Диссертация (1145314), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Величине ∆можно придать любое значение просто координатным преобразованием t 0 = t ch γ + x sh γ,x0 = t sh γ + x ch γ). Но даже если мы и придумаем ему какое-нибудь разумное определение, расстояние между сферами с радиусами r1 и r2 едва ли будет характеризоватьсяразностью δ ⇋ r1 − r2 , которая на самом деле показывает всего лишь насколько площадьодной сферы больше чем другой, см. замечание 3.7.§3Эволюция горизонтаУравнения Эйнштейна для метрики (7) имеют вид4πTvu = ( 14 F 2 + rr,vu +r,v r,u )r−2 ,4πTvv = (2r,v f ,v −r,vv )r−1 ,где(16)f ⇋ ln F,(17)— 201 —4πTuu = (2r,u f ,u −r,uu )r−1 ==−(18)2Frr,u ,u ,F2(19)2r2(r,vu /r + f ,vu ).(20)F2В предположении слабости испарения, обсуждавшемся в § 2 n◦ 3, они существенноупрощаются.
В частности, на горизонте левой частью уравнения (16) можно пренебречь, см. неравенство (13в), а r,v здесь исчезает по определению, и мы имеем4πTϑϑ = −r̂,vu = −F̂ 2.8m(21)Уравнение (17) в сочетании с (13а) превращается вr̂,vv =πK F̂ 4.2m3 r̂,2u(22)Аналогично, (18) в приближении (13б) даётr̂,uu = 2r̂,u fˆ,u −3πcr̂,2u m−3 .(23)И, наконец, уравнение (20) с учётом (13д) сводится кf ,vu = −r,vu /r.(24)n◦ 1ИспарениеВ этом пункте мы устанавливаем соотношение между «массой» m (или нормированной массой µ = m/m0 ) и «временем» v (непосредственно для определения проходимости Mwh это соотношение нам не понадобится, но будет необходимым для проверкисамосогласованности модели). Мы увидим, что m убывает с v, именно это и называетсяиспарением.Как уже упоминалось выше, горизонт можно параметризовать и массой m, икоординатами u или v.
Эти три параметризации связаны следующими очевиднымиформулами:2dm dr̂dv̂≡= r̂,u +r̂,v= r̂,udududu(25)иdv̂r̂,vu=−,dur̂,vv(26)первая из которых получается прямо из определений (11), (12), а вторая из того факта,что 0 = dr̂,v = r̂,vu du + r̂,vv dv̂.— 202 —4. Следствие. Подставляя (21) и (22) в (26), обнаруживаем, что dv̂/du > 0 и немедленноприходим к важнейшему выводу: горизонт H в нашей модели времениподобен.Комбинируя уравнения (25) и (26) и подставляя в результат (21) и (22), получимr̂,vu r̂,u m2 −2dv̂= −2r̂,−1=F̂ ,udmr̂,vv2πKили, эквивалентно,dv̂8m0 r̂,u,=3dµ3c F̂ 2где µ ⇋ m/m0 .(27)Оценим правую часть этого уравнения. Пусть γ — отрезок геодезической v = constмежду точками p0 и p00 , см. рисунок 2 и текст перед условием (13г). В силу (19) на γ r, 4πr4πr r,u u,du=−Tdu=−Tuu 2 dr,uuuF2F2r,2uFи, значит, [я пишу v вместо v̂ или, что то же самое, v(p00 )]r̂,u 0r,u 00(p)≡(p ) · expF2F̂ 2Z γr,u ln 2 ,u du =F Zv4πrTuu drv=−exp −≈−.
(28)8m0r,2u8m0γЗдесь последнее равенство следует из (13г), а множитель при экспоненте упрощёнс помощью первых равенств в формулах (2) и (5б). Итак, мы выяснили, что равенство, см. (5б), которое в шварцшильдовском случае соблюдается во всём пространстве,продолжает соблюдаться — хотя бы на горизонте — и при учёте испарения. Подставляя (28) в (27), получаем искомую зависимостьv̂(µ) = v0 expn13co(1 − µ3 ) .(29)В качестве немедленного применения можно найти предел1v∞ ⇋ v̂(m = 0) = 0e 3c ,а значит, и оценить время TRev [в смысле (14)], за которое нора испаряется. А именно,будем считать, что она начала испаряться в тот же момент TRst , как появилась, то есть,при v̂ = v0 . Концом же испарения, да и всего её существования, считаем момент TRfi ,когда v̂ = v∞ . Тогда время испарения для кротовой норы естьTRev=TRfi − TRst=2m0 ln(v2∞ κR ) − 2m0 ln(v20 κR )34m0m067=≈ 10лет.3cM⊙Весьма поучительно сравнить этот результат с оценкой [138, (26)].— 203 —5.
Замечание. Из сказанного до сих пор не видно, что кротовая нора обязательно успеет испариться, то есть, что µ успеет достигнуть нуля, а v, соответственно, значенияv∞ . Можно было бы представить себе, что горизонт в ходе эволюции асимптотическистремиться к некоторой прямой v = vH , где vH — константа меньшая, чем v∞ . Однако внашей модели такое исключено. Действительно, в силу симметрии задачи левый горизонт имел бы в таком случае асимптоту u = uH , а это означало бы, что горизонты(они, напомним, времениподобны, см. следствие 4) в некоторой точке пересекаются.Но это противоречит (10б).6.
Замечание. Координатное преобразование (u, v) → (r, ṽ), где ṽ ⇋ 4m0 ln v придает метрике вид222ds2 = −F 2 r,−1u dv(−r,v dv + dr) + r (dϑ + cos ϑ dϕ) =iF 2v h 12=vr,v dṽ − 2drdṽ + r2 (dϑ2 + cos2 ϑ dϕ) =2m08r,u m0= −(1 − 2mV /r)dṽ2 + 2drdṽ + r2 (dϑ2 + cos2 ϑ dϕ),mV ⇋ r2m0 − vr,v.4m0В окрестности горизонта это, фактически, метрика Вайдиа [82, (9.32)], поскольку цепочка равенств4m0 mV ,u = 2m0 r,u −v(r,u r,v +rr,uv )1= 2m0 r̂,u + vF̂ 2 = 04H[второе следует из (11) и (21), а последнее — из (28)] доказывает, что mV зависит толькоот ṽ.n◦ 2Сдвиг горизонтаВ этом пункте мы решаем — весьма громоздкую — техническую задачу, а именно,ищем зависимость û(m). Для этого мы сначала, объединяем соотношения (21)–(24) вобыкновенное дифференциальное уравнение, которому подчиняется r̂,u [это уравнение (34)], а уж из r̂,u с помощью (25) находим û(m).Итак, выпишем для начала следующее следствие соотношений (25) и (26)ddu ∂dv̂ ∂r̂,2vu −1r̂,u =+r̂,u = 2r̂,u r̂,uu −.(30)dmdm ∂u du ∂vr̂,vvИспользуя теперь (23) и уравнениеr̂,2vum=,r̂,2u r̂,vv 32πKкоторое следует из (21) и (22), перепишем (30) какr̂,−1udr̂,ufˆ,um=4− 4πcm−3 −.dmr̂,u16πK(31)— 204 —Чтобы оценить первый член в правой части, рассмотрим отрезок λ светоподобнойгеодезической u = const между точками p ∈ E и p0 ∈ H.
На этом отрезке из (5г) и (24)следует равенствоfˆ,u ≡ f ,u (p0 ) ≡ f ,u (p) +Zλf ,uv dv = −1 + x̄x̄,u −2x̄r,uvdv.λ rZ(32)[здесь и далее я для краткости буду писать r̄, x̄,u и т. д. вместо r(p), x,u (p) и т. д.;заметим, что в этих обозначениях ū(v) = û(v)].
Знак r,uv постоянен, см. (10а), а r (которое,как было показано в § 2 n◦ 2, монотонно убывает на отрезке λ) меняется от r̄ до 2m.Таким образом, мы можем воспользоваться обобщённой теоремой о среднем [24] иполучитьZˆf ,u = 1 − 1+1/x̄ r̄,u − 1 r̄,u + r,uv dv = 1 − 1+1/x̄ r̄,u − 1 r̂,u ,2mH4m02mH2mH4m02mHλгде mH — константа (для данной λ), лежащая между m и r̄/2, (это же можно сформулировать в виде неравенств1 m0 166 ,x̄ mH µ(33)чем мы воспользуемся чуть ниже). Подставляя полученное выражение для fˆ,u в (31)−3и пренебрегая членами ∼ m−1по сравнению с последним слагаемым, получим,H , mнаконец, упоминавшееся дифференциальное уравнениеr̂,−1umdr̂,u 2ξx̄,u=−,dmr̂,u16πKξ⇋ 2m1− −1 .mHx̄0(34а)Начальным условием для него будет служить равенствоr̂,u (m0 ) = −2m0 v0 /e,(34б)следующее из (5б).Решение этого уравнения естьm0 v0[1 + Ξ(µ)] y(µ),гдеeZ1ξ1−µ2ex̄−1Ξ(µ) ⇋y(µ) ⇋ e 2c ,dµ0 .v0 µ yūx̄r̂,u (µ) = −2Доказательство.
Перепишем обсуждаемое уравнение в видеdr̂,u µ+ r̂,u = 2ξx̄,u m0 ,dµcили, эквивалентно,µ2e− 2cd µ2c2 e r̂,u = 2ξx̄,u m0 .dµ(35)— 205 —Тогда станет очевидно, чтоZ µ2ξx̄,u m0 0r̂,u (µ) = r̂,u (1) +dµ y.y1Применяя (5б) к обоим членам в скобках, получаем (35).Остаток данного пункта посвящён нашей основной задаче, определению и исследованию û(m). А именно, пользуясь сначала (25), а потом (35), мы представим û ввидеµZû(µ) = 2m01dµ0e=0r̂,u (µ ) v0Z1µdµ0,y(µ0 )[1 + Ξ(µ0 )](36)найдём ограничения на |Ξ| вида|Ξ| 6 Ξm 6 1и получим таким образом оценкуev0 (1 + Ξm )Zµ1edµ06û(µ)6y(µ0 )v0 (1 − Ξm )Zµ1dµ0.y(µ0 )Для упрощения задачи введём вспомогательную величинуµ? :û(µ? ) = v0 .(37)и рассмотрим порознь массы бо́льшие и меньшие, чем µ? m0 . Физический смысл этойпороговой массы состоит, как видно из рисунка 2, в том, что, когда кротовина в процессе испарения достигнет её, наблюдатель в области IV впервые увидит сквозь этукротовину «другую вселенную».Ранний этап испаренияНа участке горизонта û < v0 луч λ может пересечь E в одной, двух или трёх точках,см.
свойства (i) и (ii) на стр. 194. Но одна из них в любом случае лежит между горизонтами. Выберем именно эту точку в качестве точки p, входящей в определение mH , азначит и ξ, см. уравнение (34а). Такой выбор, в частности, гарантирует нам, что x̄ < 1и v̄ < v0 . А тогда [первое равенство следует из (3)](1 − x̄)/ū = v̄e−x̄ < v0x̄ = 1 − (1 − x̄) > 1 − (1 − x̄)ex̄ = 1 − ūv̄ > 1 − v20и, следовательно [вспомним, что c, а значит и v0 , по предположению (9) много меньше1],|x̄ − 1|v0<< 2v0 .ūx̄1 − v20(38)— 206 —Заметим теперь, что в данном случае, то есть при x̄ < 1, из (33) следует161 m0 166 ,x̄ mH µи это даёт нам оценку0 < ξ ≡ ( mmH0 − 1) + ( mmH0 − 1x̄ ) 6 21−µ.µ(39)Подставляя её в определение Ξ, см.
(35), и пользуясь затем неравенством (38), получим2e|Ξ| 6v0Z1µ1 − µ́ |x̄ − 1|dµ́ < 4eZ,µ́y(µ́) ūx̄ZгдеZ⇋µ11 − µ́dµ́.µ́y(µ́)(40)Чтобы оценить Z, возьмём соответствующий интеграл по частямZ 1Z 1 µ́2 2µ − 1 −1+µ21 − µ́ µ́ −1+2cµ́211−dµ́ = ce 2c dµ́Z≡cee 2c + e 2c−µ́2 cµ2µ́3 µ́2µµи заметим, что подинтегральная функция в правой стороне положительна (это очевидно) и монотонно растёт при 1 > µ́ > 1/m0 (то есть пока кротовая нора остаётсямакроскопической).Доказательство. Действительно, её экстремумы — это корни уравненияacuteµ3 − 2µ́2 − 2cµ́ + 6c = 0.(41)Функция в левой части получается из функции µ́3 − 2µ́2 , корни которой суть 0 и 2,прибавлением малой (∼ c) функции, положительной на всём интересующем нас промежутке [0, 1].
Так что, на этом промежутке будет единственный (и невырожденный)√корень. Он ≈ 3c, что можно просто найти, решая уравнение µ́2 +cµ́−3c = 0 [полученное√пренебрежением члена µ́3 в (41)]. Но 3c < 1/m0 , см. (9).√Поэтому, распространяя интегрирование на интервал ( 3c, 1) (что происходит применьших µ, нас не интересует), разбивая этот интервал точкой µ́ = 1 − 100c и заменяя на каждом из двух так полученных промежутков подинтегральную функцию еёмаксимумом, имеем1− 2ceZ 12µ 21 µ́2c21 −1+2cµ́2−e dµ́ 6 1 − 100c−eµ́3 µ́2µ́3 µ́2µ́=1−100c+ 100c · 1 ≈≈ e−100 + 100c,откудаZ 6 e−100 c + 100c2 .(42)Будучи подставлено в (40), это даёт|Ξ(µ)| 1и, как следствие, û(µ) ≈ev0Zµ1dµ0y(µ0 )при µ & µ? .(43)— 207 —Как мы обсуждали в замечании 5, (нормированная) масса кротовины достигнетзначения µ? и будет продолжать уменьшаться (эту стадию мы рассмотрим чуть ниже).Но нам важно будет знать ещё и когда это случится, то есть чему равно µ? .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
