Диссертация (1145314), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Такимобразом, мост Эйнштейна–Розена — это «временно существующая» кротовая нора.Более того, она непроходима [132], поскольку разрушается раньше, чем какойлибо сигнал успеет пересечь её [74]. Это легко увидеть на рисунке 1а: r в областиI убывает вдоль любой направленной в будущее причинной кривой, поэтому, чтобы сигнал мог покинуть эту область и выбраться в асимптотически плоскую частьпространства-времени, он должен где-то стать сверхсветовым. Границу области I —обозначим её H̊ — часто называют горизонтом, имея в виду горизонт событий иликажущийся горизонт (но, конечно, не горизонт Коши).Ниже нам понадобятся соотношения, следующие прямо из определений (2) и (3):2m0 u,xex2m0 vx−1r̊,u = − x = 2m0,xeux2m0r̊,uv = − 3 x ,xe1+xf˚,u = − 12 (ln x + x),u = −x,u ,2xr̊,v = −(5а)(5б)(5в)гдеf˚ ⇋ ln F̊.(5г)Поляризация вакуумаМатерия в простой модели, которую мы собираемся построить, будет представлена скалярным конформно инвариантным полем, см.
6. § 2 n◦ 1, в вакуумном состоянии. В максимально продолженном шварцшильдовском пространстве есть три «есте-— 192 —ственных» вакуума — Бульвара, Хартля–Хокинга и Анру. Но первый из них соответствует черной дыре, находящейся в равновесии с излучением, (к тому же в этомслучае вакуумное ожидание тензора энергии-импульса расходится при u = 0, v > 0), авторой описывает ситуацию, в которой на дыру из бесконечности падает излучение.Ни то, ни другое состояние не отвечает испаряющейся регулярной чёрной дыре, так˚ Мы будем опускать вакуумные скобки и писатьчто остаётся только вакуум Анру |Qi.просто T̊ab вместо h Tab iQ˚ .˚ обладает всеми непрерывными симметриями MSc , что само по себеСостояние |Qiналагает серьёзные ограничения на стуктуру T̊ab :1) Рассмотрим двумерное пространство S p касательное4) в точке p ∈ MSc к сфере u = v =const.
S p является подпространством Tp и это вложение индуцирует на нём евклидовуметрику 1R . Линейный операторA:xc 7→ T̊ab xa ,∀ x ∈ Sp.самосопряжён относительно этой метрики1R (y, Ax) = yb T̊ab xa = yb T̊ba xa = 1R (Ay, x),а значит, его собственные векторы образуют ортогональный базис: для некоторой парывзаимно перпендикулярных единичных векторов s1 , s2 ∈ S pT̊ab xa yb = λ1 s1a s1 b xa yb + λ2 s2a s2 b xa yb ,∀ x, y ∈ S p .Но из сферической симметрии следует, что λ1 = λ2 = λ (иначе, например, направлениеs1 было бы выделено).
А следовательно,T̊ab xa yb = λδb a xa yb ,откудаT̊ab xa yb = λgab xa yb∀ x, y ∈ S p ,и, таким образом,T̊ϑϕ = 0,T̊ϕϕ = cos2 ϑ T̊ϑϑ .2) Предположим, в некоторой точке p0 6= T̊vϕ = (∂v )a T̊ab (∂ϕ )b ,и, таким образом, не равна нулю проекция вектора T̊ab (p)(∂v )b на пространство S p . Пустьтогда q — точка отличная от p, но имеющая такие же u- и v- координаты. Под действиемповорота, переводящей p в q, плоскость S p перейдёт в Sq , а ∂v (p) в ∂v (q). А посколькув силу предполагаемой симметрии и тензор T̊ (p) перейдёт в T̊ (q), то оказывается,4)Поскольку метрика у нас задана, мы не будем педантично различать ко- и контравариантные векторы.— 193 —что и проекция T̊ab vb (q) на S p тоже не равна нулю. Это же верно и для любой другойточки сферы и мы получаем на ней гладкое нигде не обращающееся в ноль векторноеполе, что противоречит известной теореме о причесывании ежа, см.
раздел 5.1 в [26].Рассуждения сохраняют справедливость и в случае замены u → v и/или ϕ → ϑ и мызаключаем, чтоT̊wϑ = T̊wϕ = 0,w = u, v.3) Любые две точки p, p̆ с одинаковым x 6= 1 и одинаковым знаком v можно связатькомбинацией поворота и изометрии (4). Отсюда,T̊uu ( p̆) = C−2 T̊uu (p),T̊uv ( p̆) = T̊uv (p),T̊vv ( p̆) = C2 T̊vv (p).где C = x,u (p)/x,u ( p̆) и, значит,T̊uu (p) = x2 ,u (p)cuu ,T̊vv (p) = x−2 ,u (p)cvv ,для остальных пар ab T̊ab (p) = cab ,где cab — некоторые величины, которые при фиксированном r̊ от координат не зависят.4) Заметим, наконец, что метрики (1) с разными массами отличаются только конформным множителем, а значит, выполняется (6.11)T̊w1 w2 (m0 , p) = (m̆/m0 )2 T̊w1 w2 (m̆, p̆).Здесь левая и правая часть равенства вычисляются в точках с одинаковыми координатами5) .
Имеются в виду те координаты, в которых метрики отличаются толькоконформным множителем. Таким образом x( p̆) = x(p), но, например, r̊( p̆) = x( p̆)/(2m̆) 6=x(p)/(2m0 ) = r̊(p).Итак, собирая вместе пункты 1)–4), приходим к выводу, что в координатах v, u, ϑ, ϕ(именно в таком порядке)(r̊,u /m0 )−2 τ1 (x)τ3 (x)τ3 (x)(r̊,u /m0 )2 τ2 (x)m−20 ,T̊ab =4π τ4 (x)2τ4 (x) cos ϑгде τi , i = 1, . . . 4 — это некоторые функции от x (но не от u, v, или m0 порознь). Функции эти связаны между собой законом сохранения энергии и величиной аномальногоследа [47]. Однако этих связей недостаточно для их определения, и часть расчётовприходится делать численно, что и было, действительно, выполнено Эльстером [62].Важные нам (сейчас) результаты состоят в том, см. приложение A.
§ 5, что5)Что не делает их одной и той же точкой, поскольку они принадлежат разным пространствамвременам, хотя различаются в данном случае не многообразия, а заданные на них метрики, см. 6. § 2 n◦ 1.— 194 —(а). Поляризация вакуума очень слаба (теперь, когда мы можем охаратеризовать её— четырьмя — скалярными функциями, это утверждение приобрело строгийсмысл).
В частности, |τi (1)| . 10−3 , как явствует из (A.51, A.54, A.56, A.60);(б). компонента T̊vv на горизонте отрицательна.Более конкретно, нам понадобятся следующие оценки для компонент T̊ab на горизонте:r̊,2u T̊vv=−H̊F̊ 4 (1)K,16m40где K ⇋9≈ 6 × 10−640 · 84 π2(6а)соответственно, τ1 (1) = −64πKe−2 ≈ −10−4 ,−r̊,−2u T̊uu=H̊τ2 (1)−4≈ 2 · 10−5 m−40 m04πm40(6б)и|T̊uv |=H̊F̊ 2 (1)τ3 (1).4πm2064πm20(6в)[мы не подставляем сюда определение F̊, см. (2), чтобы не затруднять переход от F̊ кF].n◦ 2Геометрия испаряющейся кротовиныКротовая нора Mwh , которую мы будем изучать, сферически симметрична и, соответственно, имеет метрикуds2 = −F 2 (u, v) dudv + r2 (u, v)(dϑ2 + cos2 ϑ dϕ),(7)где F и r (отметим отсутствие значка ˚ над ними) — неизвестные функции, именно в ихнахождении и состоит наша задача. Как объяснялось выше, нас интересует случай,когда нора «изначально» была шварцшильдовской, и мы начнём построение нашеймодели с математической формулировки этого условия.Выберем для этого в пространстве Шварцшильда какую-нибудь (позже мы введём некоторые ограничения на возможный выбор) разделяющую его гиперповерхность E̊, а в Mwh потребуем существования поверхности E, на которой F, r и их первыепроизводные равны, соответственно, F̊, r̊ и их производным (в точках E̊ с теми жекоординатами; больше мы эту оговорку делать не будем).
В частности, на E должны выполняться соотношения (5). Мы потребуем от E сферической симметрии, в томсмысле, что с любой точкой p она содержит также и все точки q такие, что u(q) = u(p),v(q) = v(p), и выполнения следующих условий:(i). При r < 2m0 она пространственноподобна;— 195 —Рис. 2: Сечение ϕ = ϑ = 0 испаряющейся кротовой норы.
Самые тонкие сплошные кривые — поверхности r = const. Серый угол, содержащий q — горизонт событий.(ii). В квадранте IV её сечение ϕ = ϑ = 0 является графиком некоторой гладкой, положительной функции v = V (u), не имеющей максимума. И то же самое с заменойIV → II, V → U, v ↔ u;(iii). Вдали от горловины (то есть при r m0 ) E должна быть просто поверхностьюпостоянного шварцшильдовского времени, то есть задаваться уравнением u/v =const. Таким образом (см. рисунок 2) для любой точки p ∈ E с r(p) m0 и некоторыхположительных констант κL , κRv(p) < u(p)⇒v(p) = −κL u(p),v(p) > u(p)⇒u(p) = −κR v(p).Условие (i) существенно ограничивает класс рассматриваемых кротовых нор, в отличие от условия (ii), которое не очень важно и при необходимости легко может бытьослаблено.
Мысль, которую призвано выразить условие (iii), состоит в том, что вдалиот входов в кротовую нору шварцшильдовское время — это как раз и есть «обычное»время, и в смысле этого обычного времени планковская эра должна там кончаться вовсех точках одновременно.Хотя, как мы увидим, требование (iii) замечательным образом не влияет на геометрию Mwh , оно оказывается очень полезным в интерпретации последней. В частности, оно позволяет интуитивно понятным образом приписать «время» T любому— 196 —событию p0 возле горловины. А именно, p0 происходит, когда в занимаемую им точкупространства-времени попадает реликтовый фотон, испущенный в момент окончанияпланковской эры из точки p (или p00 ), расположенной в левой (соответственно, правой)асимптотически плоской области, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
