Диссертация (1143463), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это отличается от ситуации, когда поток субстрата симметричен,здесь направление распространения волны остается постоянным вследствие симметрии системы. Кроме того, как отмечено выше, коэффициенты диффузии играют определенную роль в стабилизации фиксированных фазовых сдвигов между осцилляторами.Надо отметить, что появление переходных режимов и изменение направления фазовых волн распространения в синхронном состоянии показывает, что рассматриваемая система очень чувствительно к тонким изменениям параметров. Внезапные изменения в динамическом поведенииможно наблюдать путем введения слабой асимметрии в распределениичастот волн или в случае, когда система “уходит” от режима гармонических колебаний.В случае симметричного параболического притока (с использованием тех же самых значений как на рис. 3.3 –3.5, то есть 0 = 2.55 , = 2.7но с 0 = 0.5) волны будут распространяться от границ до центра постоянно.
Это противоречит экспериментальным выводам, в которых изменения направления распространения волн наблюдались в большинстве случаев. Более того, даже при асиметрическом притоке, волна в принципесдвигалась просто к другому краю, но никак не меняла свое направлениес расходящейся на сходящуюся, что в общем говорит о том, что такойпереворот происходит в симметричной системе. И последнее, остаетсявопрос – насколько важна диффузия? Все реакции происходят в геле,достаточно плотной среде, и часто диффузия крайне затруднена из-за99того, что крупные ферменты практически “затыкают” свободные порыгеля, делая среду сильно гетерогенной.
Чтобы ответить на эти вопросы,система была проанализирована с точки зрения ампдитудно-фазовогоприближения.3.2.2. Переворот волны: амплитудно-фазовое приближениеУдобно переписать систему (3.3) в новых переменных. Пусть новыепеременные будут в виде: = − и = + − 0 , 0 = 2 / + /.Предполагается, что коэффициенты диффузии для субстрата и продуктаодинаковы. Следующее упрощение следует из экспериментальных условий. Надо отметить, что две производные функции малы во всей области реакции, что подразумевает, что можно пренебречь пространственными производными в системе 3.3 и рассматривать только координатноепреобразование, состоящее из сдвига, вращения и перемасштабирования.Следовательно, подставляя в систему 3.3 новые переменные, и для удобства = , получаем: = + 2 (3.4)(︀)︀ = 2 1 + 1 − 2 2 − [Ω(1 − −1 )]2 + 2 .Параметры: =(︀)︀ − 2 −2 /2, 1 = (3 − 0 ) /22 , 2 =√−2 /2 и Ω = / .
Эта система может рассматриваться как обобщенное уравнение Рэлея [238]: диссипативный член также состоит изразложения до третьего порядка скорости, квадратный член также присутствует. Кроме того, система (3.4) содержит первый (линейный по )член в разложении по частоте.Анализируя локальную систему ( = 0 и параметр фиксирован)100можно легко показать, что при > 0 в системе существует устойчивый предельный цикл и неустойчивый стационар при 1 = 0, 1 = 0.Очевидно, что наличие отрицательного кубического члена приводит кограничению положительного линейного роста.
Таким образом, здесь существует предельный устойчивый цикл как асимптотическое решение вэтом случае.Если > 0 мало, то линейная аппроксимация системы приведет еек виду типа гармонического осциллятора с частотой Ω. В этом случае,чтобы найти приближенное аналитическое решение, был применен методусреднения Крылова-Боголюбова (КБ) [239], который позволяет представить решения в виде гармонических функций с переменной амплитудойи фазой. Заметим, что строго неотрицательный член 21 играет особую роль. Он обеспечивает однонаправленное ускорение от неустойчивойстационарной точки. Это приводит к асимметрии в предельном цикле.Центр цикла сдвигается в фазовой плоскости. Также этот член влияет на размер цикла.
По этой причине мы добавляем сдвиг (подробныйаналитический вывод его появления, как следствия свойств рассматриваемой динамической системы в амплитудно-фазовом приближении, будетприведен далее, в разделе 3.4, дабы не загромождать здесь основнуюфизическую картину):() = () cos (Ω − ()) + 0 ()() = −Ω() sin (Ω − ()) .В такой форме обе переменные на самом деле являются разложениями в ряды Фурье (четные и нечетные компоненты) до главной частотыΩ.
И первый член четных компонент Фурье-разложения 0 ()- медленноменяющийся член в зависимости от амплитуды, - показывает асиммет101ричность предельного цикла, появляющуюся за счет нелинейных квадратичных членов в (3.4).Надо заметить, что как амплитуда , так и фаза слабо меняютсяво время одного периода быстрых колебаний 2/Ω. Подставляя данныерешения в (3.4), без учета диффузионных членов, понижая степени тригонометрических функций до первой, приравнивая коэффициенты принулевой (без тригонометрических функций) и первой гармониках (с Ωв аргументе тригонометрических функций) и отбрасывая старшие (зависящие от 2Ω и 3Ω), получаем укороченную систему для медленно меняющихся амплитуды и фазы, формально совпадающих с соответствующимпредставлением уравнения Гинзбурга-Ландау:(︂)︂32 2 2 = 1 − 1 Ω ,4Ω3 2 = −2 2 .8(3.5)(3.6)где 1 = 2 /1 и 2 = 21 /2 – корректирующие параметры, учитывающие дрейф цикла (см.
их детальную связь с параметрами исходнойсистемы в разделе 3.4).Имея эти решения, можно перейти к старым переменным как =2 −1 + −1 + , = −1 − −1 . В этом смысле рассмотрим два примера. Были выбраны значения параметров при которых существуют дватипа колебаний, гармонические и релаксационные. Начальные условиядля обоих случаев идентичны: = 0.05, Φ = 0. Рис.3.7 представляетсобой переход к предельному циклу значении параметра немного нижекритического значения для бифуркации Хопфа ( = 2.82).Видно, что полученное приближенное решение методом КБ(3.5)–(3.6) воспроизводит гармонические колебания с высокой точно102x(t)21.51050100t150.Рис.
3.7:Сравнение приближенного (сплошная линия) и “точного” (численного)решений для переменной концентрации субстрата в локальной системе. Параметрымодели: =2.8, = 2x(t)3210Рис. 3.8:2040t.6080Сравнение приближенного (сплошная линия) и “точного” (численного)решений для переменной концентрации субстрата в локальной системе. Параметрымодели: =2.73, = 2103стью. Второй случай, представленный на рис. 3.8 соответствует колебаниям, близким к релаксационным.
Это видно из достаточно асимметричной формы пиков. Естественно, что с учетом только первой гармоникиФурье невозможно в точности воспроизвести такое поведение. Как следствие, приближенное решение отклоняется от точного в области верхнихмаксимумов, где эта асимметрия наиболее видна. Тем не менее, периодыи фаза обоих решений достаточно хорошо совпадают.Надо отметить, что частота главной Фурье-гармоники Ω (так жекак фазовый сдвиг ) существенно зависит от притока, соответственно,даже у несвязанных осцилляторов будет различная динамика при разных значениях втока , что приводит к мысли, что исследуемые волныможно рассматривать как фазовые волны.Теперь рассмотрим распределенную систему, то есть полную систему (3.4) с диффузионными членами.
Чтобы описать экспериментальныеданные, напомним, что гетерогенный поток был представлен в виде параболы, в данном случае симметричной: () = 0 + 4( − 0 )( − 0.5)2 ,где 0 и – коэффициенты, определяемые максимумом или минимумом параболы. Таким образом, параметры , 1 , 2 , Ω будут зависеть отпространственной координаты.Подставляя в систему (3.4) решения, зависящие от координаты,(, ) = (, ) cos (Ω() − (, )) + 0 ()(, ) = −Ω()(, ) sin (Ω() − (, )) .получим уравнения после усреднения для амплитуды и фазы, зависящих от пространственной координаты.
Эти уравнения имеютформу (3.5), (3.6), дополненную пространственными производными:(︀)︀(︀)︀(/2) 2 − ( )2 будет добавлено к (3.5) и (/2) 2 − 104к (3.6).Здесь очень важно учесть, что рассмотрение неоднородного притокаприводит к пространственному распределению по частоте, где Ω зависит√от пространственной координаты как Ω() = ()/ . Такое пространственное распределение по частотам позволяет получить наблюдаемые вэксперименте фазовые волны.Уравнения для (, ), (, ) были решены численно, при этом координата варьировалась в интервале [0, 1]. Нулевые потоки на границах,как и выше, использовались в качестве граничных условий.
Для параболы были выбраны следующие коэффициенты: 0 = 2.8 и = 2.73.Локальные колебания для этих значений рассматривались в параграфахвыше и показаны на рис. 3.7, 3.8. Было исследовано влияние различныхначальных распределений реагентов на динамику волн. Для простотыбыли изменены начальные условия для амплитуды и фазы. Можно получить волновые решения, распространяющиеся в одном направлениидля (рис. 3.9 (слева)), а также для начального распределения фаз, выпуклого вверх. Чтобы получить изменение направления волны нужновзять распределение, выпуклое вниз.
При этом параметры параболы неменялись (например, см. рис. 3.9 (справа)).При численном моделировании было также показано, что динамическое поведение имеет слабую зависимость от диффузии. Это, по всейвидимости, отличается от свойств диффузионных волн и антиволн (тоесть расходящихся от центра сосуда или же сходящихся к нему) в реакции Белоусова-Жаботинского [240, 241]. Таким образом, можно в первом приближении пренебречь диффузией и объяснить происхождениеобращения волны при фиксированном распределении () другими причинами. В этом случае, возвращаясь к уравнениям (3.5) и (3.6), можно105Рис.
3.9:0 = 2.8Пространственно- временная динамика бегущих волн при = 2.73 и различныхволны: (, 0) = 1, (, 0) = 1.параметры: 0 = 2.8, = 2.73и = 2.5 · 10−3 ,начальных условиях. Левая панель: РасходящиесяПравая панель:(, 0) = 1, (, 0) = 2( − 1),получить решение для распределенной фазы:Ω()3(, ) = 0 () − 28()2∫︁2 (, ).(3.7)0Отсюда видно, что интеграл – монотонно убывающая функция, скорость изменения которой зависит от распределенного притока. Так как() имеет максимум, это соответствует минимуму скорости измененияфазы, и начальное распределение фазы ведет в образованию сходящихсяволн, однако со временем рост фазы приводит к переключению волны(рис. 3.10).Чтобы оценить требование параметра для переключения фазы, рассмотрим простейший случай, когда все распределенные осцилляторы до106−2.0φ(r,t)−2.5−3.0−3.50Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
