Диссертация (1145314), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

рисунок 2. Расстояние — когда оно достаточно велико — от этой точки испускания до кротовины приблизительно равно [x здесьвыражается через uv с помощью определения (3)]r = 2m0 x ≈ 2m0 ln[−u(p0 )v(p0 )] = 2m0 ln[u2 (p0 )κL ]или, соответственно, ≈ 2m0 ln[v2 (p0 )κR ]. Взяв это расстояние за меру времени, протекшего от конца планковской эры до p0 , определимTL (p0 ) ⇋ 2m0 ln u2 (p0 )κL ,TR (p0 ) ⇋ 2m0 ln v2 (p0 )κR(8)и будем интерпретировать TL(R) как время, несмотря на то, что ∇TL(R) светоподобен(как, впрочем, и в случае с «опрережающим» и «запаздывающим» временами в шварцшильдовском случае).

Отметим, что, пока мы рассматриваем асимптотически плоскиеобласти Mwh , как совершенно независимые, то есть вплоть до § 4, между κR и κL нетникакой связи, также как нет и никакого выделенного значения ни для одного из них.Среди прочего выбор E [в сочетании с требованием, чтобы метрика на ней имелавид (1)] определяет координаты u и v с точностью до преобразованияu 7→ u0 = Cu,v 7→ v0 = C−1 vЧтобы исключить этот остающийся произвол и заодно сделать формулы компактней,мы потребуем, чтобы пересечения E с осями u и v — обозначим их u0 и v0 — былиположительны и равны, см. рисунок 2.

Оставшаяся величина v0 — параметр модели. Ихотя не видно никаких причин считать кротовины с одним v0 более физичными, чем сдругим, мы ограничимся теми, у которых√1+ c < h <√5+1,2гдеh ⇋ ec/v20 ,c ⇋ 16πKm−20(9)[K определено в (6а)]. Как мы увидим, кротовые норы с меньшими h могут быть непроходимыми, а те, у которых h велико, испаряются слишком интенсивно и не могут бытьизучены в рамках нашей простой модели. Отличие от единицы нижней границы h спрактической точки зрения пренебрежимо мало в случае макроскопических кротовин:−73c ≈ 3 × 102m01м−2,оно введено для чисто технических целей, см.

вывод (47). Итак, подытожим: у нас естьчетыре независимых параметра, m0 , h и κR(L) , все значения которых рассматриваются,√ √как равно возможные, пока m0 1, h ∈ (1 + c, 5+1) и κR(L) > 0.2— 197 —Класс рассматриваемых кротовин мы ограничим ещё, потребовав дополнительно,чтобы в (полу)классической части вселенной (то есть, над E на рисунке 2) выполнялисьнеравенстваr,uv < 0,(10а)∇r 6= 0.(10б)Эти условия означают, что отличия Mwh от шварцшильдовского пространства не должны быть настолько велики (ср. n◦ 3), чтобы нарушилось свойство (5в) или чтобы горловина, которая возникает уже сжимающейся, начала расширяться.Предметом нашего рассмотрения будет (правый, для определённости) горизонт.Под последним я понимаю кривую H на плоскости (u, v), определяемую условиемr,v (u, v)H= 0.(11)Из (5а) следует, что r,v отрицательно во всех точках E, координата u которых положительна, и обращается в ноль в (0, v0 ).

Именно в этой точке и начинается горизонт.H не может иметь конечной точки, будучи линией уровня функции с ненулевым [поусловию (10а)] градиентом. Не может он и повернуть назад (то есть рост v вдоль H неможет смениться убыванием), так как в точке поворота нарушилось бы (10а). Такимобразом, H идёт от E к бесконечности, деля при этом плоскость (u, v) над E на двечасти: r,v строго отрицательно слева от H и строго положительно справа.

Нагляднокаждый маленький отрезок горизонта H показывает, где проходил бы горизонт событий, если б эволюция «остановилась в этот момент». Пространство-время в этомслучае оставалось бы далее шварцшильдовским с массойm(v) ⇋ 12 r(H(v))(12)(что H можно параметризовать величиной v, как подразумевает это выражение, следует из того отмечавшегося выше факта, что v на нём монотонно растёт; можно егопараметризовать и величиной m). Физическое же значение горизонта состоит в том,что именно его характер определяет проходимость изучаемой кротовой норы: кротовина становится проходимой, только когда горизонт становится времениподобным,см. n◦ 4.Обозначения.

Для произвольной функции y(u, v) мы обозначим через ŷ её сужение наH. При этом мы будем считать ŷ функцией v или m, в зависимости от того, какаяпараметризация выбрана для H (это небольшая вольность, поскольку, строго говоря,ŷ(v) и ŷ(m) — это разные функции, но она не должна приводить ни к каким недоразумениям). Частные производные понимаются, конечно, как производные от y, а не ŷ.Так, например,m ⇋ 21 r̂,∂r̂,u ⇋ r,uv (H(v)),∂vfˆ,uv (m) ⇋ f ,uv (H(m))и т.

д.— 198 —В согласии с этой договорённостью функция v → u, чьим графиком является H, будетобозначаться û(v), тогда как û(m) будет сокращением от û(v(m)). Аналогично, на участках, где H не параллелен оси u (а у нас, как мы увидим, он ей нигде не параллелен),определяется функция v̂(u).n◦ 3Предположение слабости испаренияФизическое предположение, лежащее в центре всего анализа — «устойчивостьотносительно испарения» рассматриваемой кротовины. Иначе говоря, мы исходим издопущения, что система {уравнения Эйнштейна + уравнения поля}, имеет решение (втой части Mwh , что лежит над E) со следующим свойством: геометрия в малой окрестности любой точки p близка к таковой в точке p̊ шварцшильдовского пространстванекоторой массы m̊ (разумеется p̊ и m̊ зависят от p), а тензор энергии-импульса в pмал (в смысле, который мы сейчас ещё раз обсудим) и близок к T̊ab (m̊, x( p̊)). Это главноедопущение реализовано, как набор конкретных (не)равенств.

В данном пункте они всеявно перечислены.Требование, чтобы Tab на горизонте был близок к T̊ab (m, 1) воплощено в предположение, что соотношения (6) остаются верными при удалении значка ˚ (в левой стороне)и замене F̊(1) → F̂, m0 → m (в правой):K 4 −4F̂ m ,r̂,2u T̂vv = − 16−4r̂,−2u T̂uu = cm ,|T̂vu | 1F̂ 2 m−2 .64πK ≈ 6 × 10−6 ;0 > c −1;(13а)(13б)(13в)Два других предположения касаются поведения тензора энергии-импульса прибольших r. Пусть γ — отрезок нулевой геодезической v = const от некоторой p00 ∈ E доp0 ∈ H, см.

рисунок 2. Мы предположим, что для любых p0 выполняетсяZ 4πr,−2 1.Trdr(13г)uuuγЭто кажется вполне разумным. Действительно, в шварцшильдовском случае комбина−3 −4ция 4πr̊,−2u T̊uu , как следует из (6б), составляет приблизительно 10 m0 на горизонте иубывает с ростом x [по крайней мере для x > 1.5, см. [62], где эта комбинация соответ4πxствует выражению x−1(µ + pr + 2sU )]. При больших r она убывает, как 1/r2 [47, 128], так00что слева стоит предположительно величина порядка 10−3 m−40 ln(r(p )/m0 ). Посколькуr(p00 ) не превосходит возраста Вселенной, эта величина мала для любых макроскопических m0 (мы, правда, распространяем наше предположение и на малые массы, ноэто просто вопрос удобства: вместо планковской массы можно было бы ввести какуюнибудь макроскопическую минимальную массу (скажем, mmin = 103 ), это повлекло быза собой лишь экспоненциально малые поправки).— 199 —Наконец, мы предполагаем, что|Tϑϑ | 1r|r,vu |F −2 .2π(13д)Опять, в шварцшильдовском случае соответствующее неравенство — то есть τ4 2m20 /x, см.

(2), (5в) — выполняется и на горизонте, и при больших x, см. уравнение (A.54)и (A.52). И опять, нам не нужно, на самом деле, чтобы (13д) было справедливо поточечно. Для наших целей будет вполне достаточным, если малым окажется соответствующий интеграл [см. уравнение (32)].n◦ 4Предварительное обсуждениеПроходимость испаряющейся кротовины обусловлена тем, что в процессе эволюции û(m) не остаётся постоянной, как в шварцшильдовском пространстве, но стремитсяпри m → 1 к некоторому û∞ > û0 (что происходит при меньших m, сказать, разумеется, трудно). В самом деле, проведём через какую-нибудь точку p0 ∈ H направленнуюв будущее светоподобную геодезическую λ параллельную оси v.

В нашей модели r̂,vvстрого положительно, см. уравнение (22) ниже, и, значит, r (v) в точке пересечения λλс горизонтом (где, напомним, r,v = 0) достигает минимума. Следовательно, λ пересекает H только однажды. Таким образом, λ представляет собой мировую линию фотона,испущенного в p = λ ∩ E, прошедшего в p0 горловину кротовой норы и проследовавшегооттуда далее, на бесконечность. Будем теперь двигаться от p налево, см. рисунок 2,применяя такие же рассуждения ко всем фотонам, у которых u-координаты достаточно малы, чтобы обеспечить пересечение H и λ.

Граница той части E из которой можноещё попасть на правую бесконечность, порождается точками p∞ сu(p∞ ) = û∞ ⇋ sup û(m)m∈[1,m0 ](как мы увидим, супремум, в действительности, доставляется m = 1). Соответственно,мы определяем время закрытияTLcl ⇋ 2m0 ln û2∞ κL .Это момент, когда кротовая нора перестаёт быть проходимой для путешественника,желающего попасть из левой асимптотически плоской области в правую. Фотон, достигающий входа в нору, расположенного в «левой вселенной», после TLcl уже не сможет пройти её.

Аналогично определяется и время открытия TLop ⇋ 2m0 ln v20 κL : фотоныс u < v0 , то есть с TL < TLop (такие фотоны существуют, если только E не пространственноподобна, что неинтересно) тоже не могут пересечь кротовину: на пути к выходу онипопадают в планковскую область, и их дальнейшая участь труднопредставима; можно считать, что они пропадают в сингулярности.

Наконец, время проходимости норы— 200 —естьTLtrav ⇋ TLcl − TLop = 4m0 lnû∞.v0(14)Таким образом,⇔Кротовая нора проходимаû∞ > v0(15)и наша основная задача в этой главе — оценить û∞ /v0 . Причём оценка должна бытьдостаточно аккуратной, так как очень различна роль кротовин, проходимых действительно и номинально (то есть имеющих, скажем, T trav ≈ 1).3.

Замечание. В предположениях, аналогичных сформулированным выше, поведениегоризонта активно исследовалось ещё в 1980-ые (обзоры и ссылки можно найти в[15, 44]). Рассматривались, правда, чёрные дыры, образующиеся в результате коллапса, а они — в отличие от «вечных» чёрных дыр или пространств Mwh — не являютсякротовыми норами (и не пусты даже на классическом уровне). Задача эта, тем не менее, весьма близка нашей. Отметим поэтому, что согласно общему мнению (см. [84],впрочем) испарение приводит только к сдвигу горизонта: его радиус становится не2m0 , а 2m0 − δ, где δ ≈ m−20 , что «физически пренебрежимо» [36]. Подчеркнём, однако,что сама по себе малость δ отнюдь не означает слабости эффекта. Здесь, похоже, про−исходит то же, что и с «полной отрицательной энергией» Etot, обсуждавшейся в 7. § 1— огромное численное значение величины (для звезды массы Солнца m20 ≈ 1076 ) заслоняет логическую ошибку при её интерпретации.

Действительно, речь в упомянутыхисследованиях шла о горизонтах событий, а это светоподобные поверхности. Но такой величины, как (инвариантное) расстояние от точки до светоподобной поверхностипросто не существует (велико или мало, например, расстояние от начала координат наплоскости Минковского до поверхности t = x + ∆? Видимо, ни то, ни другое.

Характеристики

Список файлов диссертации