Диссертация (1145314), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Изначально понятие глобальной гиперболичности и было введено Лерэйем [117] как свойство, обеспечивающее существование и единственность этих решений [27].— 73 —n◦ 1Является ли Вселенная глобально гиперболической?К сожалению, при ответе на этот вопрос мы не можем руководствоваться опытными данными.

Дело в том, что неизвестно, как потеря глобальной гиперболичностидолжна проявляться наблюдательно. Предположим, например, что в каждом шареразмером с Солнечную систему раз в год меняется топология (возникали бы, скажем, перестройки в духе показанной на рисунке 3). Тогда изменение топологии [аоно, очевидно, не совместимо с глобальной гиперболичностью, см.

(10)] было бы одним из самых распространённых феноменов во вселенной. И такое предположение,действительно, не противоречит никаким наблюдательным данным. А с другой стороны, нет ничего, что исключало бы и противоположную возможность — глобальнуюгиперболичность Вселенной.Лучше исследован этот вопрос теоретически. Так, Пенроуз, не вступая, как кажется, в противоречие с ОТО, высказал гипотезу, что ответ положителен.Гипотеза. («Сильная космическая цензура»).

Типичное нерасширямое решение уравнений Эйнштейна с физически приемлемой правой частью глобально гиперболично15) .Слова «типичное» и «физически приемлемая» сознательно оставлены неопределёнными до появления соответствующих теорем. Формально, это делает невозможным обсуждение справедливости гипотезы (в каком-то понимании этих слов онаверна наверняка). И однако она не становится от этого полностью бессмысленной, поскольку известен интутивный смысл этих слов.

«Типичное» значит «не развивающееся с начальных данных столь специальных, что их невозможно достичь на практике»[164]. А «физически приемлемая» правая часть — это материя достаточно регулярнаядля того, чтобы не приводить к патологиям хотя бы в пространстве Минковского.Возможно также, что к этому следует добавить какое-нибудь энергетическое условиетипа энергодоминантности.В пользу своей гипотезы Пенроуз выдвинул ряд доводов (см. например, [141]).Однако в более поздней работе [142] он охарактеризовал их, как довольно смутные, иподверг сомнению существование каких бы то ни было достаточно общих и убедительных аргументов в её защиту.

Ниже мы обсуждаем, в основном, единственность, носерьёзные трудности возникают уже с существованием соответствующих решений.Действительно, хотя большое количество пространств, решающих уравнения Эйнштейна с физически приемлемой правой частью, глобально гиперболичны, это ничутьне подкрепляет гипотезу, поскольку такие пространства, как правило, высоко симметричны и не являются поэтому «типичными». Можно было бы попробовать показать,что малые возмущения начальных условий оставляет решения глобально гиперболическими, но это очень трудно математически. До сих пор, насколько мне известно, это15)Это не цитата, а пресказ.— 74 —было проделано лишь для нескольких (пустых) пространств (см.

обзоры [31, 147]).«Интуитивную ясность» гипотезы о Космической Цензуре также не стоит переоценивать. Так, она опирается на концепцию «начальных данных». Избежать этого,по-видимому, невозможно: задавшись только правой частью уравнений Эйнштейнамы ни в коем случае не фиксируем геометрию решения. В общем случае, решенийбудет бесконечно много, причём среди нерасширимых все, кроме (возможно) одного,не глобально гиперболичны.28. Пример.

Пусть M1 — глобально гиперболическое нерасширяемое решение уравнений Эйнштейна с физически приемлемой правой частью. Удалим из него сферу Sn−2и обозначим через M двулистное накрытие получившегося M1 − Sn−2 , см. рисунок 1.4.Очевидно, M точно так же нерасширяемо16) , как M1 , и решает точно такие же уравнения Эйнштейна (это важное обстоятельство; всё обсуждаемое в этом пункте несвязано с локальными свойствами, ничего аналогичного «D-специализации» [50] здесьожидать не приходится). Оно, однако, глобально гиперболическим не является [102].Напрашивается мысль отсечь «лишние» решения, задав начальные данные.

Но этуидею трудно приспособить к неглобально гиперболическим пространствам. Где, скажем, задавать эти данные в пространствах Гёделя или Керра? А главное, что в точности такое «начальные данные»? Пусть, например, мы хотим взглянуть на некотороеглобально гиперболическое пространство-время, как на решение уравнений Эйнштейна с такими-то начальными данными. Тогда в качестве последних кажется естественным выбрать геометрию (и значения материальных полей, если мы рассматриваемнепустой случай) в некоторой окрестности U какой-нибудь поверхности Коши S. Нокакие пространства следует тогда считать развивающимися «с таких же начальныхданных» (чтобы выяснить глобально гиперболичны ли они, как того требует космическая цензура)? Если это любые пространства, в которых найдётся область ϑ(U), гдеϑ — изометрия, то о единственности не может быть и речи даже в классе глобальногиперболических пространств.29.

Пример. Поверхность S : x0 = 0 является поверхностью Коши для плоскости Минковского. Локальная изометрияϑ:(x0 , x1 ) 7→ (x00 , x10 ) где x00 ⇋ ch 1 x0 + sh 1 x1 ,x10 ⇋ sh 1 x0 + ch 1 x1отображает её на некоторую спираль в — глобально гиперболическом — плоском цилиндре, получающемся из этой плоскости отождествлением (x0 , x1 ) = (x0 , x1 + 2π), ∀x1,2 ,причём некоторая окрестность U ⊃ S отображается на окрестность спирали. Но изометрия не сохраняет свойство «быть поверхностью Коши».

В частности, обсуждаемаяспираль таковой не является (хотя бы потому, что не ахрональна).16)Этот, предположительно очевидный, факт можно строго доказать следуя примеру предложения 5.14, ср. следствие 5.15.— 75 —Таким образом, термин «начальные данные» придётся, по-видимому, пониматьрасширительно, как набор условий, выделяющих определённые пространства-временаиз бесконечного набора решений уравнения Эйнштейна с данной правой частью.

Однако что это за условия, пока неясно. Для самой теории относительности это не такуж важно, но если мы хотим пользоваться представлением об эволюции пространствавремени, нам надо уметь отвечать на вопросы типа: что определяет результат эволюции области x0 < 0 плоскости Минковского17) ? Будет ли это L2 или, скажем, пространство Дойча–Политцера?n◦ 2Модификация ОТО?Самый прямой способ борьбы с недостатком предсказательной силы общей теорииотносительности — модифицировать последнюю, запретив некоторые пространствавремена специальным постулатом.

Найти такой постулат — задача, конечно, крайненепростая. Попробуем для начала сформулировать (пусть и расплывчато) некоторыетребования к нему:1. Искомый постулат не должен быть «слишком глобальным»: условие, фиксирующее структуру всего пространства-времени от бесконечности в прошлом до бесконечности в будущем, плохо сочетается с эволюционной картиной;2.

Он должен быть достаточно ограничительным, чтобы однозначно определять эволюцию пространства-времени хотя бы в наиболее простых и интересных случаях, вроде упоминавшейся в прошлом пункте эволюции полуплоскости Минковского;3. С другой стороны, он должен быть достаточно мягким, чтобы(а) не запрещать пространства Минковского, Шварцшильда, де Ситтера и т. п.(б) не противоречить другому постулату ОТО, согласно которому пространствовремя, описывающее нашу Вселенную нерасширимо. В частности, он не должен запрещать все расширения какого-нибудь «разрешённого» расширимогопространства [как, например, случилось бы, потребуй мы, чтобы пространства-времена были статичны, см. обсуждение под определением 5].Придерживаясь этих пожеланий, мы должны, в силу требования 1, отвергнуть напрашивающийся вариант — постулировать сразу глобально гиперболичность вселенной.

Более последовательным кажется потребовать только, чтобы пространство-время17)В связи с этой неоднозначностью часто говорят, что уравнения Эйнштейна не фиксируют топологию.Это, конечно, правда, но не вся правда. Так, пространство M2 из примера 26 и пространство Дойча–Политцера имеют одинаковую топологию и отличаются именно геометрией.— 76 —оставалось глобально гиперболическим «как можно дольше», ср. [58]. Соответствующий постулат мог бы формулироваться примерно так: в пространстве-времени должнасуществовать замкнутая поверхность R, такая что D(R), см.

определение 1.49, не имеет глобально гиперболических расширений. К достоинствам этого подхода относитсято, что во всяком случае для вакуумных уравнений Эйнштейна, D(R) единственно дляданного комплекта (R, 1R ), см. раздел 7.6 в [27]. И всё же это ещё не решает проблемунеоднозначности эволюции полностью: бывают пространства, см. 4. § 2, например, которые сами являются глобально гиперболическими, но среди расширений которых (аони существуют) глобально гиперболических нет. Обсуждаемый постулат не помогаетвыбрать какое-нибудь «предпочтительное» из этих расширений, что нарушает нашепожелание 2.В поисках адекватного постулата Хокинг и Эллис предложили [27] рассматривать, как модель Вселенной, только «локально нерасширяемые» пространства-времена(пространство M называется локально расширяемым, если оно содержит открытое, снекомпактным замыканием, множество U, у которого кроме M есть расширение M 0 ,такое что ClM0 U компактно).

Характеристики

Список файлов диссертации