Диссертация (1145314), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ещё один вариант принадлежит Геароучу, который предложил разрешить только «сплошные» (hole-free) пространства-времена.30. Определение18) . Для произвольного множества R ⊂ M обозначим через D+ (R) множество всех точек p, таких что каждая непродолжимая в прошлое причинная криваяпересекает R (легко заметить, что если дуально D+ определить D− , то D+ ∪ D− = D).Назовём M сплошным, если для любой ахрональной поверхности R и любого вложенияϑ какой-либо окрестности множества D+ (R) выполняется равенствоϑ(D+ (R)) = D+ (ϑ(R)).(Грубо говоря, в сплошном пространстве всякая ахрональная поверхность имеет максимально возможную область Коши.)Выяснилось, однако, что оба эти постулата страдают общим недостатком — каждыйиз них исключает даже пространство Минковского, см.
[37] и [113], соответственно.Из других предлагавшихся дополнительных постулатов отметим те, что получены модификацией понятия «сплошное пространство». Один вариант был предложенаКларком [51], другой — самим Геароучем [126], а третий — Мингуцци [130]. Критический анализ первых двух можно найти в [130]. Главная особенность третьего состоитв требовании, чтобы ϑ(R) была акаузальной. Получающийся в результате постулатотвечает, как кажется, пожеланию 3а, но не остальным трём.18)Это чуть уточнённая [113] версия [78].— 77 —n◦ 3Материя в неглобально гиперболических пространствахДо сих пор мы фокусировались на эволюции геометрии. Между тем, ситуацияс материей в некотором смысле ещё хуже. Действительно, даже если нам удастсяописать неглобально гиперболические пространства-времена в терминах эволюции,это не значит, что то же самое получится и с заполняющей их материей.В качестве простейшего примера рассмотрим в некотором нерасширимом пространстве-времени M плоскую полосу U:ds2 = −dt 2 + dx2 ,x ∈ R1 ,t ∈ (−1, 1).Предположим, в момент времени t = 0 (то есть, на пространственноподобной поверхности S : t = 0) в M есть только одна, покоящаяся, частица A .
Где окажется частица через(собственное) время ∆τ = 1? Если б мы откуда-то знали, что U проэволюционирует впространство Минковского, ответить было бы просто. Но в общем, неглобально гиперболическом, случае, S определённо не является поверхностью Коши. В результатевопрос может как иметь бесконечно много ответов, так и не иметь ни одного. Предположим, например, что U — это область в пространстве ДП. Тогда есть следующиевозможности:ai). Может случиться, что обсуждаемая частица просто не просуществует стольковремени, она сгинет в сингулярности, как показано в нижней части рисунка 5а.aii) Возможно, что ответа вообще не существует, и указанное при t = 0 состояние системы не соответствует никакой эволюции (то есть, никакому решению уравнений движения, или, в терминологии [59], соответствует «решению нулевой кратности»). Так, в теории точечных абсолютно упругих (одинаковых) частиц любое решениедолжно содержать всю геодезическую (хотя разные её участки могут соответствоватьмировым линиям разных частиц), если оно содержит её часть.
Поэтому, если бы решение с начальным состоянием, показанным в верхней части рисунка 5а, существовало,оно должно было бы содержать и пунктирный отрезок. А значит на S присутствовалабы и частица A 0 вопреки указанной единственности A .б) Рассмотрим, наконец, случай — он проиллюстрирован рисунком 5б — когдаS так вложена в M, что D(S) 6= M. Такое расположение гарантирует существованиенепродолжимых в прошлое причинных кривых, не пересекающих S, а остающихся вобласти M − D(S), то есть за горизонтом Коши. Это, в частности, могут быть замкнутые кривые, такие как ð3 , либо кривые, появляющиеся в пространстве-времени «изниоткуда», как ð1 или ð2 . По таким кривым во вселенную попадает «дополнительная,непредсказуемая» [85] (для наблюдателя по эту сторону горизонта Коши) информация.
В частности, эти кривые могут быть мировыми линиями неких частиц (когда этоне противоречит уравнениям движения последних), которые и сами не существовалив D(S), и не порождены частицами, существовавшими тогда. Но необычное происхож-— 78 —213U1UU(а)(б)Рис. 5: а) Два разных расширения U до пространства ДП. б) ði — мировые линиидемонов Коши. В частности, ð3 — замкнутая кривая (демоны такого вида в [121] и [129]называется джиннами). Варьируя начальную скорость ð1 , получим бесконечно многоразных эволюций A (в [59] это называется «решением бесконечной кратности»).дение этих частиц — по причинам, которые сейчас станут понятны, я буду называть ихдемонами Коши — ничуть их не компрометирует.
Действительно, «обычные частицы»или их предки тоже в конечном счёте появляются из сингулярности или бесконечности. Таким образом, ни локально, ни по происхождению демоны Коши не отличаютсяот обычных частиц и должны, по-видимому, приниматься на равных с ними основаниях (это становится особенно очевидным, если от эволюционной картины миравернуться к обычной, четырёхмерной). Но это значит, что мы не имеем информации офакторе, определяющем эволюцию A : в зависимости от поведения демонов (котороемы предсказать не можем) она может складываться совершенно по-разному.
Более того, в некоторых случаях именно демоны и обеспечивают её существование, [105, 99].Это приводит к весьма необычной ситуации. Представим себе, что при отсутствиидемонов данные, фиксированные на S, никакой эволюции A не соответствуют, но чтотакая эволюция существует, если в нужном месте в нужное время окажется демонð с некоторыми желательными свойствами (так, например, случится, см [99], есливместо A на S приготовлены частицы B и B 0 в состоянии, показанном на рисунке 5а).Естественно спросить: что произойдёт, если мы поставим опыт и создадим такое начальное состояние? Кажется очевидным, что раз уж мы сумели это сделать, то ð внужном месте, действительно окажется.
Но соответствующие условия мы создавалина S, а мировая линия ð её не пересекает. Похоже, таким образом, что этот демон— 79 —вызван к жизни крайне необычным способом.31. Замечание. Положение дел с задачей Коши для полей примерно такое же. Однакобыли всё же найдены и такие пространства, в которых должным образом фиксированные начальные данные, обеспечивают единственность решения для волновогоуравнения, см. [2, 69] и ссылки там. Было также сформулировано предписание [90],которое могло бы играть роль недостающих данных в задаче Коши для скалярногополя в статических неглобально гиперболических пространствах.— 80 —3.
ЛазыВ этой главе разрабатывается концепция «лаза» , объединяющая кротовую нору, «пузырь Алькубиерре» и аналогичные им средства сверхсветового (в определённом нижесмысле) перемещения. Предложен лаз [101] — «труба Красникова» — имеющий топологию R4 (в отличие от кротовой норы) и не нуждающийся в тахионах (в отличиеот пузыря Алькубиерре в той его версии, которая создаётся самим перемещающимся<быстрее света> телом).§1Понятие лазаПеремещения, которые можно было бы назвать сверхсветовыми, не исчерпываются рассмотренными до сих пор.
Представим себе, например, экспедицию к Денебу. Расстояние d от Солнца до Денеба, измеренное по параллаксу, составляет примерно 1500 св. лет. Поэтому можно было бы думать, что экспедиция, стартовавшая вt(s) = 2015 г, достигнет Денеба не раньше t( f ) = 3515 г, и её отчёт будет получен на Земле не раньше t(4) = 5015 г, что делает всё предприятие бессмысленным. Здесь через s,f и 4 мы обозначили, соответственно, старт экспедиции, её прибытие на Денеб и еёвозвращение. (Поскольку, Земля, Денеб и те лучи света, с помощью которых мы измеряли расстояние, находятся в общей области U (практически) плоского пространства,мы используем в ней стандартные декартовы координаты пространства Минковского,в которых Солнце и Денеб неподвижны, а t — временна́я координата.) Допустим теперь,что геометрия в окрестностях Солнца и Денеба остаётся статичной, а сами эти звёздыне испытывают каких-либо ускорений, но экспедиция (успешно завершившаяся) возвращается, тем не менее, в момент 40 : t(40 ) = 2016 г.
Ниже мы детально обсудим, кактакое может случится (экспедиция могла, например, найти удобную кротовую нору),сейчас же отметим, что название сверхсветового кажется вполне оправданным длятакого путешествия, хотя оно и совершалось на обычном нетахионном корабле, и вэтом смысле световой барьер не преодолевался. На самом деле здесь, как и в случае сгравитационными сигналами, см.
предыдущую главу, сравниваются «два разных мира», и перемещение корабля в реальном мире (M, 1) признаётся сверхсветовым потому,что оно быстрее перемещения фотона в некоем фиктивном пространстве Минковского— 81 —L4 , в котором, как мы могли бы думать, мы живём. На сей раз, однако, мы не пытаемсяприписать разницу между мирами каким-то действиям в точке s. Кротовая нора моглавозникнуть очень давно и быть известной пилоту ещё при старте. В общем случае этоозначало бы, что у интересующих нас точек s, f , w, w0 ∈ M нет аналогов в L4 , и мы неможем сравнивать упомянутые перемещения, см.
2. § 2 n◦ 4. Мы обошли эту трудность,потребовав, чтобы все эти точки лежали в U, изометричной соответствующей областипространства Минковского.Пространства, в которых возможны описанные выше перемещения [в нашем примере это (M 0 , 10 )], мы и будем называть лазами. Прежде чем двигаться дальше и датьстрогое определение, стоит остановиться на вопросе, а можно ли вообще представитьсебе ситуацию типа описанной выше. Почему может оказаться неверной оценка в↔T > 3000 лет до возвращения экспедиции, основанная на наивной формуле↔T ⇋ t(40 ) − t(s) = [t(40 ) − t( f )] + [t( f ) − t(s)] > 2d ?(1)Дело в том (и ниже мы убедимся в этом на конкретных примерах), что, во-первых,интересующие нас объекты не вполне локальны: отрезок прямой гарантировано является кратчайшим путём между своими концами только в En . Принадлежности жеотрезка какой-нибудь плоской области ещё недостаточно, см.
пример 1 ниже. Поэтому наличие кривизны — даже в стороне от трассы Солнце–Денеб — может привестик тому, что расстояние между этими звёздами станет много меньше d. Во-вторых, впсевдоримановом случае «неправильная» сигнатура приводит ко всевозможным нарушениям «обычных» свойств расстояния; часто его, вообще, трудно разумно определить.Идея, что меняя геометрию вне некоторой плоской области W , можно менятьрасстояние между концами отрезка γ ⊂ W , кажется на первый взгляд удивительной.Она, однако, верна даже для двумерных поверхностей, когда (риманова) метрика индуцируется вложением в E3 , а расстояние между точками определяется, как длинакратчайшей кривой γs , соединяющей их. Причина состоит в том, что кратчайшей может оказаться геодезическая, покидающая W , см. рисунок 1.1. Пример.
Рассмотрим плоскость с метрикойpds2 = Ω2 (r)(dx2 + dy2 ),r ⇋ x2 + y2 .(2а)Здесь Ω — монотонная функция, такая что= 1,Ωr>r0Ωr<(1−δ)r0= Ω0 ,(2б)где δ, Ω0 1 и r0 — положительные константы. Это пространство плоско везде заисключением узкого кольца 1 − δ < r/r0 < 1, а за пределами этого кольца неотличимоот евклидовой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
