Диссертация (1145314), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Выберем какую-нибудь неотрицательную функцию f , нормированную условиемZ∞f (τ) dτ = 1−∞и определим с ее помощью «взвешенное среднее» плотности энергии% f (V ; τ0 ) ⇋Z∞−∞%(V ; τ) f (τ − τ0 ) dτ.(1)Здесь τ — собственное время наблюдателя, а интеграл берётся по его мировой линии.Чтобы сформулировать «квантовое неравенство», рассмотрим времениподобныйгеодезический сегмент γ : (τ1 , τ2 ) → M и обозначимT⇋−1/2max |Rı̂ ̂m̂n̂ |,где максимум берётся по всем τ ∈ (τ1 , τ2 ) и всем наборам индексов (шляпки над индексами означают, что соответствующие компоненты найдены в собственной системенаблюдателя γ, то есть, в ортонормированном базисе, один из ортов которого направлен вдоль касательной к γ). Пусть сегмент γ настолько короток, что|τ2 − τ1 | .
T,(2а)J + (γ) ∩ J − (γ) — шар (топологически).(2б)Центральное место в последующем обсуждении играет следующее утверждение.— 179 —1. Квантовое неравенство. Существует такая f с носителем на (τ1 , τ2 ), что для любогоM, любой γ, удовлетворяющей (2), и любого разумного V−% f (V ) . c|τ2 − τ1 |−4 ,(3)где c — постоянная порядка единицы.Следует чётко отличать это утверждение от множества других похожих, которыевстречаются в литературе и даже иногда под тем же названием (обзоры и ссылкисм.
в [149] или [144]; мы таких утверждений рассматривать не будем за единственнымисключением в конце следующего пункта). Дело в том, что среди этих похожих утверждений есть, по-видимому, верные и даже доказанные, однако «небольшое» отличиев формулировках делает их непригодными для ограничения лазов. Характерна в этомсмысле ситуация с самим утверждением 1: оно доказано пока в единственном случае,когда M — пространство Минковского2) , но для теории лазов этот случай очевиднобесполезен. Усилить же квантовое неравенство нелегко. Известно, например, что оностановится неверным [66], если отменить какое-нибудь из условий (2), см.
ниже, или= const.(по крайней мере в двумерном случае [108]) если f(τ1 ,τ2 )n◦ 2Связь с лазамиВ предположении, что квантовое неравенство верно, его используют для получения оценок на величину нарушения СЭУ, рассуждая примерно так. Рассмотрим точкуp, через которую проходит времениподобный геодезический сегмент γ(τ), удовлетворяющий требованиям (2). Пустьmax |Rı̂ ̂m̂n̂ (p)| ≈ max |Tk̂lˆ(p)| ≈ −%(p)(4)(p, удовлетворяющую всем этим требованиям, можно найти во всех рассматривавшихся выше лазах). Тогда из (3) следует (в пренебрежении возможностью |τ2 − τ1 | T ),что2|% f | .
cT−4 = c max |Rı̂ ̂m̂n̂ | ≈ c%2 (p)(5)или|%(p)| & c−1 % f (p)/%(p) ≈ 1.(6)Таким образом, плотность энергии в p оказывается планковской!Все вышеупомянутые запретительные оценки следуют просто из (6) (напомним,что 1 ≈ 5 × 1093 g/cm3 ). Действительно, выберем какую-нибудь пространственноподобную поверхность N в области, где нарушается СЭУ. Будем считать, что все точки N2)Речь идёт об n = 4. В конформно тривиальном [5] двумерном случае оно доказано и для искривлённых пространств [65].— 180 —удовлетворяют требованиям, наложенным выше на p.
Тогда можно ввести «полноеколичество отрицательной энергии»−Etot⇋ZN|%| d3 x & V 3 (N),(7)где V 3 (N) есть объём N. В пространствах Алькубиерре и Красникова N можно выбратьсферическим слоем h, окружающим область V «фальшивой» плоской метрики. Длясферически симметричной кротовой норы в качестве N возьмём горловину, то есть тоже сферический слой некоторого диаметра þ. Объём N можно оценить, как V 3 (N) & Ai δ,где Ai площадь внутренней поверхности слоя [это довольно грубая оценка снизу: площадь наружной поверхности может при этом оказаться намного больше Ai , несмотряна то, что δ мала]. Чтобы человек мог воспользоваться лазом, þ, очевидно, должнабыть по меньшей мере порядка метра, а это означает, что Ai ≈ þ2 & 1070 .
Так что, дажеесли толщина слоя δ ∼ 1 (вспомним, что в наших единицах 1 = lPl ), для поддержаниялаза потребуется−Etot∼ |%þ2 δ| ≈ 1032 M⊙(8)экзотической материи.2. Замечание. Как упоминалось выше, существует ряд утверждений, которые — в отличие от квантового неравенства — удалось доказать, но которые не позволяют получить оценки типа (8). Заменим, например, %(V ; τ) в определении (1) на %(V ; τ) − %(O; τ),где |Oi есть некоторое «реперное состояние». Неравенства (3) с так полученной % f (V ) —именно они доказываются, например, в [67] — не приводят к запретам обсуждаемоготипа, так как теперь нет оснований считать, что % f (p) ≈ %(p), а значит правая часть (6)может быть и мала.
Аналогично, любые неравенства с неизвестной (а значит, возможно, большой) c, или те, которые верны в пределе τ2 → τ1 , бесполезны для наших целей,поскольку для этих случаев знак 6 в (6) неоправдан.n◦ 3Смысл ограничений−«Полная отрицательная энергия» Etotпонимается обычно, как величина, характеризующая реалистичность того или иного решения уравнений Эйнштейна: про−странства-времена с такой астрономической Etotкак в (8), считаются очевидно невозможными [143]. Не исключено, однако, что это всего лишь результат гипнотическоговоздействия больших чисел.−Действительно, физический смысл Etotнеочевиден.
Поверхность N и конгруэнцию геодезических γ можно выбрать бесконечным числом совершенно равноправных−способов. Значения же Etotочевидно зависят от этого выбора. Более того, следующийпример показывает, что эта зависимость настолько сильна, что даже при фиксирован−ной N, просто выбирая разные γ, величину Etotможно сделать произвольной.— 181 —Обозначим через U область 0 < xa < ci , a = 1, 2, 3 пространства Минковского. Здесьxa — декартовы координаты (x0 — время), а ci — некоторые константы (U — это мироваятрубка некоторого свободно падающего параллелепипеда; такой параллелепипед мы ихотим выбрать в качестве N, но для этого нам нужны некоторые уточнения, посколькупространственноподобное сечение N данного 4-мерного множества U можно выбиратьпо-разному). Рассмотрим два семейства геодезических наблюдателей: одни двигаютсявдоль оси x1 , другие — x2 . Скорости всех наблюдателей одинаковы (по абсолютнойвеличине), и, соответственно, их 4-скорости сутьv1 =√ 1 (1, v, 0, 0)1−v2и v2 =√ 1 (1, 0, v, 0).1−v2Определим Ni , i = 1, 2 как пространственноподобные сечения U ортогональные к v i .Предположим теперь, что тензор энергии-импульса в U имеет видhTab i = diag(−1, −3, 1, 1)(9)−и нарушает, таким образом, СЭУ.
Легко видеть, что Etotразлично для i = 1 и i = 2. Дей√32ствительно, хотя объём V (Ni ) = c1 c2 c3 1 − v и одинаков в этих двух случаях, плотности энергии %i различаются:%1 = hTab 3a1 3b1 i = −1 + 3v2,1 − v2%2 = hTab 3a2 3b2 i = −1.В результате,1 + 3v2−√=cEtot,1Π1 − v2−Etot2 = cΠp1 − v2 ,где cΠ ⇋ c1 c2 c3 ,−и мы убеждаемся, что Etotпростым выбором подходящего наблюдателя можно сделатьпо желанию, как произвольно большим, так и произвольно маленьким.
Делает ли этообсуждаемое распределение материи нефизичным?3. Замечание. На самом деле, тензор энергии-импульса (9) с точностью до множителя совпадает с тем, который вызывается эффектом Казимира (см. [5, eq. (4.39)]), тоесть с тем, который будет наблюдаться (в пренебрежении краевыми эффектами), если параллелепипед N ограничить в направлении x1 сверхпроводящими пластинами.Также (9) есть вакуумный тензор энергии-импульса скалярного поля в пространствевремени, полученном из L4 отождествлением x1 = x1 + c1 .§2Контрпримеры−Каков бы ни был смысл величины Etot, можно предположить, что её умеренноезначение для «естественно выбранных» наблюдателей является достоинством лаза.Убедимся поэтому в том, что квантовое неравенство не обязательно влечёт за собойоценку (8).— 182 —n◦ 1Тензор ВейляПри выводе (8) мы предполагали, что в рассматриваемой области компонентытензора Римана и тензора Эйнштейна примерно одного порядка, см.
(4). Но1R jimn = C jimn + g j[m Rn]i + gi[n Rm] j + Rg j[n gm]i .3Поэтому равенства, пусть даже приблизительного, следует ожидать, вообще говоря,только если для соответствующих наблюдателейmax |C ̂ı̂m̂n̂ |/ max |R ̂ı̂ | . 1,условие, которое обычно не выполняется. Например, в любой искривлённой и пустойобласти (скажем, в окрестности любой звезды), для любого наблюдателяmax |C ̂ı̂m̂n̂ |/ max |R ̂ı̂ | = ∞.Уже по этой причине становится неверным всё рассуждение, приводящее к оценке (8).И действительно, в главе 8 мы построим конкретный пример проходимой кротовой норы, которая удерживается от коллапса поляризацией вакуума именно в шварцшильдовской метрике.n◦ 2Нетривиальная топологияНеравенство (3) тем ограничительнее, чем больше величина |τ2 − τ1 |, то есть длина γ.
Поэтому важно, что эта длина γ ограничена условиями (2). Основной мотив дляналожения этих условий — даже ценой ослабления квантового неравенства — состоитв том, что в пространстве Минковского (3) действительно выполняется, а соблюдение(2) позволяет надеяться, что γ лежит целиком в области достаточно маленькой, чтобы считать её «почти кусочком пространства Минковского». Конечно эту идею можноформализовать разными способами, и, возможно, условие (2б) будет когда-нибудь переформулировано, но обойтись совсем без него (или его аналога) нельзя: существуютстатические пространства-времена с постоянной отрицательной % в некоторой пространственной точке, см., например, замечания 3 и 9.1 ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
