Диссертация (1145314), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Определение. Горизонт Коши называется компактно определённым, если для какого-нибудь его открытого подмножества U и какой-нибудь поверхности Коши S0 пространства M r компактно множество L ⇋ J − (U) ∩ J + (S0 ).Отметим, что с физической точки зрения изучение КОГК вместо КПГК не ведёт к заметной потери общности.
Горизонт Коши, который компактно порождён, но не определён, если и существует вообще, имеет столь патологичную геометрию, что его возникновение едва ли можно приписать лабораторной деятельности. Преимуществомже КОГК служит то, что все они, как будет доказано ниже, действительно являютсявынужденными.Итак, в этом параграфе мы рассматриваем оба упомянутых видах горизонтов.Этот же пункт закончим введением нескольких нужных в дальнейшем объектов.
Выберем [оно всегда существует, см. предложение 1.15] гладкое направленное в будущеевремениподобное поле τ, нормированное так, что τa τa = −1. С его помощью мы фиксируем (с точностью до аддитивной константы) «параметр длины» l на любой гладкойпричинной кривой β(l) условием1(ς, τ) = −1,где ς ⇋ ∂l .(11)Чтобы понять геометрический смысл этого параметра, рассмотрим в какой-нибудьточке β(l) тетраду, нулевой орт которой есть τ, а первый является линейной комбинацией τ и ς, если последние линейно независимы. В этом базисе (ς0 )2 > (ς1 )2 (из причинности β), ς0 = 1 [из (11)] и ςi = 0 при i 6= 0, 1. Таким образом, 1 6 1R (ς, ς) = (ς0 )2 + (ς1 )2 6 2,где1R (x, y) ⇋ 1(x, y) + 21(x, τ)1(τ, y),(12)и, следовательно,dl1 l2 < |l1 − l2 | <√2dl1 l2 ,где dl1 l2 — это длина отрезка β между β(l1 ) и β(l2 ) во вспомогательной римановой метрике1R .Следующее, очевидное, предложение объясняет, чем риманова метрика будетнам полезна.— 118 —11.
Предложение. Если β(l) — гладкая причинная кривая, лежащая при всех положительных (отрицательных) l в компактном множестве, то она продолжима в будущее(прошлое), если и только если её длина в метрике 1R конечна или, иначе говоря, еслии только если l ограниченна сверху (соответственно, снизу).n◦ 1Компактно определённые горизонтыВ данном пункте исследуется геометрия области, непосредственно предшествующей компактно определённому горизонту.
Одна из её особенностей состоит в том,что почти из любой точки p ∈ H+ можно кроме образующей горизонта γ испуститьещё и бесконечно много геодезических {γm }, которые к прошлому от p лежат целикомв M r . Они пересекают S0 в некоторых {qm }, находящихся в пределах компакта L ∩ S0 .А значит, из таких геодезических можно выбрать последовательность {γ j }, для которой предельными будут и γ, и геодезическая α, проходящая через предел точек {q j }.Эта последняя, как мы увидим, и является искомой опасной геодезической. Свойство{γ j } иметь два предела слишком экзотично для глобально гиперболического пространства.
Это и позволит нам доказать, что компактно определённые горизонты являютсявынужденными.Итак, докажем, что в прошлом любого компактно определённого горизонта естьгеодезическая, бесконечно на него наматывающаяся (мы пока не утверждаем, что она«опасна», так как остаются неизвестными её энергетические свойства).12. Предложение. В любом пространстве с компактно определённым горизонтом существует непродолжимая в будущее светоподобная геодезическая α, полностью захваченная L ∩ M r .13. Замечание. Мы не вступаем в противоречие с предложением 1.40, так как множество L ∩ M r некомпактно, а его замыкание L, хотя и компактно, не лежит (полностью)в Mr.14. Замечание.
Приводимое ниже доказательство непригодно в случае двух измерений. Но предложение верно и тогда, см. рассуждения на стр. 114.Доказательство. Обозначим через H множество всех точек горизонта H+ , которыележат в нём вместе со всеми испущенными из них в прошлое светоподобными геодезическими:H ⇋ {x ∈ H+ :J − (x) − I − (x) ⊂ H+ }.(13)Отметим, чтоH, когда непусто, состоит из изолированных точек,(14)— 119 —поскольку для любой x ∈ H множество J − (x) − I − (x) является окрестностью x в H+ , несодержащей других точек из H.Выберем в U − H какую-нибудь точку p. Скорости в p параметризованных «длиной» l образующих горизонта, составляют — очевидно замкнутое — собственное подмножество сферы (11).
А значит, можно найти кончающиеся в p направленные в будущее светоподобные геодезические γ и {γm }, m = 1, 2 . . . такие, чтоγ̇m (p) → γ̇(p),∀m(γm − p) ⊂ M r ,γ ⊂ H+ .Каждая γm входит в M r и, следовательно, пересекает S0 . Точку пересечения мы обозначим qm и будем отныне отсчитывать параметр длины l на γm (под которой мы впредьпонимаем отрезок геодезической от S0 до p , а не всю геодезическую) от qm :l ∈ [0, lmmax ] :γm (0) = qm ,γm (lmmax ) = p.Все qm лежат в компактном (по определению 10) множестве J − (K) ∩ S = L ∩ S, так что,перейдя, если нужно, к подпоследовательности, будем считать, чтоqm → q,∂l (qm ) → ς,где q — некоторая точка из L ∩ S, а ς — светоподобный вектор, удовлетворяющий (11).Определим α(l), как непродолжимую в будущее геодезическую, заданную начальнымиусловиямиα(0) = q,∂l (q) = ς,и покажем, что она, действительно, полностью захвачена множеством L ∩ M r .При любом l < lim lmmax последовательность точек γm (l), m = 1, 2 .
. ., будучи заключённой в компактном множестве L, содержит сходящуюся подпоследовательность{γ j (l)}. Поскольку α — решение уравнений геодезической (а эти решения непрерывнозависят от начальных условий), γ j (l) → α(l). Поэтому α не может покинуть множество, то есть пока она не пройдёт через α(lim l max) = p. Но черезΓ ⇋ ∪ j γ j , пока l 6 lim l maxjjp она не пройдёт никогда, так как в противном случае оказалось бы, что α = γ, чтоневозможно, поскольку γ, прослеженная в прошлое, не покидает H+ , см. следствие 4.Следовательно,α ⊂ Γ ⊂ J − (p) ∩ J + (q) ⊂ L,и нам остаётся доказать, что α не может покинуть и M r .Допустим для этого, что, вопреки нашему утверждению, α в некоторой точкеr 6= p пересекается с H+ .
Что тогда произойдёт с ней к будущему от r? Мыслимы триварианта: (а) α попадает в M − M r ; (б) она так и остаётся в H+ ; (в) она возвращается— 120 —в M r . Но (а) невозможно, иначе туда попали бы и некоторые продолжения γ j , которым для этого пришлось бы пересечь H+ в точке отличной от p.
А это противоречитследствию 4. Это же следствие исключает и (б): оказалось бы, что образующая, каковой является α к будущему от r, покидает горизонт будучи прослежена в прошлое.Наконец, (в) невозможно тоже, поскольку в этом случае мы могли бы, двигаясь в прошлое от некоторой o ∈ α ∩ M r попасть в r, что противоречит определению S (участокα от o до r, продолженный непродолжимой в прошлое частью генератора горизонта,начинающейся в r, образовал бы непродолжимую в прошлое причинную кривую, непересекающую S).15.
Предложение. Любой компактно определённый горизонт является вынужденным.Доказательство. Предположим для получения противоречия, что существует изометрия φ, отображающая M r в собственное подмножество M̂ некоторого глобальногиперболического нерасширяемого пространства-времени M e . Для упрощения обозначений будем и дальше вместо φ(A), где A — какое-нибудь подмножество M r , писать Â.Отметим, что определённая ниже точка pe и проходящая через неё геодезическая γe ,лежат вне M̂ и именно поэтому не обозначаются p̂ и γ̂, соответственно.Начнём с наблюдения, что в любой окрестности U, пересекающейся с H+ , найдётся последовательность точек pk ∈ M r и точка p, такие чтоpk → p ∈ H+ ,p̂k → pe ∈ Bd M̂,(15)так как, если б их не было, то согласно признаку 1.61 мы смогли бы — вопреки предположению — расширить пространство-время M e , приклеив к нему U изометрией φ.Поскольку U произвольно, множество точек p, удовлетворяющих (15) всюду плотнов H+ .
С учётом (14) это означает, что среди них найдётся и точка, принадлежащаяU − H. В дальнейшем под p будем понимать именно её, а под q, qm , γ и γm , m = 1, 2 . . .те же точки и геодезические отрезки, что и в доказательстве предложения 12, толькотеперь мы условимся считать p ∈/ γm .Рассмотрим какую-нибудь направленную в будущее времениподобную кривуюν(υ), имеющую p своей будущей конечной точкой, и докажем, что будущая конечнаяточка ν̂ — это pe .
Для этого введём ещё одно семейство геодезических. А именно,выберем последовательность точек ν(υi ) → p и каждую из них соединим геодезическойβi (ξ(i) ) с одной из точек последовательности {pk }. При этом от βi , аффинных параметровξ(i) и номеров k(i) упомянутых точек потребуем — очевидно, обоим требованиям всегдаможно удовлетворить, — чтобы начиная с некоторого номераβiбыли времениподобны и лежали в O;1(z, ∂ξ(i) ) = −1в каждой υi ,(16а)(16б)— 121 —где O — это некоторая нормальная окрестность p, а z — какой-нибудь времениподобныйвектор, параллельно перенесённый вдоль ν. Условие (16а) в сочетании с тем, что M r— это множество прошлого, гарантирует принадлежность βi ⊂ M r и, как следствие,существование β̂i (ξ(i) ) при любом i. Обозначим через L(βi ) и L(β̂i ) аффинную длинуβ (то есть ξ(i) [pk(i) ] − ξ(i) [ν(υi )]) и β̂, соответственно.
Объединив два очевидных факта,L(β̂i ) = L(βi ) и L(βi ) → 0, заключаем,L(β̂i ) → 0при i → ∞.(17)Заметим теперь, что для любого i0 все p̂ j с j > k(i0 ) лежат в хронологическомбудущем ν̂(υi0 ). Следовательно,∀υpe ∈ I + (ν̂(υ)) = J + (ν̂(υ)) = J + (ν̂(υ)) и, значит, ν̂(υ) ∈ J − (pe ),где последнее равенство обеспечено глобальной гиперболичностью M e . Таким образом,ν̂(υ > υ0 ) заключена в компактном множестве J − (pe ) ∩ J + (ν̂(υ0 )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
