Диссертация (1145314), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Однако вопреки широко распространённому мнению эти результаты, видимо, нельзя считать полным запретом топологическихпереходов. Дело в том, что некомпактность упомянутых подмножеств, возможно, ине делает пространство-время столь уж «нефизичным». Сама по себе она не означает ни бесконечной кривизны, ни расширяемости, ни каких-либо других заведомонеприемлемых свойств. В то же время более мягкое условие, исключение толькосингулярностей и нарушений СЭУ (но не бесконечностей), ещё не позволяет исклю-— 234 —чить изменения топологии. Доказательству этого утверждения и посвящён настоящийпараграф. А именно, мы предъявим определённую процедуру.
Следуя ей можно построить конкретные пространства-времена (Mw , 1), в которых изменения топологии несопровождаются ни появлением сингулярностей, ни нарушениями слабого энергетического условия [100].Упомянутая процедура состоит в следующем. Из плоского двумерного пространства (N, η) методом «кройки и шитья», см. 1.
§ 6, получаем (пока что двумерное и сингулярное) пространство (Nw , η) с меняющейся, в смысле обсуждавшегося выше определения, топологией. Затем подбираем конформный множитель w−2 , который удалилбы возникшие на первом этапе сингулярности на бесконечность. Искомое пространство-время (Mw , 1) — это произведение (Nw × S2 , 1(w) × 1(r∗ ) ), где 1(w) ⇋ w−2 η, а (S2 , 1(r∗ ) ) —стандартная сфера радиуса r∗ ,1:ds2 = w−2 (−dx02 + dx12 ) + r∗2 (dx22 + sin2 x2 dx32 )(37)(x2 и x3 — это просто другое обозначение для обычных сферических координат ϕ andϑ). Топология (Mw , 1) меняется со временем, но это не мешает ему оставаться вполне«хорошим» в остальных отношениях.
В частности, Mw может содержать область, получаемую удалением компактного множества из некоторого глобально гиперболического максимального пространства. Такое Mw описывает «лабораторное» (в отличие от«космологического») изменение топологии. Эта же конструкция пригодится нам и припостроении несингулярной машины времени в 4. § 5.7. Примеры.
1). Мост. Разрежем плоскость Минковского N вдоль отрезка |x0 | 6 1, x1 =1, см. рисунок 1а. Затем сделаем ещё один такой же разрез при x1 = −1. Построим Nw ,склеив правый берег каждого из двух разрезов с левым берегом другого (то есть Nw— это пространство-время M2 из примера 2.26). Определим на нём функциюρ ⇋ (x02 − 1)2 + (x12 − 1)2(x0,1 — это координаты, унаследованные от N, они покрывают всё Nw кроме двух отрезков) и выберем в качестве w какую-нибудь положительную функцию, равную ρпри малых ρ и постоянную при ρ > 1. Получившееся из такого Nw описанным вышеобразом Mw представляет собой вселенную, между удалёнными областями которой нанекоторое время появляются два «моста».2). Компактификация.
Пусть N будет теперь плоским цилиндромds2 = −dx02 + dx12 ,x0 ∈ R,x1 = x1 + 3,а w — произвольной гладкой функцией, постоянной при x02 + x12 > 1 и положительной(только) на Nw ⇋ {p : p ∈ N, x02 +x12 > 1/2}. Тогда вселенная Mw изначально замкнута в томсмысле, что сечения x0 = const (являющиеся для этой начальной области поверхностями— 235 —(а)(б)Рис. 1: а) Для получения Nw левый берег каждого из вертикальных разрезов склеивается с правым берегом другого. За пределами светлосерых областей (заметим, чтоэто две, а не четыре области) w постоянна.
б) Изначально глобально гиперболическаязамкнутая вселенная становится в ходе эволюции открытой и затем снова замкнутой.Коши) компактны. С течением времени, однако, она становится открытой и потомкомпактифицируется опять, см. рисунок 1б. Всё это происходит, как мы увидим, безобразования каких-либо сингулярностей.Построенные пространства, хотя и не являются глобально гиперболическими,«почти столь же хороши». В частности, они сильно (и устойчиво [27]) причинны.
Проверим, что при надлежащем выборе r∗ они обладают и остальными заявленными свойствами.Tензор Римана для изучаемой метрики можно найти, например, с помощью формулы [13, (14.50)]. В ортонормированном базисеω(0) ⇋ w−1 dx0 ,ω(1) ⇋ w−1 dx1 ,ω(2) ⇋ r∗ dx2 ,ω(3) ⇋ r∗ sin x2 dx3его неравные нулю компоненты с точностью до перестановки индексов сутьR2̂3̂2̂3̂ = r∗−2 ,R0̂1̂0̂1̂ = −E ⇋ w,2x0 −w,2x1 +w(w,x1 x1 −w,x0 x0 )(шляпки над индексами стоят для согласования с обозначениями [13]). Таким образом, все скаляры кривизны ограничены, так же как и приливные силы действующие на свободно падающего (либо движущегося в течение конечного времени сконечным ускорением [97]) наблюдателя.
Тензор Эйнштейна в том же базисе равенGâb̂ = diag(r∗−2 , −r∗−2 , −E, −E), так что слабое энергетическое условие выполняется, еслиr∗−2 > w(w,x1 x1 −w,x0 x0 ) + w,2x0 −w,2x1 .(38)— 236 —Осталось доказать, что в Mw нет сингулярностей. Уточним это утверждение.Существует много разных подходов к тому, что следует считать сингулярностью,см. [8, 27]. Грубо говоря, всё зависит от того, как определять длину кривых (этонетривиально, так как метрика псевдориманова) и от каких непродолжимых кривыхтребовать, чтобы они были бесконечно длинными [8].
Например, можно было бы потребовать, чтобы все времениподобные непродолжимые геодезические были полны поаффинному параметру, и считать нарушение этого условия сингулярностью. Или признавать сингулярными пространства, в которых неполны (по собственному времени)оказываются какие-нибудь времениподобные кривые с ограниченным ускорением.
Ит. д. Мы примем наиболее слабое из общепринятых определений (то есть такое, чтоесли пространство не сингулярно в соответствии с ним, то тем более и в соответствиис остальными) и будем отождествлять сингулярность с b-неполнотой, см. ниже. Приэтом нас не будет интересовать полнота кривых, непродолжимых в N × S2 (то, есть, например, уходящих на бесконечность). Мы исследуем только те кривые, вдоль которыхw → 0, то есть проверим, что переход от η к 1(w) действительно избавляет пространствоот сингулярностей w = 0, превращая их в бесконечности.Итак, рассмотрим кривую γ(ζ) : [0, 1) → Mw . Обозначим через l её вектор скоростиl i = dxi (ζ)/dζ,где xi (ζ) ⇋ xi γ(ζ) ,а через γNw и γS — её проекции на Nw и S2 , соответственно.
Далее, выберем в γ(0) (или,выражаясь строже, в Tγ(0) ) какой-нибудь ортонормированный базис {e(i) (0)}. Тогда востальных точках γ определены базисы {e(i) (ζ)}, полученные из {e(i) (0)} параллельнымпереносом вдоль γ(ζ):ea(i) ;b l b = 0.(39)Обобщённая аффинная длина отрезка γ есть величинаZ ζ1/22Lγ (ζ) ⇋∑ 1(l, e(i)) dζ 0,0(40)iсм.
[150]. Конкретное значение L(ζ) зависит от выбора начального репера, но ограниченность — нет. γ называется b-полной, если Lγ (ζ) неограниченно растёт при ζ → 1.Для исследования b-полноты в Mw удобно выбрать орты в начальной точке направленными вдоль координатных линий e(i) (0) ∼ ∂xi , а также ввести координаты α ⇋ x1 + x0 ,β ⇋ x1 − x0 , в которых метрика приобретает вид1(w) :ds2 = w−2 dαdβ,и соответствующие им орты e(α) ⇋ 21 (e(1) + e(0) ), e(β) ⇋ 12 (e(1) − e(0) ) (они, конечно, тожеполучаются параллельным переносом начальных векторов вдоль γ). Среди ненулевыхсимволов Кристоффеля значки α или β имеют толькоΓµµµ = 21 gµν 2gµν ,µ = (ln gµν ),µ = −2σ,µσ ⇋ ln w,µ, ν ⇋ α, β,µ 6= ν(41)— 237 —(суммирование по повторяющимся значкам здесь не подразумевается).
Отсюда видно,что, когда тетрада {e(i) (0)} параллельно переносится в пространстве Mw , диады {e(m) },m = 0, 1 и {e( j) }, j = 2, 3 переносятся тоже параллельно в пространствах Nw и S2 , соответственно. Поэтому, определив длины LγNw и LγS заменой в (40) i на m и j, соответственно,получим оценкуLγ > LγNw , LγS .(42)8. Предложение. Если w[γ(ζ)] → 0 при ζ → 1, то γ b-полна.Доказательство. В координатах α, β уравнения параллельного переноса (39) принимают видeµ(i),ζ = −Γµµµ µ̇eµ(i)(суммирования по µ, по-прежнему, нет, а точка означает производную по ζ) и легкорешаются после подстановки в них (41):eµ(µ) = eµ(µ) (0) exp{2j=0em( j) = e(m)Zζσ,µ µ̇ dζ},0m = 0, 1,eµ(ν) = 0,µ 6= ν;(43)j = 2, 3.Зададимся теперь конкретным значением ζ и потребуем, чтобыZζ0σ,β β̇ dζ 0 >Zζσ,α α̇ dζ 0 .(44)0При надлежащем выборе того, какая из светоподобных координат обозначается α, акакая β, это неравенство всегда выполняется.
Поэтому, мы ни в какой мере не уменьшили общность и только лишились права (которым до сих пор располагали) на заменукоординат α ↔ β. Кроме того, потребуем ещё, чтобы ln[w/w(0)] 6 0 (по условию w на γстремится к нулю, поэтому и это требование не ведёт к потере общности). Теперь изочевидного тождестваZ ζ−2 −2w(ζ)= w(0) exp{−2 (σ,α α̇ + σ,β β̇) dζ 0 }(45)0следует, что (44) влечёт за собой неравенстваZ ζ Z ζZ ζ 000σ,α α̇ dζ < 0иσ,α̇dζ>σ,β̇dζαβ ,000откуда, в частности,Z0ζ1|σ,α α̇| dζ > −20Zζ0(σ,α α̇ + σ,β β̇) dζ 0 = 21 ln[w(0)/w(ζ)].(46)— 238 —Для оценки LγNw подставим в его определение неравенство1/2 1/21(l, e(0) )2 + 1(l, e(1) )2= 21(l, e(α) )2 + 21(l, e(β) )2>hi> |1(l, e(α) )| + |1(l, e(β) )| = w−2 |α̇eβ(β) | + |β̇eα(α) |в сочетании с выражением (43).
Тогда выбор eα(α) (0) = eβ(β) (0) = w(0) дастLγNw (ζ) > w(0)Zζ |α̇| exp{2Zζ0σ,β β̇ dζ } + |β̇| exp{20000Zζ0σ,α α̇ dζ 00 } w−2 dζ 00Отсюда, сначала отбросив второе слагаемое, а затем подставив тождество (45) и воспользовавшись неравенством (46), получимLγNw (ζ) > w(0)Zζ |α̇| exp{2Z= w (0)Zζ |α̇| exp{−20σ,β β̇ dζ 00 } w−2 dζ 0 =00−1ζ0Z0ζ0σ,α α̇ dζ } dζ >000Zζ|α̇/w| dζ 0 >01>max |w,α |Zζ0|σ,α α̇| dζ 0 >ln[w(0)/w(ζ)],2 max |w,α |где последнее неравенство получено опять с помощью (46).— 239 —§4Метрика «портала»В этом параграфе наша задача — предъявить аналитическое выражение [107] дляпространства-времени, описанного в начале 7. § 2 n◦ 3.
А именно, мы построим статичный «портал» M = L1 × P , где Риманово пространство P имеет структуру, иллюстрируемую рисунком 7.2. Чтобы упростить задачу, мы выпишем явно метрику другогопространства, P , из которого P получается простой операцией отрезания и склеивания. По аналогии с кротовинами, см.
3. § 2 n◦ 1, P можно назвать «межмировым»порталом, и оно соотносится с P , как W с W . Обсуждаемое пространство-время аксиально симметрично, то есть P() получается вращением некоторых, уже двумерных,поверхностей. Вот эти поверхности нас, в основном, и будут интересовать.Введём в евклидовом пространстве E3 цилиндрические координаты (z̄, ρ̄, ϕ̄)ds2 = dz̄2 + dρ̄2 + ρ̄2 dϕ̄2(47)] и удалим из него полноториеh, ρ0H̄ ⇋ {(ρ̄ − ρ0)2 + z̄2 6 h2}, где— константы такие, что 0 < h < ρ0 .(48)Результирующее пространство E3 − H̄ обозначим W̄. Сечение ϕ̄ = 0 этого пространства,обозначаемое Θ̄, есть евклидова полуплоскость (z̄ ∈ R, ρ̄ > 0), из которой удалён кругC̄ ⇋ {(ρ̄ − ρ0)2 + z̄2 6 h2}, являющийся, очевидно, сечением H̄, см. рисунок 2.Θ1Θ2ρρzz=0d2ρ =0Рис.
2: Пространство P . Оно получается удалением из пары полуплоскостей по кругу(они закрашены светло-серым) и по вертикальному отрезку с последующим склеиванием — крест-накрест — берегов получившихся разрезов. Чтобы превратить кротовину во внутримировую, то есть в P , нужно удалить ещё и заштрихованные области иотождествить их границы.Мы хотим построить для пространства W̄ двулистное накрытие W и вместо H̄вклеить в него что-то — оно будет обозначено H — так, чтобы «заполнить дыру»,— 240 —оставленную удалением H̄, не воспроизводя при этом сингулярность, присущую последнему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
