Диссертация (1145314), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Потеореме существования и единственности решения (для уравнений Эйнштейна она доказана в некоторых предположениях, которые мы сейчас обсудим) равенство начальных данных, фиксированных на 3-поверхности, влечёт за собой изометрию соответствующих областей Коши. Поэтому множества D(Sk −sk ) изометричны, и, следовательно, Nk∗ (которое и так включало в себя J − (sk ) − sk ) содержит целиком Mk − J + (sk ). Такимобразом, ни один из фронтов не является сверхсветовым.
В этом смысле ОТО запрещает сверхсветовое сообщение: в сформулированных выше предположениях скоростьгравитационного сигнала не превосходит световую (как и следовало ожидать, см.[25]).Важно, что упомянутые теоремы существования и единственности доказаны тольков некоторых «физически оправданных» предположениях о свойствах правой частиуравнений Эйнштейна.
Возможная совокупность таких предположений сформулирована, например, в [27]. Одно из них — это принцип локальной причинности (см. заме-— 68 —чание 19), другое касается устойчивости получаемого решения, а третье ограничиваетвозможную зависимость тензора энергии-импульса от метрики: он может быть лишьполиномом по gab (аналогичное предположение в [165] допускает ещё наличие первыхпроизводных метрики). Это последнее предположение заведомо неверно во многихфизически интересных ситуациях. В частности, поляризация вакуума, как правило, приводит к появлению вторых производных метрики (в виде, например, тензораРиччи) в правой части уравнений Эйнштейна, ср.
уравнение (6.10).n◦ 5«Полусверхсветовая» скоростьТот факт, что с одним событием связаны фронты, лежащие в двух разныхпространствах-временах, имеет неожиданные последствия. Дело в том, что эти фронты не обязаны быть сверхсветовыми одновременно.25. Определение. Назовём альтернативу сверхсветовой, если таковыми являются обафронта и полусверхсветовой, если только один.Рассмотрим мир M1 , в котором фотон (или другая пробная частица) посылаетсяс Земли (это событие s1 ) и достигает некоторой далёкой звезды в момент τ1 по часам этой звезды.
Пусть, далее, M2 — это мир, который изначально совпадал с M1 (врамках избранной нами теории, разумеется), но в котором вместо фотона к звездебыл направлен могучий корабль (его старт — это событие s2 ). По пути к цели звездолёт искривляет пространство, взрывает сверхновые, порождает сингулярности и т.д. Если в M2 выполняется принцип причинности, то несмотря на все эти действия онприбывает туда позже, чем некий фотон, выпущенный из s2 . Тем не менее, вполнеможно представить себе, что время прибытия τ2 окажется меньше, чем τ1 (и, такимобразом, скорость звездолёта в одном мире превзойдёт скорость света в другом).
Такая возможность не исключается и справедливостью принципа причинности в M1 . Он,действительно, запрещает сверхсветовые сигналы в этом пространстве-времени, нонеравенство τ2 < τ1 подразумевает всего лишь сверхсветовой характер фронта N1 , аему не соответствует никакой сигнал; в M1 нет, в частности, никакого корабля, мировая линия которого была бы ассоциирована с N1 .
Именно такую пару миров M1,2 мыи называем полусверхсветовой альтернативой. Теория в которой такие альтернативыдопустимы, разрешает «превышение скорости света» без противоречия с принципомпричинности13) .26. Пример. Пусть M1 — плоскость Минковского, а s1 — точка на ней с координатамиt = −3/2, x = −1. Пусть, далее, M2 — пространство-время, полученное удалением из M1отрезков t ∈ [−1, 1], x = ±1, см.
рисунок 3, и склеиванием правого/левого берега каждо13)Ещё один вариант понимания термина «свехсветовой» обсуждается в главе 3.— 69 —sРис. 3: Пространство-время M2 . Кривая, начинающаяся в s2 — мировая линия звездолёта, Серым закрашено причинное будущее s2 , а пунктирная ломанная — это фронтN2 — ограничивает N2∗ .го из этих разрезов с левым/правым берегом другого (M2 — это аналог пространстваДойча–Политцера, см.
пример 1.66 с n = 2 и заменой x1 → t, x0 → x). Отличия M1 от M2заключены в будущем точки t = −1, x = −1, либо точки t = −1, x = 1. Говоря более формально, N1∗ — это дополнение к объединению конусов будущего этих двух точек. ЧтоN1∗ , действительно, максимально, ясно из того, что любое большее множество прошлого должно содержать (направленную в прошлое причинную) кривую λ, кончающуюсяв одной из упомянутых двух точек, но φ(λ) иметь конечную точку в прошлом не может(из-за сингулярности).Очевидно, N1 6⊂ JM+1 (s1 ), так что N1 сверхсветовая.
И в то же время в пространстве M1поверхность N1 не соответствует никакому сигналу (см. предыдущий пункт), так чтоего сверхсветовой характер не нарушает принципа причинности в M1 . Фронт же N2сверхсветовым не является, так что альтернатива (Mk , 1k , sk ) полусверхсветовая. Хотякорабль и прибывает к цели раньше, чем это делает фотон, этот фотон находитсяв другой вселенной.
В своём же мире, в M2 , корабль движется по времениподобнойкривой, таким образом, принцип причинности соблюдается и там.Заметим, что большую роль в примерах 24 и 26 играла глобальная гиперболичность и её отсутствие, соответственно. Покажем, что она уравнивает запрет сверхсветовых и полусверхсветовых альтернатив.27. Предложение. Если пространства-времена M1 и M2 глобально гиперболичны, тоальтернатива (Mk , 1k , sk ) не может быть полусверхсветовой.Доказательство. Предположим, фронт N1 является сверхсветовым. Тогда согласнопризнаку 1.44 какие-то точки N1 должны быть отделены от J + (s1 ), см.
рисунок 4, то— 70 —есть должна найтись точка1φ ( N1*BrBr )kdkkbkps2s1N1* Brakckλkφ ( ak )kM1M2Рис. 4: Шар, ограниченный пунктирной линией, по предположению лежит вне J + (s1 ).Но это противоречит тому факту, что кривые φ−1 (λk ) должны сходиться к направленной в будущее непространственноподобной кривой от s1 до p.p ∈ N1 ,Br ∩ J + (s1 ) = ∅ ∀r < r̄,где r̄ — некоторая константа, а Br — координатный шар с центром в p и радиусомr [то есть, множество точек q, которые в некоторой фиксированной отныне системе2координат {xi }, начинающейся в p, удовлетворяют неравенству ∑ xi (q) < r2 ].
Выберемкакую-нибудь последовательность точек ak , k = 1, 2, . . .ak ≺ s1 ,ak → s1 .Наша цель — показать, что, если только N2 не является сверхсветовым, то при любомk для сколь угодно малого rk < r̄ найдётся времениподобная кривая µk , которая начинается в ak и кончается в Brk . Это докажет предложение, поскольку при rk → 0 будущиеконечные точки µk сходятся к p, что благодаря глобальной гиперболичности M1 влечётза собой p ∈ J + (s1 ), см. следствие 1.45, а это противоречит выбору p.Чтобы построить для данного k такую µk , выберем пару точекbk ∈ N1 ∩ Brkи ck ∈ N2таких, что для любых их окрестностей Uk ⊃ bk и Vk ⊃ ck выполняетсяφ N1∗ ∩Uk ∩Vk 6= ∅.(9)— 71 —Такие точки должны существовать, так как иначе максимальное по предположениюпространство-время M2 имело бы, согласно предложению 1.61, расширение Brk ∪φ M2 ,где φ0 — сужение φ на какую-нибудь связную компоненту N1∗ ∩ Brk . Предположим теперь, что N2 не сверхсветовой.
Тогда, будучи точкой N2 ,ck ∈ J + (s2 ) = J + (s2 )(равенство здесь следует из глобальной гиперболичности M2 , см. предложение 1.44).Следовательно (вспомним, что ak ≺ s1 и, значит, φ(ak ) ≺ s2 ), найдётся окрестность ck ,лежащая в I + (φ(ak )), см. рисунок 4. А согласно (9), эта окрестность, содержит и точкииз φ(N1∗ ∩ Brk ). Поэтому должна существовать и точка dk :φ(ak ) ≺ dk ,dk ∈ φ(N1∗ ∩ Brk ) ⊂ N2∗ .Последнее включение вкупе с тем фактом, что N2∗ — множество прошлого, означают,что времениподобная кривая λk от φ(ak ) до dk целиком лежит в N2∗ .
А тогда кривая µk ⇋φ−1 (λk ) располагает всеми требуемыми свойствами: она времениподобна, начинается вak и кончается в Brk .— 72 —§3Эволюционная картинаОдну из центральных задач физики — определение эволюции системы — в самыхобщих терминах можно сформулировать так: если система (набор полей, частиц и т.п.) находится в таком-то состоянии на такой-то пространственноподобной поверхности и управляется такими-то законами, то каково будет её состояние на другой пространственноподобной поверхности? При этом в ньютоновской физике и в специальнойтеории относительности обычно рассматриваются такие законы движения, что задачаимеет — и единственное — решение. В общей теории относительности — где системойявляется уже само пространство-время — эта простая привычная картина тоже часто используется.
Пространство-время представляется результатом некоей эволюции,постепенного превращения «ещё неосуществившегося будущего» в «уже случившеесяпрошлое». Это удобное и интуитивно ясное представление настолько глубоко противоречит самым основам общей теории относительности, что придать ему сколько-либострогий смысл пока не удалось.Предположим, однако, на минуту, что можно было бы ограничиться рассмотрением только глобально гиперболических пространств-времён.
Тогда наша Вселеннаяописывалась бы произведениемM = L1 × S,(10)см. предложение 1.47(в), и координата t, параметризующая первый сомножитель, играла бы роль времени в СТО. То, что пространство-время неплоско, сказывалось бы,конечно, на движении материи, но мировые линии частиц были бы по-прежнемутрансверсальны поверхностям Коши {t0 } × S (тахионы мы сейчас не обсуждаем), а поляпо-прежнему описывались бы гиперболическими дифференциальными уравнениями.Такие задачи, как правило, решение имеют, и оно единственно14) .
После того, как топология S фиксирована, геометрия M определяется локальной величиной — метрикой 1.С ней можно работать точно так же, как и с любым материальным полем: метрика и еёпервые производные фиксируются на S, и уравнения Эйнштейна позволяют найти ихв любой точке M, см. [27, гл. 7]. ОТО стала бы, таким образом, обычной теорией поляи отличалась бы от, скажем, электродинамики только деталями уравнений движения.Вопросы, которые мы (кратко) обсуждаем в данном параграфе, это:1) глобально гиперболична ли наша Вселенная?2) если да, то как вывести этот факт из теории?3) а если нет, то как описывать эволюцию материи (не говоря уж о геометрии)?14)Это, конечно, не случайно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
