Диссертация (1143463), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Он также нашел (если использовать современную терминологию) радиус предельного цикла этих устойчивых автоколебаний и, для стационарного движения по нему, приближенное решение(3.10) с точностью до третьей гармоники.1123.3.2. БрюсселяторБрюсселятор описывает простейшую химическую реакцию преобразования исходных веществ (субстратов) и в продукты и + → +путем следующих стадий:(3.11)(3.12) + →3 + ,(3.13) →4 .(3.14) →1 ,2 + →2 3,Наиболее нетривиальным шагом в системе (3.11) – (3.14) явилосьиспользование промежуточных веществ, и , связанных тримолекулярной реакцией (3.12), обеспечивающей существование колебательногорежима.
При условиях, что продукты необратимо удаляются из сферыреакции, субстраты находятся в избытке и значения констант скоростейреакций равны единице, динамика концентраций промежуточных реагентов описывается следующей системой уравнений:= + 2 − ( + 1),(3.15)= − 2 .Начиная с исходной статьи [242], сами авторы модели подчеркивали, что схема (3.11) – (3.14) физически нереалистична из-за тримолекулярного шага (3.12), однако ее структура весьма удобна для обсуждения113важных проблем неравновесных процессов при соблюдении простейшегоусловия включения всего двух промежуточных компонентов.Следует однако заметить, что в отличие от обычных химическихреакций, в ферментативной кинетике бывают случаи, когда реакциюможно свести к кубическому виду.
Это происходит в том случае, еслифермент имеет по крайней мере три каталитических центра, способныходновременно фиксировать две молекулы одного вида и одну молекулудругого при условии, что образующиеся промежуточные комплексы распадаются с достаточно большой скоростью и фермент присутствует внебольших количествах. В этом случае легко показать, что всю последовательность реакций можно свести к одной стадии, дающей нелинейныйчлен типа 2 или 2 . Простейшим подобным примером являетсясистема Селькова.3.3.3. Приведение систем “брюсселятор” и Селькова кобобщенному уравнению РэлеяНачнем с более простой системы Селькова, ранее уже выписаннойв новых переменных 3.4, рассматривая только локальную систему. Система (3.4) имеет стационарное решение0 = 0,20 =+ ,обладающее прозрачным физическим смыслом: постоянство полной концентрации реагентов сопровождается нулевым суммарным потоком.Для удобства изучения нестацонарных процессов введем отклонение от равновесной концентрации = − 0 .
Подставляя новую переменную в (3.4) и группируя подобные члены, получим систему, которую114можно записать в виде одного уравнения второго порядка:2 ++ ′′2(︂)︂2′+(︂)︂3+Ω2[︂1−]︂2 = 0.(3.16)√Здесь = 2 −2 − , ′′ = (0 − 3) /2 , ′ = −2 , = −1 , Ω = / .Сравнив его с (3.10), уравнение (3.16) с полным правом можно назвать обобщенным уравнением Рэлея: подобно ему, но в отличие от, например, уравнений Ван-дер-Поля и Дюффинга, нелинейность обуславливается только скоростями, а не смещениями. А именно, в данном случаев “диссипативной” части (второе, третье и четвертое слагаемые в правой части уравнения (3.10) и появляется разложение по всем степенямскорости вплоть до третьей, а также проявляется ее влияние на частотусвободных колебаний Ω с точностью до первой степени. При этом надоотметить, что параметр ′′ > 0 и определяет асимметрию в положениицентра предельного цикла.Рассмотрим теперь брюсселятор (3.15). Снова введем полную концентрацию веществ = + , а также переменную = − , чтопри дальнейшей подстановке и суммировании уравнений системы (3.15)приводит к= (3.17)(︀)︀ (︀)︀= + 2 − 1 + + 32 ++ 32 − 3 − ( − )2 Стационарные точки для (3.17): 0 = + 2 / и 0 = 0.
Опять(︀)︀смещаем стационар в начало координат, вводя переменную = − 0 .115Подставляя ее в (3.17), группируя и приводя подобные, имеем:= (3.18)(︂(︀)︀= − 2 − 1 + 2 −)︂2 − 3 − ( − )2 .Представляя (3.18) в виде одного дифференциального уравнениявторого порядка, опять получаем обобщенное уравнение Рэлея (3.16),коэффициенты которого в данном случае равны: = 1 + 2 − , ′ =(︀)︀(︀)︀1, ′′ = − 22 /, Ω = , = −1 .Таким образом, обе модели – изначально “абстрактный” брюсселятор и система Селькова, описывающая вполне конкретный биохимический процесс, при соотвествующем выборе переменных, достаточно естественном и прозрачном с точки зрения физики процесов, принимаютсовершенно идентичную математическую форму.
Поэтому анализ обобщенного уравнения Рэлея (3.16), также достаточно наглядный в силуформы последнего, даст полную информацию сразу об обеих моделях.Конретные же динамические режимы будут определяться характернымидля каждой из задач величинами использованных в (3.16) постоянных.3.3.4. Обсуждение обобщенного уравнения РэлеяПроведем краткий анализ уравнения (3.16), прежде всего с целью показать, что такая форма записи имеет большие методическиепреимущества при изучении автоколебаний в классических биохимических системах.
Прежде всего, такая форма записи предоставляет самый естественный путь линеаризации в окрестности неподвижной точки = 0, ˙ = 0: достаточно просто отбросить все слагаемые со степенью вы116Рис. 3.11:Слева: фазовый портрет решения системы Селькова в форме обобщенного уравнения Рэлея при = 2.8, = 2.Штриховые линии – нульклины.
Справа:график значений множителя, обеспечивающего сущствование автоколебаний, при(︀ )︀˙ = + ′′ + ′ 2этих параметрах. ()ше первой:2 ++ Ω2 = 0.2(3.19)Решение уравнения (3.19) () = 0 exp(−/2) cos( + 0 ), где=√︀Ω2 − 2 /4, а 0 , 0 – начальные амплитуда и фаза, наглядно позволяет определить условие потери устойчивости неподвижной точки (бифуркации Хопфа): если < 0, то колебания будут экспоненциально нарастать. В противном случае точка останется устойчивой и любые малыеотклонения от нуля будут также экспоненциально убывать при > 0.Напомним, что в приложении к системе Селькова точка бифуркации√определяется соотношением параметров = , а у брюсселятора:2 + 1 = .Более того, столь же естественно вводится и смена типа неустойчи117вой неподвижной точки – при Ω2 ≤ 2 /4 она меняет свой тип с фокуса(осцилляционный рост) на узел (ангармонический рост).Для демонстрации принципа существования автоколебаний в нелинейном режиме удобно переписать (3.16) в типичной “автоколебательнойформе”:2[︃′′ +++ ′2(︂)︂2 ]︃[︂]︂22+Ω 1− = 0.(3.20)Заметим, что нелинейный множитель при Ω2 всегда неотрицателенв силу своей квадратичности, так что на условие существования предельного цикла он влияния не оказывает, и оно будет определяться поведением скобки при ˙ (второе слагаемое в левой части уравнения, обозна˙ ).
А именно, если < 0, то нарастаниеченное на рис. 3.11–3.13 как ()величины скорости может привести к изменению знака этого члена и возбуждение колебаний сменится демпфированием. В результате таким образом сформируется движение по устойчивому предельному циклу. Длямодели Селькова и брюсселятора подобные иллюстрации приведены нарис. 3.11 – 3.13, из которых видно, что при достаточно больших = ˙знак коэффициента перед скоростью совпадает с ее знаком, то есть возможно существование устойчивых периодических движений, которые идемонстрируются на фазовых портретах, приведенных на тех же рисунках.Степенные зависимости также позволяют достаточно легко проводить приближенное решение (3.16), например, методом Ван-дерПоля–Крылова–Боголюбова, так как в этом случае при подстановке гармонических функций их степени легко понижаются, приводя к наборугармоник, исследуемых по отдельности.
При этом характерной особенностью, отличающей движение, описываемое обобщенным уравнением118Рис. 3.12:Слева: фазовый портрет решения системы Селькова в форме обобщенного уравнения Рэлея при = 2.55, = 2.Штриховые линии – нульклины. Справа:график значений множителя, обеспечивающего существование автоколебаний, приэтих параметрах.Рэлея от классического, является наличие квадратичного по скоростислагаемого, которое никогда не меняет знак, что приводит к смещениюхарактерного центра предельного цикла. Заметим, что подобный эффектквадратичной нелинейности был впервые проанализирован Рэлеем дляслучая устойчивых бездиссипативных колебаний [238]. В частности, такой метод дает высокоточное приближение для аналитического описания выхода на стационар при приближенно-гармонических колебанияхв уравнении Селькова, как и было показано ранее (см рис.
3.7). Этот результат качественно легко объясним, глядя на фазовый портрет на рис.3.11 и на временную динамику на рис. 3.7, на котором предельный циклблизок по форме к эллипсу. В случае брюсселятора вблизи бифуркацииХопфа он имеет аналогичный вид.Разница же в поведении этих двух конкретных систем проявляется119Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
