, повторяя рассуждения, для производнойполучим оценкуl−l−1 −l−1|v0l (x)| < |(Cl r∗ )−1 z0− (l, x∗∗ )z+ (l, x∗ )| = |(l + 1)r∗∗− lαl r∗∗|r∗6l62(r∗∗ /r∗ )l + 2(r(z)/r∗∗ )l+1 (r(z)/r∗ )l .r∗— 224 —И, наконец, воспользовавшись связью (6) между z и z00 найдём|v00l (x)| = |(Cl r∗ )−1 z00− (l, x)z+ (l, x∗ )| < 2l 2 |(Cl r∗ )−1 z− (l, x)r−2 z+ (l, x∗ )| <−2 2−2 2l+1−l< 2rminl |(Cl r∗ )−1 z− (l, x∗∗ )z+ (l, x∗ )| < 2rminl (Cl r∗ )−1 r∗−lCl (r∗∗+ |αl |r∗∗)<−2 2< 6rminl (r∗∗ /r∗ )l+1[последнее неравенство получено с использованием монотонности r на участке (z, x∗∗ ) иоценки (13)]. Три полученных ограничения показывают, что ряд (15) и ряды, полученные из него почленными одно- и двукратными дифференцированиями, мажорируютсясходящимися числовыми рядами и, следовательно, равномерно сходятся (по признакуВейерштрассе).
А значит, они сходятся, соответственно, к первой и второй производной Φinh . Поэтому,∞ h2r0∆Ω i vl (x)∆Φinh = q ∑ ∂2x + ∂x + 2Pl (cos ϑ).rrrl=0Но vl (x) при рассматриваемых значениях x пропорционально z− (l, x), что означает,см. (20),∆Φinh = 0,то есть уравнение (3а) выполняется.Далее, при ϑ = 0 продифференцируем по x ряд (15). Поскольку, как мы установили, это можно делать почленно, и поскольку vl при x < −z с точностью до положительного [см. (11)] множителя есть r−l , результат будет будет положительным, то естьΦinh (ϑ = 0) строго убывает (оставаясь положительной) при x → −∞.
Но ряд (15) для ϑ = 0мажорирует ряд для любого другого значения ϑ, см. (17), и мы заключаем, что Φinh врассматриваемой области x < x∗∗ удовлетворяет и условию (3б).2) Пусть теперь x > x∗∗ . Тогда прибавим к Φinh , разложенному в ряд (15), кулоновскийчлен и вычтем его же, но представленный в виде (24):("qCl (r∗l+1 + αl r∗−l )r−lq ∞Φinh =+ ∑ Pl (cos ϑ) H(x − x∗ )−|pp∗ | r l=0r∗Cl"!l+1 #)Cl (rl+1 + αl r−l )r∗−lr+ H(x∗ − x)−=r∗Clr∗=r∗r!l #qq ∞αl+Pl (cos ϑ) l l . (25)∑|pp∗ | rr∗ l=0r r∗Ко второму слагаемому применимы рассуждения предыдущего пункта: как следует из(13), ряд мажорируется убывающей (при рассматриваемых сейчас r) геометрическойпрогрессией и, значит, равномерно сходится. Аналогично сходятся и ряды составленные из (первых и вторых) производных его членов.
Поэтому лапласиан можно вносить— 225 —под знак суммы. Но каждый член ряда является, как мы знаем из (21), гармоническойфункцией. Поэтому, q ∆Φinh = ∆= −4πqδ(p − p∗ ).|pp∗ |Итак, Φinh решает уравнение (3а). А справедливость (3б) доказывается совершенноаналогично тому, как это было сделано выше.ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯНам осталось доказать только, что любое решение уравненияh∆Ω i2r0∂2x + ∂x + 2 Φhom = 0,rr(26)см. (3а) и (5), убывающее в соответствии с (3б), имеет вид−QZxr−2 dx̆ + Φ0 ,zгде Q и Φ0 — произвольные константы.Оценим для этого члены разложения (23) потенциала Φhom , которые мы обозначимmΦl . С одной стороны, (3б) требует, чтобы они были ограничены. А с другой стороны,из цепочки равенствZ0 = Ȳlm (ϕ, ϑ)∆Φhom (ϕ, ϑ, x) sin ϑdϕdϑ =ZZh2r0 i1= ∂2x + ∂xΦhomȲlm sin ϑdϕdϑ + 2 Φhom ∆ΩȲlm sin ϑdϕdϑ =rrZhi0l(l + 1)2r= ∂2x + ∂x −ΦhomȲlm sin ϑdϕdϑ =rr2hl(l + 1) i m2r0= ∂2x + ∂x −Φl (x)rr2и (22) следует, что произведение rΦml (x) решает [в силу тождества (7)] уравнение (6).А это означает, см.
следствие 4, что Φml могут быть ограничены только при l = 0. Такимобразом,(0)Φhom = Φ0 (x)Y00 (ϕ, ϑ) = z0 /r,где z0 — решение уравнения (∂2x −r00 /r)z0 = 0, то есть произвольная линейная комбинацияRфункций r и r zx r−2 dx̆, что легко проверить прямой подстановкой. — 226 —n◦ 4Взаимодействие кротовины с точечным зарядомИтак, при наличии точечного заряда электрическое поле снаружи от кротовины(то есть в области F+ ) имеет вид!∞qQ̃αl Pl (cos ϑ)E = −∇Φ = −∇+ +q∑|pp∗ | r(rr∗ )l+1l=1[мы подставили (25) в (14), взяли явно интеграл при Q, отбросили постоянную частьΦ0 − Q/(z + 1) и, наконец, заменили Q на Q̃, изменив одновременно нижний предел всумме].
Отсюда сила, действующая на заряд q, как обсуждалось в начале параграфа,см. (4), есть1)F=∞Q̃qαl2r−q∇Pl (cos ϑ)∗∑3r∗(rr∗ )l+1l=1ϑ=0,r=r∗r∗ dQ̃q= 3 r ∗ − q2r∗r∗ dr=αl∑ (rr∗)l+1l=1∞!r=r∗q2 r ∗ ∞ αl (l + 1)Q̃q= 3 r ∗ + 2 ∑ 2l+2 . (27)r∗r∗ l=1 r∗Первое, кулоновское, слагаемое совпадает с силой, которая действовала бы на зарядq, будь F+ областью евклидова пространства (а не кротовины), заключающего в себепомимо q ещё и заряд Q̃, размещённый в начале координат. В этом смысле кротовина,действительно, выглядит для внешнего наблюдателя, как заряд [несмотря на то, чтоподдерживающее её вещество электрически нейтрально, см.
(2)], в соответствии сконцепцией «заряда без заряда». Однако в целом, как теперь видно, взаимодействиекротовины с точечным зарядом отличается от взаимодействия двух точечных зарядов:1. Если бы сфера x = z ограничивала заряженное тело, а не вход в кротовину, этоможно было бы обнаружить по движению этого тела под влиянием поля, созданного q. Будет ли двигаться в этих условиях горловина, и если будет, то как —неясно.2. Выражение (27) содержит и второй член. Этот член не зависит от Q̃ и пропорционален q2 . Естественно считать, что он создаётся рассматриваемым точечнымзарядом (соответственно, его называют самодействием). Однако своим существованием он обязан и кротовине или, во всяком случае, кривизне — в евклидовомпространстве его бы не было. Заметим, что самодействие вовсе не мало: очевидно,именно оно может оказывать основное воздействие на пробный заряд.Важно подчеркнуть, что ни одно значение константы Q̃ не выглядит «более физичным», чем другое.
Иначе говоря, «заряд кротовой норы» может, в принципе, быть1)Произведённая «перенормировка» не требует никаких специальных оправданий. Мы просто понимаем под электродинамикой в искривлённом пространстве локальное и геометрическое обобщениеобычной, ср. 2. § 1.— 227 —любым. Но это значит, что вопрос о том, чему равна сила, действующая на пробныйзаряд в точке p, бессмыслен. Пока величина Q̃(p) тем или иным образом не задана,сила может быть любой (по величине; направлена она всегда радиально).
Точно так жебессмысленными являются и утверждения о конкретном виде зависимости самодействия (потенциала и т. п. [95, 39]) от p∗ . Действительно, такое обсуждение требовалобы фиксации зависимости Q̃(p∗ ), но Q̃, вообще говоря, никак не связана и с p∗ . Ситуация изменилась бы, если бы выяснилось, что Q̃ сохраняется (речь, конечно, идётуже не об электростатике, а о полновесной электродинамике), и в пользу сохранения,действительно, существуют некоторые доводы [111], но доказательства2) пока нет.n◦ 5Приближение «короткой горловины»В этом пункте мы получаем выражение для самодействия при z, стремящемсяк нулю. Ценность полученного результата состоит в том, что в этом пределе исчезает зависимость самодействия от формы горловины. Нам, правда, придётся уточнитьхарактер перехода к пределу. А именно, мы потребуем, чтобыr > rmin ,|r0 /r| 6 (r0 /r)max ,∀x ∈ (−1, 1),где правые стороны неравенств — это некоторые не зависящие от z положительныеконстанты.6.
Предложение. Производная функции λ ⇋ ln0 z− − ln0 r при фиксированном l и z → 0ограничена на отрезке (−1, 1) равномерно по z.Доказательство. По определению λ удовлетворяет уравнениямλ0 = −λ2 − 2r0 r−1 λ + l(l + 1)r−2 ,(28а)λ(28б)= (l + 1)/r.x6−z[см. (6)]. Отсюда, в частности, следует, что λ положительна. Действительно, слева от−z это вытекает из (28б), а при бо́льших x для перемены знака λ пришлось бы сначаластать маленькой, но тогда за счёт последнего члена в правой части (28а) производнаяλ0 станет положительной и λ, как следствие, растущей.Правая часть (28а) допускает оценкуR.S.(28а) 6 −λ2 + 2|r0 /r|max λ + l(l + 1)/(rmin )2 6 (|r0 /rmax |)2 + l(l + 1)/(rmin )2(второе неравенство получается просто нахождением максимума параболы, стоящейв нём слева), и, значит, λ0 на участке (−1, 1) при фиксированном l ограничена сверху2)В то же время зависимость Q̃(p∗ ) нельзя постулировать, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
