Диссертация (1145314), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда либо частица, излученная в p и принятая в q,движется по светоподобной геодезической (и, следовательно, со скоростью света), либо наблюдатель получает ее позже, чем некоторую частицу, двигавшуюся из p в q сдосветовой скоростью (поскольку если q принадлежит I + (p), то это верно и для некоторых точек µ предшествующих q).21. Следствие.
Функция σ, определённая в (9), отрицательна в IO± (p) и положительнавне JO± (p).22. Следствие. Множество I + (p) связно и канонически открыто, то есть совпадает свнутренностью своего замыкания: I + (p) = Int I + (p).Доказательство. Что I + (p) ⊂ Int I + (p), очевидно. А для доказательства обратного включения, рассмотрим произвольную точку q, принадлежащую множеству Int I + (p). Этомножество является окрестностью q, а q лежит на границе, см. (12), открытого, какутверждает предложение 20(а), множества I − (q). Следовательно,Int I + (p) ∩ I − (q) 6= ∅.Но I − (q) — открытое множество. Поэтому с каждой точкой из Int I + (p) в нём содержитсяи некоторая её окрестность, а значит, и какая-нибудь точка из I + (p)I + (p) ∩ I − (q) 6= ∅,откуда q ∈ I + (p).Представление об областях (не)ограниченных во времени формализуется введением следующего понятия.— 27 —23. Определение.
S есть множество будущего, если I + (S) − S 6= ∅.Другими словами, S не является множеством будущего, если и только если какаянибудь точка Bd S достижима из S по направленной в будущее времениподобной кривой. Простой пример множества будущего — множество J + (U), где U ⊂ M произвольно.24. Предложение. Если S есть множество будущего в M, то I + (S) ⊂ S.Доказательство. Пусть p ∈ S. Нам нужно доказать, что из p ≺ q следует q ∈ S. Но разоткрытое, в силу предложения 20(а), множество I − (q) включает в себя какую-то точкуp ∈ Ṡ, то оно содержит и какую-нибудь s ∈ S.
Итак, q ∈ I + (s) ⊂ I + (S) ⊂ S.Ниже нам понадобится также следующие простые25. Признаки. Пусть W — открытое множество будущего в пространстве-времени A.Тогда(а) A − W и A − W — множества прошлого (они определяются дуально множествамбудущего) в A;(б) Если P — подмножество A, то W − P — множество будущего в A− P, когда последнееявляется пространством-временем (то есть когда P замкнуто и не разделяет A);(в) Если B — такая область (некоторого расширения A), чтоB ∩ A 6= ∅,B ∩W = ∅,то W есть множество будущего в B ∪ A.Докажем подробно третье утверждение, поскольку второе совершенно очевидно, апервое вытекает просто из того, что, если бы какую-нибудь p ∈ Bd(A−W ) = BdW можнобыло бы достичь из q ∈ (A − W ) по направленной в прошлое кривой, это значило бы,что q ∈ I + (W ) ⊂ W и, следовательно, W = ∅ (случай A −W абсолютно аналогичен).Доказательство.
Если направленная в будущее времениподобная кривая λ покидаетW , то (поскольку W открыто) должно быть наименьшее значение её параметра τ0 , прикотором это происходит, то есть∃τ0 :λ(τ) ∈ W∀τ < τ0 ,λ(τ0 ) ∈/ W.λ(τ0 ) не может лежать в B, поскольку последнее не пересекается с W , а значит и сего границей. Но λ(τ0 ) не может лежать и в A по определению множества будущего,см. замечание под определением 23.Тот факт, что некоторая область является множеством будущего, накладываетсерьёзные геометрические ограничения на её границу.— 28 —26.
Определение. Если никакие две точки множества S нельзя соединить времениподобной (непространственноподобной) кривой, то оно называется ахрональным (соответственно, акаузальным).Ахрональную поверхность не следует путать с пространственноподобной. Последняя определяется, как (достаточно гладкая) поверхность такая, что все векторы касательные к ней пространственноподобны. А ахрональная поверхность не должна бытьгладкой, но даже если касательные к ней векторы и существуют, они вполне могутоказаться светоподобными (а не пространственноподобными). Например, поверхностьt = x в пространстве Минковского ахрональна, но не пространственноподобна. И, наоборот, пространственноподобная поверхность может не быть ахрональной.27.
Пример. Пусть S — полоска в (2+1)-мерном пространстве Минковского, заданная вцилиндрических координатах системой910< ρ < 1,−π < ϕ < π,t = αϕ,где α — некоторое маленькое число. Эта полоска пространственноподобнa, посколькутаковы векторы, касательные к ней (они представляют собой линейные комбинациидвух пространственноподобных векторов: ∂ρ и ∂ϕ + α∂t ). Она, однако, не ахрональна,см. рисунок 2а.28.
Предложение. Граница множества будущего, если она не пуста, является замкнутой ахрональной вложенной C1− гиперповерхностью5) .Доказательство см. в [27], где это предложение имеет номер 6.3.1.Введём следующее удобное обозначение:<p, q>U ⇋ IU+ (p) ∩ IU− (q),6p, q>U ⇋ JU+ (p) ∩ JU− (q)(в случае U = M мы опять, как правило, значок U ставить не будем).
Далее, для данногопространства-времени M мы обозначим R(M) семейство состоящее из M и всех егоподмножеств вида <x, y>M . Очевидный факт, что для любого пространства-времени Uи любых двух пар точек x, y ∈ U, p, q ∈ <x, y>U<p, q><x,y>U = <p, q>Uи6p, q><x,y>U = 6p, q>U ,(15)приводит к следующей импликацииU ∈ R(M)⇒R(U) ⊂ R(M).(16)Кажется соблазнительным связать топологические и причинные свойства пространства-времени, используя R(M) в качестве базы топологии.
Оказывается, однако, чтов общем случае результат — называемый топологией Александрова — не совпадает сисходной топологией пространства-времени.5)Под гиперповерхностью понимается подмногообразие коразмерности 1.— 29 —n◦ 2Условие причинностиБудем говорить, что в точке p выполняется условие причинности (причинность),если через p не проходит никакая замкнутая непространственноподобная кривая, тоíесть если J + (p) ∩ J − (p) = p.
Для любой области U через U мы обозначим подмножествоU, нарушающее причинность:íU ⇋ {p : 6p, p>U 6= p}.(Это просто определение. Мы не обсуждаем сейчас, может ли причинность нарушатьсяв пространстве-времени, описывающем реальную Вселенную).í29. Замечание. U определяется причинной структурой U, а не объемлющего пространства-время M ⊃ U (если таковое существует) и, в общем случае,íUí( M ∩U).Есть, однако, важное исключение. Если U — множество прошлого в M и ` — замкнутаяпричинная кривая, проходящая через некоторую точку q ∈ U, то в силу (14) вся `лежит в хронологическом прошлом такой q, и из определения множества прошлогоследует, что ` ⊂ U. Итак, в этом случаеííU = M ∩U.í30. Определение. Пространство-время M, причинно, если M = ∅, и непричинно в обратном случае.31.
Предложение. Следующие два утверждения — это, соответственно, предложения6.4.2 и 6.4.3 книги [27]:(а) Любое компактное пространство-время непричинно.í(б) M есть объединение непересекающихся множеств видаJ + (p) ∩ J − (p),n◦ 3p ∈ M.Причинно выпуклые и сильно причинные множества32. Определение. Открытое множество N ⊂ M называется причинно выпуклым в Mили — в случае, когда M очевидно — просто причинно выпуклым, если с любымидвумя точками p, q оно также содержит и множество <p, q>M или, иначе говоря, если∀p, q ∈ N.<p, q>N = <p, q>M— 30 —Очевидно, N причинно выпукло, если и только если любая времениподобная кривая,лежащая в M, пересекает N по связному множеству, ср.
[37]. Заметим также, чтозамена <p, q>M в этом определении на 6p, q>M не меняет класс удовлетворяющихему пространств-времён. Действительно, рассмотрим две точки p0 , q0 ∈ N такие, чтоp, q ∈ <p0 , q0 > [существование p0 и q0 гарантировано открытостью I + (p) и I + (q)]. Из (14)следует, что любая r ∈ 6p, q> принадлежит одновременно и <p0 , q0 >, и значит, всёравно должна лежать в причинно выпуклом [в соответствии с определением (32)] N.А обратная импликация6p, q>M ⊂ N⇒<p, q>M ⊂ Nочевидна.Выпуклость и причинная выпуклость характеризуют свойства кривых из двухочень разных классов — геодезических и времениподобных соответственно.
К тому жепервая — «более локальное» свойство (см. ниже). Неудивительно поэтому, что эти двасвойства совершенно независимы. Например, если ` — это замкнутая времениподобная кривая в пространстве-времени M, то она покинет достаточно малую выпуклуюокрестность U точки p ∈ `. Так что U выпукла, но не причинно выпукла в M. И наоборот, подмножество x0 < |x1 | плоскости Минковского причинно выпукло, но не выпукло.33. Предложение. Очевидно, что(а) Любое множество будущего (прошлого) причинно выпукло;(б) Если A и B причинно выпуклы, то A ∩ B тоже;(в) Для любых точек p, q множество <p, q>M причинно выпукло (следует из предыдущих двух утверждений).Требование причинности (то есть отсутствия замкнутых непространственноподобных кривых) можно усилить, запретив также и «почти замкнутые».34. Определение.
Множество N называется сильно причинным в M, если любая еготочка имеет сколь угодно малую причинно выпуклую в M окрестность.35. Комментарий. Выражение «сколь угодно малую . . . окрестность» следует понимать, как удобное — мы будем использовать его и в дальнейшем — сокращение от«для любой заданной окрестности W . . . окрестность W 0 ⊂ W ».36. Замечание. О’Нил определяет сильную причинность в p ∈ M как свойство каждойокрестности U 3 p содержать подокрестность V , такую что любая непространственноподобная кривая с конечными точками в V целиком лежит в U (см. 14.10 в [136]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
