Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145314), страница 51

Файл №1145314 Диссертация (Пространства-времена с нестандартными причинными свойствами) 51 страницаДиссертация (1145314) страница 512019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Докажем следующееУтверждение. Описанную только что структуру имеет, в частности, пространство —именно его мы отныне и станем обозначать P’ , — метрика которого естьds2 = 4[χ2ε (η) + η2 ](dη2 + η2 dψ2 ) + ρ2 (η, ψ)dϕ2 ,(49)ρ(η, ψ) ⇋ ρ0 − η2 cos 2ψ.Здесь приняты следующие обозначения и договорённости: χε (η) — это гладкая чёт√ная функция, неравная нулю при и только при |η| < h, а (η, ψ) и (ρ, ϕ) — две пары«полярных координат» в том смысле, что в P’ψ = ψ + 2π,ϕ = ϕ + 2π,η, ρ > 0,и все точки с η = 0, отличающиеся только значениями ψ, отождествлены, так же, каки все точки с ρ = 0, отличающиеся только значениями ϕ.Чтобы разобраться в геометрии P’ , выделим в нём множество√H ⇋ {η 6 h}√[это опять полноторие: произведение круга η 6 h в плоскости (η, ψ) на окружностьпостоянных η, ψ; в точку эта окружность не вырождается благодаря условию (48)] и√его дополнение W ⇋ {η > h}.

H характерно тем, что его внутренность является —в отличие от плоской области Int H̄ — множеством всех точек P’ , в которых метрикане плоская. Именно H и есть «шапочка», призванная сгладить сингулярность диэдральной кротовины. Метрика в ней — и даже в некоторой окрестности её замыкания— регулярна [во-первых, как мы уже отмечали, ρ > 0 в H, во-вторых, (χ2ε + η2 ) 6= 0;именно для того, чтобы этот множитель не обращался в ноль, порождая тем самымсингулярность, мы и рассматриваем неплоский случай χε 6= 0].Осталось убедиться, что W — это, действительно, двулистное накрытие W̄. Заметим для этого, что функция $ : p 7→ p̄, определяемая равенствамиϕ̄( p̄) = ϕ(p),ρ̄( p̄) = ρ(p),z̄( p̄) = η2 sin 2ψ(p),(50)есть (локальная) изометрия [ср. (47) и (49)].

При этом для любой p ∈ W очевидновыполняетсяh2 < η4 (p) = [ρ̄( p̄) − ρ0 ]2 + z̄2 ( p̄),и, следовательно, $(W) ⊂ W̄. И, наоборот, для всякого p̄ ∈ W̄, дополнив (50) определением ρ, см. (49), обнаружим, что p̄ = $(p) при любом p c1η(p) = [ρ̄( p̄) − ρ0 ]2 + z̄2 ( p̄) 4 ,ψ(p) = σ, σ + π,σ⇋1z̄( p̄)arctg.2ρ0 − ρ̄( p̄)— 241 —√Оба таких p удовлетворяют неравенству η(p) > h и, значит, лежат в W.Представить себе геометрию P’ легко с помощью построения, которое мы ужемного раз использовали выше. Возьмём две копии — Θ̄01 и Θ̄02 — пространства Θ̄0 ,которое получается разрезанием Θ̄ вдоль вертикального отрезка из начала координат до C̄.

Очевидно, $ проектирует на Θ̄01 «правую», −π/2 < ψ < π/2, а на Θ̄02 «левую»,π/2 < ψ < 3π/2, половину Θ ⇋ {x ∈ W : ϕ(x) = 0} (наоборот, конечно, тоже; просто намэто не нужно). А значит, склеив правый берег каждого из разрезов с левым берегомдругого, получим Θ. Пространство P’ получается вращением Θ и «заполнением» образовавшейся «дыры» полноторием H. Оно ещё не является тем лазом, который мыстроим — у него всё ещё две асимптотически плоских области, соответствующие Θ̄01 иΘ̄02 . Мы же ищем внутримировую кротовую нору P .

Чтобы построить её из P’ , зададимся некоторой константой d большей, чем 2h, удалим область z̄ > 21 d из Θ̄01 и областьz̄ < − 12 d из Θ̄02 и склеим — в дополнение к обсуждавшимся выше берегам вертикальныхразрезов — границы этих удалённых областей (заметим, что всё построение происходит в той части P’ , которая изометрична части пространства Минковского, и поэтому,очевидно, не приводит к появлению какой-либо сингулярности). P теперь получаетсявращением получившегося двумерного пространства вокруг оси ρ = 0.

Вне некоторогокомпактного множества P — просто евклидово пространство. Внутри этого множестваоно тоже плоское, но за исключением области, кажущейся совокупностью двух «обручей» (но являющейся, на самом деле одним обручем H). Путешественник — например,лев, изображенный на рисунке 7.2 — прыгнув через один из обручей, мгновенно обнаруживает, что вылетает из второго (замечательно, что в течение всего путешествияпространство-время вокруг льва остаётся пустым и плоским, так что ему не нужнопогружаться в вещество планковских плотностей).— 242 —§5Функции τiВ этом параграфе мы извлекаем из результатов, полученных в работах [47] и[62], нужные нам оценки на τi , см. главу 8.

При этом сами упомянутые результаты мыне станем ни воспроизводить, ни комментировать. В двойных скобках указываютсяномера соответствующих формул в [47].Обозначения. Величины, обозначаемые в [47] через t, r, M, Tαβ и Tαα — это то, что вданной работе обозначено, соответственно через tS , r̊, m0 , T̊αβ и T̊ . Ниже мы, не рискуявнести путаницу, используем и те, и другие обозначения, как равноправные. Индексξ, стоящий в [47] при некоторых величинах мы не воспроизводим (он означает, чтосоответствующая величина указана для вакуума Анру, но это как раз и есть единственный интересующий нас случай).

Стоит также заметить (хотя прямо сейчас это ине понадобится), что наши координаты u и v отличаются от тех, которые использованы в [47]. Последние — обозначим их ū и v̄, ср. замечание 8.6 — связаны с первымисоотношениямиū = −4m0 ln(−u),v̄ = 4m0 ln v.1. Компоненты T̊ϑϑ и T̊ϕϕ при больших r̊ записаны (неявно) в уравнении ((5.5)), котороес учётом определения ((2.6)) и выраженияT̊ =1 M260π2 r6((4.8))для аномального следа гласитT̊ϑϑ = T̊ϕϕ ≈ λK(2m0 )−4 x−4 ,где λ и K — константы:0 < λ 6 27,K⇋9.40 · 84 π2(51)[последнее равенство — это ((6.21))]. Соответственно,τ4 = 16πm40 x2 T̊ϑϑ ≈ πλKx−2при больших x.(52)2.

Вблизи горизонта компонента T̊ϑϑ была найдена — численно — в [62] (она обозначенатам pt ) :0 < T̊ϑϑ . 2 · 10−6 m−40 ,d ϑT̊dx ϑ≈ −1, 3 · 10−6 m−40(53)[значение производной нам понадобится в (55)], откудаm40 ϑτ4 (1) =T̊ϑ . 10−5 .π(54)— 243 —3. Как явствует из ((4.8)),T̊ =m−403840π2−6x−6 ≈ 2, 6 × 10−5 m−40 x ,T̊ 0x=1≈ −1, 6 × 10−4 m−40(штрих, как обычно, означает производную по x).

Отсюда для величиныY ⇋ T̊ − T̊ϑϑ − T̊ϕϕ = T̊ − 2T̊ϑϑнаходимYx=1≈ 3 · 10−5 m−40 ,Y0x=1= T̊ 0 − 2 dxd T̊ϑϑx=1≈ −1, 5 × 10−4 m−40 .(55)Теперь нам удобно ввести ещё и координатыr∗ ⇋ 2m0 ln(−vu),tS ⇋ 2m0 ln(−v/u).Шварцшильдовская метрика (8.1) приобретает в них диагональный видds2 =x−1x− dtS2 + dr∗2 ) + r̊2 (dϑ2 + cos2 ϑ dϕ),и мы получаемT̊uv =4m20(T̊r∗ r∗vu− T̊tStS ) = −∗4m20 e−x(T̊rr∗x+ T̊tStS ) = −4m20 e−xYxx=1≈ −4 · 10−5 m−20 .Откуда следует, что|τ3 (1)| = |4πm20 T̊uv | ≈ 5 · 10−4 .(56)4. В интересующей нас ситуации (вакуум Анру) величина, которую Кристенсен иФуллинг обозначают Q, равна нулю, см.

текст между ((5.2)) и ((5.3)). Подставим это вформулу ((2.5)) и, пользуясь тем, что компонента Tϑϑ (x) и след T̊ (x) остаются ограниченными при x → 1, см., например, (53) и ((4.8)), получим−1 Z rK2M1rϑ− 2+Tr = 2 1 −[M T̊ (ŕ) + 2(ŕ − 3M)Tϑ (ŕ)]dŕ(57)rrM2Mи, таким образом,∗Trr∗=Tr̊r̊K→− 2 2M r−12MK1−=− 4r̊4m0 x(x − 1)при x → 1.Это означает, в частности, что в ((2.4)) можно пренебречь двумя последними слагаемымиTtStS = −Tr̊r̊ − 2Tϑϑ + T̊ → −Tr̊r̊при x → 1.А использовав ((2.3)) и формулу над ((2.6)), получим ещёxKKr∗− 2 2 =− 4.TtS =x−1m0 r̊4m0 x(x − 1)(58)— 244 —Собрав эти выражения, находим 2 24m0tSr∗r∗+ T̊r∗ r∗ + 2T̊tS r∗ ) = (x−1)r̊,−2u (−T̊tS + T̊r∗ + 2T̊tS ) →xxex24K(x − 1) 4m20r̊,−2= −16e−2 K r̊,−2→−uu =4xxxe4m0 x(x − 1) x=1T̊vv =4m20(T̊tStSv2=−F̊ 4 (1)K −2r̊, ,16m40 uчто даёт среди прочего оценкуτ1 (1) = 4πr̊,2u Tvv = −4πr̊,2u ×16e−2 K r̊,−2u =−64πe−2 · 9≈ −1, 5 · 10−3 .40 · 84 π25.

Аналогично, пользуясь отношением (8.5б), напишемT̊uu =4m20(T̊tStSu2− 2T̊r∗tS + T̊r∗ r∗ ) =xr̊,2 (2Tϑϑ − T̊x−1 u∗∗+ 2T̊rr∗ − 2T̊tSr )Подставляя сюда определение Y и выражения (57), (58), получим,(59)— 245 —ixr̊,2u hKr∗T̊uu =−Y + 2 4+ 2T̊r∗ =x−14m0 x(x − 1)Z xixr̊,2u h2=−Y +[ 21 T̊ (x́) + 2(x́ − 23 )Tϑϑ (x́)]dx́ =x−1x(x − 1) 1Z x ixr̊,2u h2ϑ1=−Y +Y+2(x́−1)Tϑ dx́ .x−1x(x − 1) 1 2Введём теперь ε ⇋ x − 1 и будем искать не прямо T̊uu (0), а предел:Z ε ixr̊,2u h2ϑ1T̊uu (ε)(0) = lim−Y +Y+2έTϑ dέ =ε→0 εε(ε + 1) 0 2i2 1xr̊,2 h0ϑ1= lim u −Y (0) − εY 0 (0) +Y(0)+εY(0)+εT(0)=ϑ4ε→0 ε(ε + 1) 22ϑ21 0= lim r̊,u −Y (0) − 2 Y (0) + 2Tϑ (0) ≈ −2 · 10−5 m−40 r̊,u ,ε→0откудаτ2 (1) ≈ −2, 5 · 10−4 .(60)— 246 —Список литературы[1] Александрян Р.

А. и Мирзаханян Э. А. Общая топология. - М.: Высшая школа,1979.[2] Арефьева И. Я., Волович И. В., Ишиватари Т. Задача Коши на неглобальногиперболических многообразиях // ТМФ. - 2008. - Т.157. - С.334.[3] Батыгин В. В. и Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике. - М.: НИЦ«Регулярная и хаотическая динамика», 2002.[4] Биланюк О., Сударшан Е. Частицы за световым барьером // Эйнштейновскийсборник. 1973. - М.: Наука, 1974.[5] Биррелл Н., Девис П.

Квантованные поля в искривленном пространстве-времени.- М.: Мир, 1984.[6] Бронников К. А., Рубин С. Г. Лекции по гравитации и космологии. Учебноепособие. - М.: МИФИ, 2008.[7] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981.[8] Герок Р. Сингулярности в общей теории относительности // Квантовая гравитация и топология. - М.: Мир, 1973.[9] Гриб А.

А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Вакуумные квантовые эффекты всильных полях. - М.: Энергоатомиздат, 1988.[10] Гриб А. А., Павлов Ю. В. Возможно ли увидеть бесконечное будущее Вселеннойпри падении в чёрную дыру? // УФН. - 2009. - Т.179. - С.279.[11] Колмогоров А. Н. и Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональногоанализа. - М.: ФМЛ, 2004.[12] Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. - М.: Мир, 1979.[13] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.

Гравитация. - М.: Мир, 1977.— 247 —[14] Мицкевич Н. В.. Частное сообщение[15] Новиков И. Д, Фролов В. П. Физика чёрных дыр. - М.: Наука, 1986.[16] Новиков И. Д. Анализ работы машины времени // ЖЭТФ. - 1989. - Т.95. - С.769.[17] Павлов Ю. В. Размерная регуляризация и n-волновая процедура для скалярныхполей в многомерных квазиевклидовых пространствах // ТМФ. - 2001.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,87 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Пространства-времена с нестандартными причинными свойствами
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6730
Авторов
на СтудИзбе
284
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее