Диссертация (1145314), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Существуют машины времени, лишённые известных патологий, часто присущихтаким пространствам-временам: «опасных» геодезических, сингулярностей и нуждыв нарушении слабого энергетического условия.— 217 —Приложение А§1Внешне плоская кротовина как зарядВ этом параграфе, следуя работе [111], мы на простейшем примере (классическаяэлектростатика в присутствии внешне плоской кротовой норы) исследуем Уилеровскую идею «заряда без заряда». Наша основная задача — найти силу, действующую втаком пространстве на (единственный) находящийся в нём заряд, см.

выражение (27)ниже, и сравнить её с той, что действовала бы на него, если бы вместо кротовины вэтом месте находился бы другой заряд.n◦ 1Постановка задачиПространство-время, которое мы будем рассматривать —- это статическая межмировая кротовая нора M’ с «длиной горловины» z, см. пример 3.6. Метрика такойноры естьds2 = −dt 2 + dx2 + r2 (x)(dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 ),(1а)где r — гладкая положительная чётная функция, подчинённая условию= x + 1.r(1б)x>zРассмотрение именно таких кротовин оправдано тем, что, с одной стороны, нас интересуют норы микроскопических, либо макроскопических, но не космологическихразмеров. А в этих случаях, удалившись на достаточное расстояние от горловины, мыдействительно попадаем в (более или менее) плоское пространство. C другой стороны,такая форма кротовины, как мы увидим, чрезвычайно упрощает некоторые весьмасложные, в общем случае, проблемы.1. Замечание.

Стремясь к максимальному упрощению, мы, в частности, не рассматриваем кротовины чуть более общего вида, в которых r = x + þ при x > z, поскольку,на самом деле, нам важна только качественная сторона происходящего. Формулы дляслучая þ 6= 1 можно найти в [111].— 218 —Пространство M’ статично, и его естественно представить в виде произведения M’ =L1 × Z’ , где второй сомножитель — трёхмерная пространственноподобная поверхностьизометричная сечению {p ∈ M’ : t(p) = const}. Она разбивается на три части: горловинаи левая (правая) плоские области.

Последние мы обозначим F− и F+ , соответственно,и определим, как области снаружи от сфер x = ∓z:F+ ⇋ {p ∈ Z’ : x(p) > z}.Неподвижный точечный заряд q, который мы желаем рассмотреть, поместим вточку p∗ (это точка пространства Z’ , не M’ ). Для определённости будем считать еёлежащей в «правой» плоской области F+ . Уравнения Максвелла имеют в лоренцевойкалибровке видAa;b ;b = −4πJ a ,см. например, [12, задача 14.16], а употреблённые выше слова «неподвижный точечныйзаряд q» означают, что нас интересует случай, когда ни A, ни J не зависят от t иJ 0 = qδ(p − p∗ ),J µ = 0 при µ = 1, 2, 3,p∗ ∈ F+ .(2)Скалярный потенциал Φ ⇋ A0 подчинён у нас, таким образом, (трёхмерному) уравнению∆Φ = −4πqδ(p − p∗ ).(3а)Это уравнение мы дополним граничным условиемmax Φ(r, ϑ, ϕ) → 0ϑ,ϕпри r → ∞,(3б)означающим, что решения с неограниченно растущим на бесконечности потенциаломотбрасываются, как нефизические.2.

Замечание. Вообще говоря, уравнения Максвелла можно обобщать на искривлённые пространства-времена по-разному, см., например, задачу 14.16 в [12]. К счастью,в рассматриваемом нами пространстве R0a = 0, и для тока (2) эта разница на уравнениях(3) не сказывается.Решив уравнения (3), мы узнаем потенциал, а значит, и напряжённостьE = −∇Φ,электрического поля, создаваемого точечным неподвижным зарядом. После чего намостанется аккуратно сформулировать и решить обратную проблему: с какой силойизвестное поле действует на (пробный) неподвижный точечный заряд. Задача эта, в— 219 —общем случае, чрезвычайно сложна и требует, видимо, принятия неких дополнительных постулатов [146].

К счастью, в нашем случае, этих сложностей можно избежать,и опять за счёт удачной формы кротовой норы: нам достаточно определить действиеполя на пробный заряд, который находится в плоской области F+ . А такой заряд,пусть его величина есть q̆, а месторасположение — p̆ ∈ F+ , испытывает со стороныэлектрического поля силу F , которую можно найти точно так же, как это делаетсяв пространстве E3 : потенциал в p̆ разбивают на потенциал, «порождённый пробнымзарядом» (в каждой точке s некоторой окрестности p̆ он имеет величину q̆/| p̆, s|, где| p̆, s| — расстояние от p̆ до s) и потенциал «внешнего поля».

Сила F связывается толькос этим последним слагаемым:F ( p̆) = −q̆∇s Φren (s),Φren (s) ⇋ Φ(s) −s= p̆q̆,| p̆, s|(4)где Φren (s) в точке s = p̆ доопределяется по непрерывности, а значок s у ∇ означает,что дифференцирование производится по координатам s. Чтобы воспроизвести этотподход в случае кротовой норы, мы введём функцию расстояния |·, ·| для пар точек,лежащих в одной плоской области. А именно, мы продолжим F+ , рассматриваемую,как самостоятельное пространство, а не как часть Z’ , до трёхмерного евклидова пространства (для этого в F+ достаточно вклеить шар радиуса z + 1 с плоской метрикой),и для всех a, b ∈ F+ определим |a, b|, как расстояние между a и b в этом «фиктивном»евклидовом пространстве.

Очевидно, величина |a, b| в случае, когда в F+ лежит весьотрезок от a, до b, совпадает с расстоянием между a и b в Z’ .n◦ 2Мультипольное разложениеБудем искать решение (3а) стандартным для матфизики способом разделенияпеременных [3]: вдохновившись симметрией задачи мы перейдём к сферическим координатам. 3-метрика γ на Z’ имеет в них видγxx = 1,γϑϑ = r−2 ,γϕϕ = r−2 sin−2 ϑ,√γ = r2 sin ϑ(неуказанные компоненты равны нулю), и, соответственно,hi1√√∆Φ = √ ∂α γγαβ ∂β Φ = γαβ ∂α ∂β + γαβ ,α ∂β + γαβ (ln γ),α ∂β Φ =γh2r01 i2= ∂x + ∂x + 2 ∆Ω Φ, (5)rrгде штрих означает производную по x, а ∆Ω — угловую часть лапласиана:∆Ω ⇋ ∂2ϑ + ctg ϑ ∂ϑ + sin−2 ϑ ∂2ϕ .— 220 —Искомое решение будем строить (как именно, см.

предложение 5 ниже) из сферических функций и решений вспомогательного уравненияh r00 l(l + 1) i∂2x −+z=0rr2(6)[здесь и далее l — натуральное число], которое связано с радиальной частью предыдущего благодаря тождествуhh r00 l(l + 1) i2r0l(l + 1) i z2z≡r∂+∂2x −+∂−.xxrr2rr2r(7)Остаток данного пункта посвящён исследованию уравнения (6).

Для начала перепишем его в виде(z0 r − r0 z)0 = l(l + 1)z/rи проинтегрируем по промежутку (x0 , x), где x0 — некоторая константа. Разделив результат на rz, получимz0 (l, x) r0 (x) (z0 r − r0 z)|x0 l(l + 1)−=+z(l, x) r(x)rzrzZxx0z(l, x̆) dx̆.r(x̆)(8)Заметим, что в плоской области |x| > z член с r00 в уравнении (6) исчезает и легконайти его общее решение: это линейная комбинация r−l и rl+1 .Обозначения. Через z− (l, x) и z+ (l, x) мы обозначим те решения уравнения (6), которыеравны r−l при, соответственно, x < −z и x > z. Для определённости ниже обсуждаютсяв основном z− (l, x), но всё сказанное про них верно и для z+ (l, x) с заменой F+ ↔ F− .При x 6 −z и z− , и z0− неотрицательны (напомним, что l натурально). Оказывается, этоверно (с некоторым уточнением) и для бо́льших x.

Действительно, попробуем найтинаименьшее значение переменной, обозначим его x1 , при котором положительность z−нарушается:z− (l, x1 ) = 0z− (l, x) > 0∀x < x1 .В силу гладкости z− отношение z0− (l, x)/z− (l, x)− должно было бы стремиться к −∞ приx → x1 − 0, а этого не может быть, так как, подставив z = z− и x0 = −z в уравнение (8),мы получаемz0− (l, x) r0 (x)r(−z)−ll(l + 1)=+ (l + 1)+z− (l, x)r(x)rz− (l, x) r(x)z− (l, x)xz− (l, x̆) dx̆,r(x̆)−zZ(9)и обнаруживаем, что первое слагаемое в правой части ограничено, а два следующих— по предположению положительны вплоть до x1 , которое должно быть больше −z.Таким образом, точки x1 не существует и z− (l, x) положительна на всей оси.

А значит,— 221 —при x > z, когда все слагаемые в правой части (9) положительны, z0− (l, x) положительнатоже. Итак, мы установили, что∀xz− (l, x) > 0,∀x > zz0− (l, x) > 0.(10)Далее, прямо из (6) следует положительность z00− при x > z, а также при любых x, но lбо́льших некоторого lˆ (величина последнего определяется требованием, чтобы слагаемое в круглых скобках было везде положительным).

А значит, монотонно растущейи, как следствие, положительной оказывается и первая производная. Что доказываетследующее3. Предложение. Функции z− (l, x) положительны. Вне интервала |x| 6 z, а при l > lˆ и наэтом интервале тоже, они вогнуты и монотонно растут.4. Следствие. Частное z/r, где z — решение уравнения (6), при l 6= 0 неограниченно.При x > z, то есть в «другой вселенной», z− (l, x) уже, вообще говоря, представляется комбинациейz− (l, x)x>z= Cl (rl+1 + αl r−l )(такое представление было бы невозможно, для таких z− (l, x), которые пропорциональны r−l и в F+ , но предложение 3 гарантирует, что таких z− не существует). Обратныеформулы11[z− (l, x)r−(l+1) ]0 r2l+2 ,Cl =[z− (l, x)rl ]0 r−2l ,2l + 12l + 1верные при x > z, легко проверяются прямым вычислением.

Вторая из них в сочетаниис (10) доказывает, чтоCl αl = −Cl > 0.(11)Коэффициент αl тоже допускает простую (грубую, как мы увидим) оценку. Действительно,0 −(l+1)− (l + 1)z− r−(l+2)[z− (l, x)r−(l+1) ]0 r2l+24l+2 z− r= −r=αl = −[z− (l, x)rl ]0 r−2lz0− rl + lz− rl−1(l + 1) − rz0− /z−0x=z2l+1 (l + 1)z− − z− r2l+1=r= r (z)=z0− r + lz−l + rz0− /z−x=z"(2l + 1)= r2l+1 (z) −1 +l + rz0− /z−#, (12)x=zа из предложения 3 следует положительность rz0− /z−начиная с некоторого l. Слеx=zдовательно,∃ lˆ: ∀ l > lˆ− r2l+1 (z) < αl < 2r2l+1 (z).(13)— 222 —n◦ 3Функция Грина5.

Предложение. В системе координат, в которой ϕ∗ = ϑ∗ = 0 [отныне и далее индекс ∗означает, что соответствующая величина ищется в p∗ , то есть ϕ∗ ⇋ ϕ(p∗ ), r∗ ⇋ r(p∗ ) и т.д.] общее решение уравнения (3) естьΦ = Φinh − QZzxdx̆+ Φ0 ,r2(14)гдеΦinh ⇋qr∞∑ vl (x)Pl (cos ϑ),(15)l=0Q и Φ0 — произвольные константы, иvl (x) ⇋ (r∗Cl )−1 H(x − x∗ )z+ (l, x)z− (l, x∗ ) + H(x∗ − x)z− (l, x)z+ (l, x∗ ) ,H(x) ⇋ 12 (sign x + 1),Pl — полиномы Лежандра.Справка.

Характеристики

Список файлов диссертации