Диссертация (1145314), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Докажем следующееУтверждение. Описанную только что структуру имеет, в частности, пространство —именно его мы отныне и станем обозначать P , — метрика которого естьds2 = 4[χ2ε (η) + η2 ](dη2 + η2 dψ2 ) + ρ2 (η, ψ)dϕ2 ,(49)ρ(η, ψ) ⇋ ρ0 − η2 cos 2ψ.Здесь приняты следующие обозначения и договорённости: χε (η) — это гладкая чёт√ная функция, неравная нулю при и только при |η| < h, а (η, ψ) и (ρ, ϕ) — две пары«полярных координат» в том смысле, что в Pψ = ψ + 2π,ϕ = ϕ + 2π,η, ρ > 0,и все точки с η = 0, отличающиеся только значениями ψ, отождествлены, так же, каки все точки с ρ = 0, отличающиеся только значениями ϕ.Чтобы разобраться в геометрии P , выделим в нём множество√H ⇋ {η 6 h}√[это опять полноторие: произведение круга η 6 h в плоскости (η, ψ) на окружностьпостоянных η, ψ; в точку эта окружность не вырождается благодаря условию (48)] и√его дополнение W ⇋ {η > h}.
H характерно тем, что его внутренность является —в отличие от плоской области Int H̄ — множеством всех точек P , в которых метрикане плоская. Именно H и есть «шапочка», призванная сгладить сингулярность диэдральной кротовины. Метрика в ней — и даже в некоторой окрестности её замыкания— регулярна [во-первых, как мы уже отмечали, ρ > 0 в H, во-вторых, (χ2ε + η2 ) 6= 0;именно для того, чтобы этот множитель не обращался в ноль, порождая тем самымсингулярность, мы и рассматриваем неплоский случай χε 6= 0].Осталось убедиться, что W — это, действительно, двулистное накрытие W̄. Заметим для этого, что функция $ : p 7→ p̄, определяемая равенствамиϕ̄( p̄) = ϕ(p),ρ̄( p̄) = ρ(p),z̄( p̄) = η2 sin 2ψ(p),(50)есть (локальная) изометрия [ср. (47) и (49)].
При этом для любой p ∈ W очевидновыполняетсяh2 < η4 (p) = [ρ̄( p̄) − ρ0 ]2 + z̄2 ( p̄),и, следовательно, $(W) ⊂ W̄. И, наоборот, для всякого p̄ ∈ W̄, дополнив (50) определением ρ, см. (49), обнаружим, что p̄ = $(p) при любом p c1η(p) = [ρ̄( p̄) − ρ0 ]2 + z̄2 ( p̄) 4 ,ψ(p) = σ, σ + π,σ⇋1z̄( p̄)arctg.2ρ0 − ρ̄( p̄)— 241 —√Оба таких p удовлетворяют неравенству η(p) > h и, значит, лежат в W.Представить себе геометрию P легко с помощью построения, которое мы ужемного раз использовали выше. Возьмём две копии — Θ̄01 и Θ̄02 — пространства Θ̄0 ,которое получается разрезанием Θ̄ вдоль вертикального отрезка из начала координат до C̄.
Очевидно, $ проектирует на Θ̄01 «правую», −π/2 < ψ < π/2, а на Θ̄02 «левую»,π/2 < ψ < 3π/2, половину Θ ⇋ {x ∈ W : ϕ(x) = 0} (наоборот, конечно, тоже; просто намэто не нужно). А значит, склеив правый берег каждого из разрезов с левым берегомдругого, получим Θ. Пространство P получается вращением Θ и «заполнением» образовавшейся «дыры» полноторием H. Оно ещё не является тем лазом, который мыстроим — у него всё ещё две асимптотически плоских области, соответствующие Θ̄01 иΘ̄02 . Мы же ищем внутримировую кротовую нору P .
Чтобы построить её из P , зададимся некоторой константой d большей, чем 2h, удалим область z̄ > 21 d из Θ̄01 и областьz̄ < − 12 d из Θ̄02 и склеим — в дополнение к обсуждавшимся выше берегам вертикальныхразрезов — границы этих удалённых областей (заметим, что всё построение происходит в той части P , которая изометрична части пространства Минковского, и поэтому,очевидно, не приводит к появлению какой-либо сингулярности). P теперь получаетсявращением получившегося двумерного пространства вокруг оси ρ = 0.
Вне некоторогокомпактного множества P — просто евклидово пространство. Внутри этого множестваоно тоже плоское, но за исключением области, кажущейся совокупностью двух «обручей» (но являющейся, на самом деле одним обручем H). Путешественник — например,лев, изображенный на рисунке 7.2 — прыгнув через один из обручей, мгновенно обнаруживает, что вылетает из второго (замечательно, что в течение всего путешествияпространство-время вокруг льва остаётся пустым и плоским, так что ему не нужнопогружаться в вещество планковских плотностей).— 242 —§5Функции τiВ этом параграфе мы извлекаем из результатов, полученных в работах [47] и[62], нужные нам оценки на τi , см. главу 8.
При этом сами упомянутые результаты мыне станем ни воспроизводить, ни комментировать. В двойных скобках указываютсяномера соответствующих формул в [47].Обозначения. Величины, обозначаемые в [47] через t, r, M, Tαβ и Tαα — это то, что вданной работе обозначено, соответственно через tS , r̊, m0 , T̊αβ и T̊ . Ниже мы, не рискуявнести путаницу, используем и те, и другие обозначения, как равноправные. Индексξ, стоящий в [47] при некоторых величинах мы не воспроизводим (он означает, чтосоответствующая величина указана для вакуума Анру, но это как раз и есть единственный интересующий нас случай).
Стоит также заметить (хотя прямо сейчас это ине понадобится), что наши координаты u и v отличаются от тех, которые использованы в [47]. Последние — обозначим их ū и v̄, ср. замечание 8.6 — связаны с первымисоотношениямиū = −4m0 ln(−u),v̄ = 4m0 ln v.1. Компоненты T̊ϑϑ и T̊ϕϕ при больших r̊ записаны (неявно) в уравнении ((5.5)), котороес учётом определения ((2.6)) и выраженияT̊ =1 M260π2 r6((4.8))для аномального следа гласитT̊ϑϑ = T̊ϕϕ ≈ λK(2m0 )−4 x−4 ,где λ и K — константы:0 < λ 6 27,K⇋9.40 · 84 π2(51)[последнее равенство — это ((6.21))]. Соответственно,τ4 = 16πm40 x2 T̊ϑϑ ≈ πλKx−2при больших x.(52)2.
Вблизи горизонта компонента T̊ϑϑ была найдена — численно — в [62] (она обозначенатам pt ) :0 < T̊ϑϑ . 2 · 10−6 m−40 ,d ϑT̊dx ϑ≈ −1, 3 · 10−6 m−40(53)[значение производной нам понадобится в (55)], откудаm40 ϑτ4 (1) =T̊ϑ . 10−5 .π(54)— 243 —3. Как явствует из ((4.8)),T̊ =m−403840π2−6x−6 ≈ 2, 6 × 10−5 m−40 x ,T̊ 0x=1≈ −1, 6 × 10−4 m−40(штрих, как обычно, означает производную по x).
Отсюда для величиныY ⇋ T̊ − T̊ϑϑ − T̊ϕϕ = T̊ − 2T̊ϑϑнаходимYx=1≈ 3 · 10−5 m−40 ,Y0x=1= T̊ 0 − 2 dxd T̊ϑϑx=1≈ −1, 5 × 10−4 m−40 .(55)Теперь нам удобно ввести ещё и координатыr∗ ⇋ 2m0 ln(−vu),tS ⇋ 2m0 ln(−v/u).Шварцшильдовская метрика (8.1) приобретает в них диагональный видds2 =x−1x− dtS2 + dr∗2 ) + r̊2 (dϑ2 + cos2 ϑ dϕ),и мы получаемT̊uv =4m20(T̊r∗ r∗vu− T̊tStS ) = −∗4m20 e−x(T̊rr∗x+ T̊tStS ) = −4m20 e−xYxx=1≈ −4 · 10−5 m−20 .Откуда следует, что|τ3 (1)| = |4πm20 T̊uv | ≈ 5 · 10−4 .(56)4. В интересующей нас ситуации (вакуум Анру) величина, которую Кристенсен иФуллинг обозначают Q, равна нулю, см.
текст между ((5.2)) и ((5.3)). Подставим это вформулу ((2.5)) и, пользуясь тем, что компонента Tϑϑ (x) и след T̊ (x) остаются ограниченными при x → 1, см., например, (53) и ((4.8)), получим−1 Z rK2M1rϑ− 2+Tr = 2 1 −[M T̊ (ŕ) + 2(ŕ − 3M)Tϑ (ŕ)]dŕ(57)rrM2Mи, таким образом,∗Trr∗=Tr̊r̊K→− 2 2M r−12MK1−=− 4r̊4m0 x(x − 1)при x → 1.Это означает, в частности, что в ((2.4)) можно пренебречь двумя последними слагаемымиTtStS = −Tr̊r̊ − 2Tϑϑ + T̊ → −Tr̊r̊при x → 1.А использовав ((2.3)) и формулу над ((2.6)), получим ещёxKKr∗− 2 2 =− 4.TtS =x−1m0 r̊4m0 x(x − 1)(58)— 244 —Собрав эти выражения, находим 2 24m0tSr∗r∗+ T̊r∗ r∗ + 2T̊tS r∗ ) = (x−1)r̊,−2u (−T̊tS + T̊r∗ + 2T̊tS ) →xxex24K(x − 1) 4m20r̊,−2= −16e−2 K r̊,−2→−uu =4xxxe4m0 x(x − 1) x=1T̊vv =4m20(T̊tStSv2=−F̊ 4 (1)K −2r̊, ,16m40 uчто даёт среди прочего оценкуτ1 (1) = 4πr̊,2u Tvv = −4πr̊,2u ×16e−2 K r̊,−2u =−64πe−2 · 9≈ −1, 5 · 10−3 .40 · 84 π25.
Аналогично, пользуясь отношением (8.5б), напишемT̊uu =4m20(T̊tStSu2− 2T̊r∗tS + T̊r∗ r∗ ) =xr̊,2 (2Tϑϑ − T̊x−1 u∗∗+ 2T̊rr∗ − 2T̊tSr )Подставляя сюда определение Y и выражения (57), (58), получим,(59)— 245 —ixr̊,2u hKr∗T̊uu =−Y + 2 4+ 2T̊r∗ =x−14m0 x(x − 1)Z xixr̊,2u h2=−Y +[ 21 T̊ (x́) + 2(x́ − 23 )Tϑϑ (x́)]dx́ =x−1x(x − 1) 1Z x ixr̊,2u h2ϑ1=−Y +Y+2(x́−1)Tϑ dx́ .x−1x(x − 1) 1 2Введём теперь ε ⇋ x − 1 и будем искать не прямо T̊uu (0), а предел:Z ε ixr̊,2u h2ϑ1T̊uu (ε)(0) = lim−Y +Y+2έTϑ dέ =ε→0 εε(ε + 1) 0 2i2 1xr̊,2 h0ϑ1= lim u −Y (0) − εY 0 (0) +Y(0)+εY(0)+εT(0)=ϑ4ε→0 ε(ε + 1) 22ϑ21 0= lim r̊,u −Y (0) − 2 Y (0) + 2Tϑ (0) ≈ −2 · 10−5 m−40 r̊,u ,ε→0откудаτ2 (1) ≈ −2, 5 · 10−4 .(60)— 246 —Список литературы[1] Александрян Р.
А. и Мирзаханян Э. А. Общая топология. - М.: Высшая школа,1979.[2] Арефьева И. Я., Волович И. В., Ишиватари Т. Задача Коши на неглобальногиперболических многообразиях // ТМФ. - 2008. - Т.157. - С.334.[3] Батыгин В. В. и Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике. - М.: НИЦ«Регулярная и хаотическая динамика», 2002.[4] Биланюк О., Сударшан Е. Частицы за световым барьером // Эйнштейновскийсборник. 1973. - М.: Наука, 1974.[5] Биррелл Н., Девис П.
Квантованные поля в искривленном пространстве-времени.- М.: Мир, 1984.[6] Бронников К. А., Рубин С. Г. Лекции по гравитации и космологии. Учебноепособие. - М.: МИФИ, 2008.[7] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981.[8] Герок Р. Сингулярности в общей теории относительности // Квантовая гравитация и топология. - М.: Мир, 1973.[9] Гриб А.
А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Вакуумные квантовые эффекты всильных полях. - М.: Энергоатомиздат, 1988.[10] Гриб А. А., Павлов Ю. В. Возможно ли увидеть бесконечное будущее Вселеннойпри падении в чёрную дыру? // УФН. - 2009. - Т.179. - С.279.[11] Колмогоров А. Н. и Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональногоанализа. - М.: ФМЛ, 2004.[12] Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. - М.: Мир, 1979.[13] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.
Гравитация. - М.: Мир, 1977.— 247 —[14] Мицкевич Н. В.. Частное сообщение[15] Новиков И. Д, Фролов В. П. Физика чёрных дыр. - М.: Наука, 1986.[16] Новиков И. Д. Анализ работы машины времени // ЖЭТФ. - 1989. - Т.95. - С.769.[17] Павлов Ю. В. Размерная регуляризация и n-волновая процедура для скалярныхполей в многомерных квазиевклидовых пространствах // ТМФ. - 2001.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
